Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,... , еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу
Г = (41) | Матрица Гназывается матрицей Грама скалярного произведения для базиса е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления |
скалярного произведения векторов, заданных координатами.
Пусть в базисе е заданы векторы а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn . Тогда (а, в) =(х1е1 + х2е2 + … + хnеn)×( у1е1+ у2е2 + … + уnеn) = = х Т×Г×у, где х Т– строка координат вектора а, у – столбец координат вектора в . Итак, (а, в)= х Т×Г×у (42).
Свойства матрицы Грама.
10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.
Это следует из того, что (ек, еs ) = (еs , ек ).
20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.
Это следует из того, что ек ¹ 0 и, следовательно, (ек, ек ) > 0.
30. Для матрицы Грама и любого n-мерного столбца х выполняется условие х Т×Г×х > 0.
Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.
Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х Т×А×х > 0 для любого
ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица
Грама положительно определённая.
40. Пусть е = (е1, е2,... , еn ) и е1 = (е11, е21,... , еn1 ) –два базиса в Еn , Ги Г1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1. Тогда (а, в)= х Т×Г×у, х = Т×х1, у = Т×у1, х Т= (Т×х1)Т= (х1)Т× ТТ. Следовательно, (а, в)= ((х1)Т× ТТ)× Г× (Т×у1) = (х1)Т× (ТТ× Г× Т )× у1. Но (а,в)= (х1)Т× Г1× у1. Отсюда
Г1 = ТТ× Г× Т (43)
Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.
50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.
Из формулы (42) следует ú Г1ú =ú ТТú ×úГú ×úТú = úГú ×úТú 2. Так как |Тú 2> 0, то ú Г1ú и ú Гú имеют одинаковые знаки.
60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.
Примеры.
1. Во множестве М2 квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е1 = , е2 = , е3 = , е4 = .
Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е1, е1) = 1, (е1, е2) = (е2, е1) = 0, (е1, е3) = (е3, е1) = 0, (е1, е4) = (е4, е1) = 0, (е2, е2) = 1, (е2, е3) = (е3, е2) = 0, (е2, е4) = (е4, е2) = 0, (е3, е3) = 1, (е3, е4) = (е4, е3) = 0, (е4, е4) = 1. Следовательно,
Г = .
2. В пространстве R[х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой , где a и b – фиксированные действительные числа, a < b. Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х2, х3).
Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = b – a,
(1, х) = (х, 1) = = ), (1, х2) = (х2, 1) = = ), (1, х3) = (х3, 1) = = ), (х, х) = = ), (х, х2) = (х2, х) = = ), (х, х3) = (х3, х) = = ), (х2, х2) = = ), (х2, х3) = (х3, х2) = = ), (х3, х3) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:
Г = .
3. В базисе (е1, е2, е3) пространства Е3 скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).
Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4) × × = 7.