рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Теория Систем Линейных Уравнений Кладёт Начало Большому И Важному Разделу Алг...

Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с любым числом неизвестных. В качестве коэффициентов при неизвестных будем использовать действительные и комплексные числа. Неизвестные будем обозначать х₁, х₂, …, х_n. Если уравнения занумеровать числами 1, 2, …, m, то коэффициент при к-ом неизвестном в р-ом уравнении будем обозначать _рк,, свободный член р-го уравнения будем обозначать . Следовательно, система уравнений запишется следующим образом:

(1)

Очевидно правая часть системы (1) вполне определяется таблицей своих коэффициентов, т.е. прямоугольной таблицей из m строк и n столбцов:

(2)

Определение 1. Матрицей порядка m´n называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.

Матрица (2) называется матрицей системы (1). Матрица

(3)

называется расширенной матрицей этой системы.

Отметим следующие свойства системы (1), часто помогающие при её решении.

· Если в системе (1) два или несколько уравнений поменять местами, то получится система уравнений, эквивалентная данной системе.

· Если в системе (1) одно из уравнений умножить на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

· Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое её уравнение, умноженное на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

· Если система (1) содержит два пропорциональных уравнения, то, удалив одно из этих уравнений, мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

· Если в системе (1) есть уравнение, все коэффициенты которого равны нулю, то после удаления этого уравнения мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

Описанные преобразования называются элементарными преобразованиями системы (1).

Соответствующие преобразования матрицы (3) называются элементарными преобразованиями этой матрицы.

Одним из методов решения системы (1) является метод последовательного исключения неизвестных или метод Гаусса.

Пусть дана система (1). Вместо того, чтобы преобразовывать эту систему, достаточно проводить соответствующие преобразования с её расширенной матрицей (3). Переставим, если нужно, строки матрицы так, чтобы в верхнем левом углу стоял отличный от нуля элемент. Будем считать, что матрица (3) уже удовлетворяет этому условию. Умножив первую строку на число (-), прибавим её ко второй строке. В результате на первом месте во второй строке будет стоять 0. Умножив первую строку на число (-), прибавим её к р-ой строке. В результате на первом месте в р-ой строке будет стоять 0. Сделаем это для всех р от 2 до m. Получим матрицу (4).

Если в матрице (4) есть строка, состоящая целиком из нулей, то её отбросим. Если есть пропорциональные строки, то из них оставим только одну. Пусть в матрице (4) все лишние строки уже отброшены. Строки с номерами 2, 3, … , m переставим, если нужно, так, чтобы во второй строке на втором месте стояло число, отличное от нуля. Пусть с₂₂ ¹ 0. Умножим вторую строку на (-) и прибавим к к-ой строке для всех к от 3 до m. В результате все элементы второго столбца, кроме первых двух будут равны нулю. (Если в матрице (4) все с_к2 равны нулю, то сразу переходим к третьей строке). Продолжая описанную процедуру дальше, мы получим либо треугольную, либо трапециевидную матрицу ( (5) или (6) ).

(5), (6)

В этих матрицах все диагональные элементы, кроме может быть последнего, отличны от нуля.

Если матрица (3) привелась к виду (5), то система (1) эквивалентна системе

(7)

Очевидно, е_nnи f_n не могут быть равны одновременно нулю. Если е_nn ¹ 0, то система (7), а поэтому и система (1), имеет единственное решение. Действительно, из последнего уравнения можно найти х_n. Подставив его значение в предпоследнее уравнение, найдём х_n-1 и так далее. Если же е_nn = 0, то f_n ¹ 0. В этом случае последнее уравнение, а поэтому и вся система, не имеет решения.

Если матрица (3) привелась к виду (6), то система (1) будет эквивалентна системе

(8)

Если тогда и последнее уравнение не имеет решений. Следовательно, не имеет решений и вся система. Если же коэффициенты не все равны нулю, то последнее уравнение имеет бесконечно много решений (одно неизвестное этого уравнения можно выразить через остальные). Но тогда из предпоследнего уравнения можно найти и, поднимаясь по системе, можно найти все неизвестные. Система будет иметь бесконечно много решений.

Метод Гаусса можно запрограммировать и используя полученную программу передать решение системы линейных уравнений на ЭВМ. Недостатком метода является то, что даже в случае определённой системы нельзя найти формулы, выражающие решение через коэффициенты уравнений и свободные члены, а так же не даёт возможности сформулировать условия совместности системы через коэффициенты и свободные члены. Последнее бывает очень важно в различных теоретических исследованиях.

II.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие Пермь 2011 ББК 22.14 УДК 512.6 А 655 Библиогр. назв. ISBN Учебное посо

Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными. Пусть дана система

Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –

Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по

Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами. Определение 8. Суммой двух матриц одинаков

Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения. Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется

Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С

Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15). Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А

Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn (*) конечная система векто

Базис векторного пространства. Координаты вектора
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядо

Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е

Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются

Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерност

Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р

Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля

Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя. j : L

Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : Ln® Ln

Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е

Определение 43
а) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре

Матрица Грама в евклидовом пространстве
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
Определение 51. Базис е = (е1, е2,... , еn) про

Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны

VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с

Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов

Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn . Определение 55. Линейное преобразование

Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( j - самосопряжённое

Линейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln

Билинейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р . Определение 59. Отображение f

Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а

Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн

Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм. Теоре

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос