рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Определение 43

Определение 43 - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА А) Р = R Будем Говорить, Что В Действит...

а) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в) Î R, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения): 1. (а, в) = (в, а) для любых а и в из L; 2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых а, в, с из L; 3. (aа, в) = a(а, в) для любых а и в из L и любого a Î R; 4. (а, а) > 0, если а ¹ 0; (а, а) = 0, если а = 0. б) Р = С Будем говорить, что в комплексном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в) Î С, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения): 1.= для любых а и из L; 2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых а, в, с из L; 3. (aа, в) = a(а, в) для любых а и в из L и любого a Î С; 4. (а, а) Î R и (а, а) > 0, если а ¹ 0; (а, а) = 0, если а = 0.

Скалярное произведение векторов можно обозначать (а, в) или а×в.

Свойства скалярного произведения.

а) Р = R 10. (а, aв) = a(а, в) для любых а и в из L и любого a Î R; 20. (a × а,b× в) = a×b (а, в) для любых а и в из L и любых a , b Î Р; 30. (a × а+ b× в, ) = ag×(а, с) + bg(в, с) для любых а, в и с из L и любых a , b, g Î Р; 40. (а, 0) = 0 для любого вектора а ÎL. б) Р = С 10. (aа, в) = ×(а, в) для любых а и в из L и любого a Î С; 20. (a × а,b× в) = (а, в) для любых а и в из L и любых a , b Î С; 30. (a × а + b× в, ) = (а, с) + b(в, с) для любых а, в и с из L и любых a , b, g Î С; 40. (а, 0) = 0 для любого вектора а Î L.

 

Определение 44. Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством.

Определение 45. Комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется унитарным пространством.

Так как и евклидово и унитарное пространства являются линейными пространствами, то для них верно всё то, что было сказано об этих пространствах. Но введение скалярного произведения позволяет ввести в этих пространствах метрику. В частности n-мерное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение векторов, называется n-мерным евклидовым (или унитарным) пространством. Евклидово n-мерное пространство будем обозначать Еn (унитарное пространство - Un).

Примеры евклидовых пространств.

1. Пусть L – множество всех непрерывных на промежутке [a, b] действительных функций. Это множество является линейным пространством. Скалярное произведение определим по следующему правилу. Если f и g – две непрерывные на [a, b] функции, то пусть (f ,g) = . Из свойств определённого интеграла следует, что все требования определения 43 (а) выполняются. Следовательно, если в пространстве всех непрерывных на промежутке [a, b] действительных функций ввести указанным способом скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством.

2. Пусть М2 – множество квадратных матриц с действительными элементами, это множество является линейным пространством на полем R. Определим скалярное произведение формулой . Легко проверить, что все требования определения 43 (а) выполняются. Множество М2 стало евклидовым пространством.

3. Пусть М2 – множество квадратных матриц с комплексными элементами, это множество является линейным пространством на полем С. Определим скалярное произведение формулой . Легко проверит, что все требования определения 43 (б) выполняются. Получили пример унитарного пространства.

Определение 46. Множество М элементов евклидова пространства Е называется подпространством пространства Е, если оно само является евклидовым пространством относительно того же скалярного произведения, что и Е. Аналогично определяется подпространство унитарного пространства.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение 43

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие   Пермь 2011   ББК 22.14 УДК 512.6 А 655 Библиогр. назв. ISBN   Учебное посо

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л

Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными. Пусть дана система

Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –

Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по

Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами. Определение 8. Суммой двух матриц одинаков

Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения. Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется

Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С

Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15). Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А

Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn (*) конечная система векто

Базис векторного пространства. Координаты вектора
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядо

Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е

Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются

Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерност

Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р

Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
  Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля

Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя. j : L

Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : Ln® Ln

Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е

Матрица Грама в евклидовом пространстве
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
Определение 51. Базис е = (е1, е2,... , еn) про

Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны

VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с

Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов

Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn . Определение 55. Линейное преобразование

Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( j - самосопряжённое

Линейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln

Билинейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р . Определение 59. Отображение f

Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а

Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн

Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм. Теоре

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
  1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги