Сопряженные линейные преобразования

Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Е_n .

Определение 55. Линейное преобразование j*: Е_n ® Е_n называется сопряжённым к преобразованию j, если для любых двух векторов а и в из Е_n выполняется условие

(а, j(в)) = (j*(а), в) (52)

Теорема 54. Матрицы сопряжённых преобразований связаны формулой А = Г^–1×(А*)^Т×Г.

Пусть в Е_n зафиксирован базис е = (е₁, е₂,... , е_n), Г – матрица Грама, А – матрица преобразования j и А* – матрица j*. Если х, у, у¹ и х* – столбцы координат векторов а, в, j(в) и j*(а)) соответственно, то (а, j(в)) = х^Т×Г× у¹, (j*(а), в) = (х*)^Т×Г× у. Используя равенство (52), получим х^Т×Г× у¹ = х*×Г× у. Используя связь координат вектора и его образа (формула (36)), получим у¹ = А×у, х* = А* × х. Подставим в предыдущее равенство:

х^Т×Г×(А×у) = (А*×х)^Т×Г×у , х^Т×(Г×А)×у = х^Т×((А*)^Т×Г)×у. Отсюда Г×А = (А*)^Т×Г , или

А = Г^–1×(А*)^Т×Г (53)

Следствие 1. А* = Г^–1×А^Т×Г (54).

Доказательство. Из формулы (53) следует, что (А*)^Т = Г×А×Г^–1, А* = (Г^–1)^Т×А^Т×Г^Т. Так как Г – симметрическая матрица, то Г^Т = Г. Следовательно, А* = Г^–1×А^Т×Г .

Следствие 2. Сопряжённость линейных преобразований взаимна.

Доказательство следует из формул 53 и 54.

Следствие 3. Если базис ортонормированный, то А* = А^Т.

Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе Г = Е.

Пример. В базисе е = (е₁, е₂, е₃ , е₄) пространства Е₄ скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Пусть А = – матрица линейного преобразования j в этом базисе. Найти матрицу сопряжённого преобразования.

Решение. Легко проверить, что Г удовлетворяет всем требованиям матрицы Грама. Используем формулу (54). Из неё А* = Г^–1×А^Т×Г. Нужно найти матрицу Г^–1. Проверьте, что Г^–1 = . Итак,

А* = × × = .

Теорема 55.Если некоторое подпространство L евклидова пространства Е_n инвариантно относительно линейного преобразования j, то ортогональное дополнение L^{^} инвариантно относительно сопряжённого преобразования j*.

Доказательство. Пусть а ÎL , в Î L^{^}. Тогда из условия j(а) Î L следует, что (в, j(а)) = 0. Но (в, j(а)) = (j*(в), а). Следовательно, (j*(в), а) для любого вектора а ÎL. Следовательно, j*(в) Î L^{^} для любого вектора в Î L^{^}. Но это и означает, что подпространство L^{^} инвариантно относительно j.