Квадратичные формы - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть LN – N-Мерное Линейное Пространство...
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (а, в).
Определение 61. Симметрическая билинейная форма f (а, в) при условии а = в называется квадратичной формой, заданной на Ln (j(а) = f(а, в) ). При этом f(а, в) и j(а) называются соответствующими друг другу.
Если в пространстве Ln задан базис е = (е1, е2,… , еn) и а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn, то, используя формулу (55), получим запись квадратичной формы в координатах
j(а) = (59)
Матрица квадратичной формы совпадает с матрицей соответствующей симметрической билинейной формы. Квадратичная форма в матричном виде запишется
j(а) = хТ× А ×х (60)
Если в пространстве Ln зафиксирован базис, то между всеми квадратичными формами, заданными на Ln и всеми симметрическими квадратными матрицами порядка n устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Сумма двух квадратичных форм является квадратичной формой. При умножении квадратичной формы на элемент поля Р получается тоже квадратичная форма. При сложении квадратичных форм складываются их матрицы. Если форма умножается на элемент поля Р, то на этот же элемент умножается и её матрица. Следовательно, множество всех квадратичных форм, заданных на Ln , есть линейное пространство, изоморфное линейному пространству квадратных симметрических матриц порядка n. Размерность этого пространства равна .
Так как квадратичная форма и соответствующая симметрическая билинейная форма имеют одну и ту же матрицу, то связь матриц А и А1 в разных базисах задаётся формулой (56), т.е. А1 = ТТ×А×Т , где Т – матрица перехода от первого базиса ко второму, ТТ – матрица, транспонированная для матрицы Т. Следовательно, в разных базисах квадратичная форма имеет более или менее сложные матрицы, а поэтому более или менее сложную запись в координатах. Поэтому возникает задача: найти в пространстве Ln такой базис, в котором квадратичная форма имела бы наиболее простой вид.
Определение 62. Если j(а) = a1х12 + a2х22 + … + anхn2, то говорят, что квадратичная форма j(а) имеет канонический вид.
Если поле Р есть поле рациональных или действительных чисел и
j(а) = х12 + х22 + … + хк2 – хк+12– … – хr2,
то говорят, что квадратичная форма имеет нормальный вид. В случае, когда Р = Снормальным видом квадратичной формы называют j(а) = х12 + х22 + …+ хк2 + хк+12+ .+ хr2.
Теорема 64. Всякая квадратичная форма с помощью линейного невырожденного преобразования (преобразования координат) может быть приведена к каноническому виду.
Доказательство. Пусть j(а) – квадратичная форма, заданная на пространстве Ln . Пусть в Ln задан базис е и пусть в этом базисе j(а) = хТ× А ×х . Матрица А –симметрическая, поэтому по теореме 60 существует такая ортогональная матрица Т, что матрица А1 = Т–1×А×Т будет диагональной, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А (они все – действительные числа). Так как ортогональная матрица невырожденная, то существует такой базис е1, что Т будет матрицей перехода от базиса е к базису е1. Так как для ортогональной матрицы Т–1 = Т Т, то А1– матрица данной формы в базисе е1. Итак, в базисе е1данная форма имеет канонический вид.
Замечание. Приведение симметрической матрицы к диагональному виду описано в примере пункта 8.3.
Теорема 65.Всякую квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду.
Доказательство. В теореме 64 доказано, что квадратичную форму можно привести к каноническому виду. Перенумеровав, если нужно переменные, будем считать, что первые r коэффициентов в каноническом виде отличны от нуля, а остальные (n – r) равны нулю.
1) В случае, когда Р = С сделаем преобразование координат по формулам (*).
(*)
Так как определитель этих формул отличен от нуля, то они задают преобразование координат. В новых координатах
j(а) = у12 + у22 + … + уr2.
Получили комплексный нормальный вид квадратичной формы.
2) Если Р = R , т.е. j(а) – действительная квадратичная форма, то в каноническом виде запишем сначала члены с положительными коэффициентами, затем – с отрицательными и, наконец, с нулевыми.
(**)
j(а) = a1х12 + a2х22 + … + aкхк2 – aк+1хк+12 – … – arхr2
Сделаем преобразование координат по формулам (**), получим
j(а) = у12 + у22 + … + ук2 – ук+12 – … – уr2 .
Но это и есть нормальный вид действительной квадратичной формы.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Для решения задачи эту матрицу нужно привести к диагональному виду. Это было сделано в примере пункта 8.3. Собственные значения этой матрицы l1 = l2 = l3 = 1, l4 = – 3. Базис из собственных векторов был найден е11= е21= ,
А1 =
е31 = , е41 = (1, –1, –1, 1).
В этом базисе квадратичная форма будет иметь матрицу А1. Матрицей перехода от исходного базиса к базису е1 будет матрица Т.
Т =
Следовательно, форма j будет иметь следующий канонический вид
j = х12 + х22+ х32 – 3х42.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Квадратичные формы
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов