Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn .
Определение 55. Линейное преобразование j*: Еn ® Еn называется сопряжённым к преобразованию j, если для любых двух векторов а и в из Еn выполняется условие
(а, j(в)) = (j*(а), в) (52)
Теорема 54. Матрицы сопряжённых преобразованийсвязаны формулой А = Г–1×(А*)Т×Г.
Пусть в Еnзафиксирован базис е = (е1, е2,... , еn), Г – матрица Грама, А – матрица преобразования j и А* – матрица j*. Если х, у, у1 и х* – столбцы координат векторов а, в, j(в)и j*(а)) соответственно, то (а, j(в)) = хТ×Г× у1, (j*(а), в) = (х*)Т×Г× у. Используя равенство (52), получим хТ×Г× у1 = х*×Г× у. Используя связь координат вектора и его образа (формула (36)), получим у1 = А×у, х* = А* × х. Подставим в предыдущее равенство:
Доказательство. Из формулы (53) следует, что (А*)Т = Г×А×Г–1, А* = (Г–1)Т×АТ×ГТ. Так как Г – симметрическая матрица, то ГТ = Г. Следовательно, А* = Г–1×АТ×Г .
Следствие 3. Если базис ортонормированный, то А* = АТ.
Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе Г = Е.
Пример. В базисе е = (е1, е2, е3 , е4) пространства Е4 скалярное произведение заданоматрицей Грама Г = . Пусть А = – матрица линейного преобразования j в этом базисе. Найти матрицу сопряжённого преобразования.
Решение. Легко проверить, что Г удовлетворяет всем требованиям матрицы Грама. Используем формулу (54). Из неё А* = Г–1×АТ×Г. Нужно найти матрицу Г–1. Проверьте, что Г–1 = . Итак,
А* = × × = .
Теорема 55.Если некоторое подпространство L евклидова пространства Еn инвариантно относительно линейного преобразования j, то ортогональное дополнение L^ инвариантно относительно сопряжённого преобразования j*.
Доказательство. Пусть а ÎL , в Î L^. Тогда из условия j(а) Î L следует, что (в, j(а)) = 0. Но (в, j(а)) = (j*(в), а). Следовательно, (j*(в), а) для любого вектора а ÎL. Следовательно, j*(в) Î L^ для любого вектора в Î L^. Но это и означает, что подпространство L^ инвариантно относительно j.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Сопряженные линейные преобразования
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
. Пусть А = 
– матрица линейного преобразования j в этом базисе. Найти матрицу сопряжённого преобразования.
. Итак,
× 
.
Новости и инфо для студентов