рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Ортогональные линейные преобразования

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Ортогональные линейные преобразования

Ортогональные линейные преобразования - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определение 53. Линейное Преобразование J Евклидо...

Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов а и в из Е выполняется условие

(а, в) = (j(а), j(в)) (49)

Свойства ортогональных преобразований.

Пусть j – ортогональное преобразование пространства Е.

1⁰. | а| = |j(а)| для любого вектора а.

| а| = = = | j(а)|.

2⁰. = для любых векторов а и .

3⁰. Пусть Е_n конечномерное евклидово пространство, е = (е₁, е₂,... , е_n) – базис в нём, А – матрица преобразования j и Г – матрица Грама в этом базисе. Тогда j(а) = А×х, j() = А×у, где х и у –столбцы координат векторов а и соответственно; (а, ) = х^Т×Г×у, (j(а), j()) = (А×х)^Т×Г×( А×у) = х^Т×(А^Т×Г×А)×у. Так как (а, ) = (j(а), j()), то Г = А^Т×Г×А. Итак, матрица ортогонального преобразования удовлетворяет условию

Г = А^Т×Г×А (50)

Справедливо и обратное. Если в Е_n зафиксирован базис и Г – матрица Грама в этом базисе, то матрица А, удовлетворяющая условию (48), задаёт ортогональное преобразование.

Если базис е = (е₁, е₂,... , е_n) ортонормированный, то Г = Е и формула (50) примет вид

А^Т× А = Е, или А^Т = А^–1.

Определение 54. Квадратная матрица А называется ортогональной, если

А^Т = А^–1 (51).

Теорема 48. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся ортогональной матрицей.

Доказательство следует из свойства 3⁰ и определения 53.

Теорема 49.Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда сумма квадратов всех элементов любого столбца (или строки) равна 1, а сумма попарных произведений соответствующих элементов двух различных столбцов (или строк) равна нулю.

Доказательство следует из формулы 51.

Теорема 50.Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный базис.

Доказательство. Þ Пусть j : Е_n ® Е_n ортогональное преобразование и пусть е = (е₁, е₂,... , е_n) ортонормированный базис в Е_n . Если А – матрица этого преобразования в базисе е, то А – ортогональная. Но тогда j(е) = е×А. Распишем это равенство, если

А = .

Получим j(е_к) = а_1ке₁ + а_2ке₂ + … + а_nке_n . Так как базис е ортонормированный, то (j(е_к))² = = (е_к)² = 1, т.е. все векторы j(е_к) единичной длины. По той же причине (j(е_к), j(е_р)) = а_1к×а_1р + а_2к×а_2р + … + а_nк×а_nр = (е_к , е_р ) = 0,

если к ¹ р, т.е. j(е_к) ^ j(е_р). Так как векторы системы j(е) попарно ортогональны, то они линейно независимы, т.е. j(е) – базис. Итак, j(е) – ортонормированный базис.

Ü Пусть е и j(е) – ортонормированные базисы. Тогда 1 = (j(е_к))² = и 0 = (j(е_к), j(е_р)) = а_1к×а_1р + а_2к×а_2р + … + а_nк×а_nр при к ¹ р. Следовательно, по теореме 49, матрица А – ортогональная.

Теорема 51. Если матрица А ортогональная, то |А | = ± 1.

Действительно, если матрица А ортогональная, то А^Т× А = Е. Отсюда |А^Т×А | = |Е |, |А^Т|×| А| = 1, |А|×|А| = 1, |А|² = 1, |А| = ±1.

Теорема 52. Собственные значения ортогонального преобразования могут быть только 1 или (–1).

Доказательство. Пусть l – собственное значение ортогонального преобразования j.

Тогда существует такой ненулевой вектор (х₁, х₂, … , х_n )^Т, что А×х = l×х, где А – матрица преобразования j. Равенство транспонируем и перейдём к сопряжённым числам, получим . Перемножим почленно оба равенства. . Так как А – действительная ортогональная матрица, то . Следовательно, . Отсюда , т.е. |l|² = 1. Но это и значит, что собственными значениями могут быть только числа 1 и (–1).

Теорема53. Собственные векторы ортогонального преобразования, принадлежащие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство. Для любых а и в из Е_n имеет место (а, в) = (j(а), j(в)) = (l₁а, l₂в) = = l₁l₂(а, в). Так как l₁¹ l₂, то, согласно предыдущей теоремы, l₁ =1, l₂ = –1. Следовательно, (а, в) = – (а, в). Отсюда (а, в) = 0. Так как а и в не нулевые, то они ортогональные.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ортогональные линейные преобразования

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие Пермь 2011 ББК 22.14 УДК 512.6 А 655 Библиогр. назв. ISBN Учебное посо

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л

Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными. Пусть дана система

Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –

Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по

Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами. Определение 8. Суммой двух матриц одинаков

Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения. Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется

Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С

Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15). Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А

Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn (*) конечная система векто

Базис векторного пространства. Координаты вектора
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядо

Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е

Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются

Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерност

Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р

Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля

Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя. j : L

Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : Ln® Ln

Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е

Определение 43
а) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре

Матрица Грама в евклидовом пространстве
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
Определение 51. Базис е = (е1, е2,... , еn) про

Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны

VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с

Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn . Определение 55. Линейное преобразование

Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( j - самосопряжённое

Линейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln

Билинейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р . Определение 59. Отображение f

Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а

Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн

Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм. Теоре

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос