Матрица Грама в евклидовом пространстве - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть ЕN – N-Мерное Евклидово Прост...
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,... , еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу
Г =  (41)
| Матрица Гназывается матрицей Грама скалярного произведения для базиса е.
Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления
|
скалярного произведения векторов, заданных координатами.
Пусть в базисе е заданы векторы а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn . Тогда (а, в) =(х1е1 + х2е2 + … + хnеn)×( у1е1+ у2е2 + … + уnеn) = 
= х Т×Г×у, где х Т– строка координат вектора а, у – столбец координат вектора в . Итак, (а, в)= х Т×Г×у (42).
Свойства матрицы Грама.
10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.
Это следует из того, что (ек, еs ) = (еs , ек ).
20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.
Это следует из того, что ек ¹ 0 и, следовательно, (ек, ек ) > 0.
30. Для матрицы Грама и любого n-мерного столбца х выполняется условие х Т×Г×х > 0.
Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.
Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х Т×А×х > 0 для любого
ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица
Грама положительно определённая.
40. Пусть е = (е1, е2,... , еn ) и е1 = (е11, е21,... , еn1 ) –два базиса в Еn , Ги Г1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1. Тогда (а, в)= х Т×Г×у, х = Т×х1, у = Т×у1, х Т= (Т×х1)Т= (х1)Т× ТТ. Следовательно, (а, в)= ((х1)Т× ТТ)× Г× (Т×у1) = (х1)Т× (ТТ× Г× Т )× у1. Но (а,в)= (х1)Т× Г1× у1. Отсюда
Г1 = ТТ× Г× Т (43)
Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.
50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.
Из формулы (42) следует ú Г1ú =ú ТТú ×úГú ×úТú = úГú ×úТú 2. Так как |Тú 2> 0, то ú Г1ú и ú Гú имеют одинаковые знаки.
60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.
Примеры.
1. Во множестве М2 квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой 
. Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е1 = 
, е2 = 
, е3 = 
, е4 = 
.
Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е1, е1) = 1, (е1, е2) = (е2, е1) = 0, (е1, е3) = (е3, е1) = 0, (е1, е4) = (е4, е1) = 0, (е2, е2) = 1, (е2, е3) = (е3, е2) = 0, (е2, е4) = (е4, е2) = 0, (е3, е3) = 1, (е3, е4) = (е4, е3) = 0, (е4, е4) = 1. Следовательно,
Г = 
.
2. В пространстве R[х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой 
, где a и b – фиксированные действительные числа, a < b. Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х2, х3).
Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = 
= b – a,
(1, х) = (х, 1) = 
= 
), (1, х2) = (х2, 1) = 
= 
), (1, х3) = (х3, 1) = 
= 
), (х, х) = 
= ), (х, х2) = (х2, х) = 
= ), (х, х3) = (х3, х) = 
= 
), (х2, х2) = 
= ), (х2, х3) = (х3, х2) = 
= 
), (х3, х3) = 
= 
). Матрица Грама будет иметь вид:
Г = 
.
3. В базисе (е1, е2, е3) пространства Е3 скалярное произведение задано матрицей Грама Г = 
. Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).
Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4) × × 
= 7.
Все темы данного раздела:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами.
Определение 8. Суммой двух матриц одинаков
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn (*) конечная система векто
Базис векторного пространства. Координаты вектора
Пусть L – линейное пространство над полем Р.
Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядо
Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются
Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерност
Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р
Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.
Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : Ln® Ln
Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре
Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
Определение 51. Базис е = (е1, е2,... , еn) про
Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны
VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn .
Определение 55. Линейное преобразование
Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( j - самосопряжённое
Линейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln
Билинейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р .
Определение 59. Отображение f
Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (
Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Новости и инфо для студентов