Ранг матрицы - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть Р Некоторое Фиксированное Поле И Пусть А ...
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерности m ´ n. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как m-мерныйвектор из m-мерного арифметического пространства Аm. Тогда система столбцов матрицы будет системой m-мерныхвекторов а1= (а11, а21, … , аm1), а2= (а12, а22, … , аm2), … , аn = (а1n, а2n, … , аmn).
Определение 26. Столбцовым рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – столбцов.
По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как n-мерный вектор из n-мерного арифметического пространства Аn .
Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её векторов – строк.
Теорема 18. Столбцовый ранг матрицы равен наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.
Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы – нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого порядка, все миноры второго порядка и т.д. равны нулю. Можно считать, что максимальный порядок отличных от нуля миноров равен нулю.
Пусть в матрице А не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково). Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов. Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен к. Рассмотрим систему векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их а1, … , ак, ак+1, … , аn . Векторы а1, … , ак линейно независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор любым столбцом с номером к +1, к + 2, … , n и любой
а1, … , ак, ак+1, …, аnА =
строкой. Если номер этой строки не больше к, то полученный определитель будет иметь две одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если номер окаймляющей строки больше к, то это будет минор матрицы А порядка (к + 1), поэтому равен нулю по условию. Итак, определитель равнее нулю при любом s, равном к + 1, … , n и любом р, равном 1, 2, … , m .
= 0.
Разложим по последней строке, получим
Так как М ¹ 0, то .
Если номер столбца s зафиксирован, то алгебраические дополнения Ар1, … , Аркне меняются при изменении номера строки р. Следовательно, аs = а1 – … –ак . Итак, любой вектор-столбец матрицы А линейно выражается через первые к её столбцов. Следовательно, столбцовый ранг матрицы равен к, т.е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.
Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.
Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А станут векторами-столбцами транспонированной матрицы АТ. П ри транспонировании матрицы транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А и АТ один и тот же. По доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение следствия.
Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:
Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов (или векторов-строк).
Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А минор М к-го порядка, отличный от нуля, то среди миноров (к + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы равен к. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть базисным минором.
Пример. Найти ранг матрицы А = в зависимости от b.
Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг матрицы А1 = . Из миноров второго порядка только один не содержит b, но этот минор равен 0. Рассмотрим минор М1 = При b = 0 матрица А1имеет вид . В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1. Если , то М1 ¹ 0, т.е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М1 можно окаймить третьей строкой и третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М2 = . Так как , то М2 ¹ 0. В матрице А1 миноров 4-го порядка нет, поэтому rang A = rang A1 = 3.
Итак, при b = 0 rang A = 1, при b ¹ 0 rang A =3.
Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.
Доказательство следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы получаем эквивалентные системы её векторов-строк.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Ранг матрицы
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов