рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов

Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть LN – N-Мерное Линейное Пространство ...

Пусть L_n – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана квадратичная форма j(а) = . Если n = 1, то форма уже имеет канонический вид, поэтому рассуждение можно вести индукцией по числу переменных. Пусть форму можно привести к каноническому виду, если число переменных не более (n – 1). Докажем его для n переменных. Возможны два случая.

1) Все коэффициенты a_кк = 0. Если все коэффициенты равны 0, то можно считать, что форма имеет канонический вид. Поэтому пусть хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Не нарушая общности, можно считать, что a₁₂ ¹ 0. Сделаем преобразование координат: х₁ = у₁ – у₂ , х₂= у₁ + у₂ , х₃ = у₃ , … , х_n = у_n . В новых координатах

j(а) = a₁₂у₁² – a₁₂у₂² + y , где y не будет содержать у₁² и у₂², поэтому эти слагаемые ни с чем проведены быть не могут. Следовательно, достаточно рассмотреть случай

2) Хотя бы один коэффициент при квадратах переменных отличен от нуля. Пусть a₁₁¹ 0. Соберём в форме j(а) все слагаемые, содержащие х₁, вынесем a₁₁ за скобки, дополним полученную скобку до полного квадрата и компенсируем сделанные добавки.

a₁₁×() +

+ y (х₂, х₃, … ,х_n), где y (х₂, х₃, … ,х_n) – квадратичная форма от (n – 1) переменной. По предположению индукции форму y (х₂, х₃, … ,х_n) можно с помощью преобразования координат (х₂, х₃, … ,х_n) привести к каноническому виду. Дополнив это преобразование формулой у₁ = , получим, что j(а) = .

Рассмотрим этот способ упрощения квадратичной формы на примере.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

1) j = 3х₁² + 5х₂² + х₃² – 6х₁х₂ + 9х₁х₃ – 7х₂х₃ .

Решение. Коэффициент при х₁² отличен от нуля, поэтому соберём слагаемые, содержащие х₁ (они подчёркнуты), вынесем за скобки коэффициент при х₁² (т.е. 3) и дополним выражение в скобках до полного квадрата (за скобками компенсируем то, что добавили в скобках), получим

j = 3×(х₁² – 2х₁х₂ + 3х₁х₃ + х₂² + х₃² – 3х₂х₃) – 3х₂² – х₃² + 9х₂х₃ + 5х₂² + х₃² – 7х₂х₃ =

= 3(х₁ – х₂ +х₃)² +2х₂² –х₃² + 2х₂х₃. Так как коэффициент при х₂² отличен от нуля, то соберём слагаемые, содержащие х₂, вынесем коэффициент при х₂² за скобку и дополним выражение в скобках до полного квадрата. Получим

j = 3(х₁ – х₂ + х₃)² +2(х₂² + х₂х₃ + х₃²) –х₃² –х₃² =3(х₁ – х₂ + х₃)² + 2(х₂ + х₃)² –х₃². Сделаем преобразование координат:

у₁= х₁ – х₂ + х₃ , у₂ = х₂ + х₃ , у₃ = х₃. В новых координатах получим, что

j = 3у₁² + 2у₂² – у₃².

Если квадратичная форма задана над полем действительных чисел, то сделав ещё одно преобразование координат: z₁ = у₁, z₂ = у₂ , z₃ = у₃ , получим нормальный вид данной формы j = z₁² + z₂² – z₃².

2) j = х₁х₃ + 2х₂х₃ + 4х₃х₄ .

Решение. Так как данная квадратичная форма не содержит квадратов переменных, то сначала сделаем преобразование координат по формулам: х₁ =у₁ – у₃, х₂ =у₂, х₃ =у₁ + у₃, х₄= у₄. Получим j = (у₁– у₃)( у₁ + у₃) + 2у₂(у₁– у₃) + 4(у₁ + у₃)у₄ = у₁²– у₃² + 2у₁у₂ + 4у₁у₄ –2у₂у₃ + 4у₃у₄. Соберём слагаемые с у₁ (коэффициент при у₁² равен 1, поэтому ничего за скобки выносить не надо). Получим j = (у₁²+ 2у₁у₂ + 4у₁у₄ + у₂² +4у₄²+4у₂у₄) – у₂²– 4у₄²– 4у₂у₄ – у₃²– 2у₂у₃ + 4у₃у₄ = = (у₁ + у₂ + 2у₄)² – (у₂² + 2у₂у₃ + 4у₂у₄ + у₃² + 4у₄² + 4у₃у₄) + у₃²+ 4у₄² + 4у₃у₄ – 4у₄²– у₃² + 4у₃у₄ = = (у₁ + у₂ + 2у₄)² – (у₂ + у₃ + 2у₄)² + 4у₃у₄. Для преобразования последнего слагаемого снова нужно положить у₃ = z₃ – z₄, у₄ = z₃ + z₄. Отсюда z₃ = , z₄=. Итак, сделаем преобразование координат по формулам:

z₁ = у₁ + у₂ + 2у₄ , z₂ = у₂ + у₃ + 2у₄ , z₃ = , z₄=. В новых координатах

j = z₁² – z₂² + 4z₃² – 4z₄².

Получили канонический вид данной квадратичной формы над полем действительных чисел.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие Пермь 2011 ББК 22.14 УДК 512.6 А 655 Библиогр. назв. ISBN Учебное посо

I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л

Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными. Пусть дана система

Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –

Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по

Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.

Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами. Определение 8. Суммой двух матриц одинаков

Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения. Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется

Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С

Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15). Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А

Линейная зависимость и независимость векторов
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Пусть а1, а2, … , аn (*) конечная система векто

Базис векторного пространства. Координаты вектора
Пусть L – линейное пространство над полем Р. Определение 18. Базисом линейного пространства называется любая упорядо

Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е

Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Изоморфизм линейных пространств
Определение 24. Два линейных пространства L и L1 над одним и тем же полем Р называются

Ранг матрицы
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = произвольная матрица размерност

Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
Пусть дана система линейных уравнений (25), коэффициенты которых принадлежат данному полю Р

Пространство решений системы линейных однородных уравнений
Пусть дана система (30) линейных однородных уравнений с коэффициентами из поля Р.

Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля

Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя. j : L

Невырожденные линейные преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : Ln® Ln

Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е

Определение 43
а) Р = R Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре

Матрица Грама в евклидовом пространстве
Пусть Еn – n-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2,

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
Определение 51. Базис е = (е1, е2,... , еn) про

Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны

VIII. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все эти свойства связаны лишь с

Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов

Сопряженные линейные преобразования
Пусть j - линейное преобразование евклидова пространства Еn . Определение 55. Линейное преобразование

Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно совпадает со своим сопряжённым преобразованием ( j - самосопряжённое

Линейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и f –линейное отображение пространства Ln

Билинейные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р . Определение 59. Отображение f

Квадратичные формы
Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и пусть на нём задана симметрическая билинейная форма f (

Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн

Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм. Теоре

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос