Распадающиеся квадратичные формы

Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.

Теорема 70. Квадратичная форма над полем комплексных чисел распадается тогда и только тогда, когда её ранг меньше или равен двум. Квадратичная форма над полем действительных чисел распадается тогда и только тогда, когда либо её ранг не больше единицы, либо её ранг равен двум, а положительный индекс инерции равен единице.

Доказательство. Если форма нулевая (её ранг равен нулю), то утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим любую ненулевую форму j(а).

Þ Пусть квадратичная форма j распадающаяся. Тогда

j(а) = (a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)×(b₁х₁ + b₂х₂ + … + b_nх_n).

Возможны два случая:

1. a_к = lb_к для всех к = 1, 2, … , n. Тогда j(а) = l(a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)².

Сделав преобразование координат по формулам:

у₁ = a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n , у₂ = х₂ , … , у_n = х_n , получим j(а) = lу₁². Но это канонический вид данной формы. Следовательно, ранг формы равен 1.

2. Не все a_к равны соответствующим b_к .

Сделав преобразование координат по формулам:

у₁ = a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n , у₂ = b₁х₁ + b₂х₂ + … + b_nх_n , у₃ = х₃ , … , у_n = х_n , получим

j = у₁у₂ .

Сделав ещё одно преобразование координат по формулам:

у₁ = z₁ – z₂ , у₂ = z₁ + z₂ , у₃ = z₃ , … , z_n , получим j = z₁² – z₂². В случае поля действительных чисел это выражение является нормальным видом данной формы. Следовательно, ранг формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1. Если дана форма над полем комплексных чисел, то преобразование у₁ = z₁ –i z₂ , у₂ = z₁ +i z₂ , у₃ = z₃ , … , z_n приводит форму к виду j = z₁² + z₂². Ранг этой формы равен 2.

Ü Если действительная или комплексная форма имеет ранг 1, то она приводится к нормальному виду j(а) = у₁². Из формул преобразования координат у₁=a₁х₁ + a₂х₂ +…+ a_nх_{n .} Но тогда j = (a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)², т.е. форма распадающаяся.

Если комплексная форма имеет ранг 2, то она приводится к виду

j = z₁² + z₂² = (z₁ – i z₂)×( z₁ +i z₂).

Подставив вместо z₁ и z₂ их выражения из формул преобразования координат, получим в исходных координатах j(а) = (a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)×(b₁х₁ + b₂х₂ + … + b_nх_n), т.е. форма распадающаяся.

Если действительная форма имеет ранг 2 и положительный индекс инерции 1, то она приводится к виду j = z₁² – z₂² = (z₁ – z₂)×(z₁ + z₂). Подставив вместо z₁ и z₂ их выражения, получим j(а) = (a₁х₁ + a₂х₂ + … + a_nх_n)×(b₁х₁ + b₂х₂ + … + b_nх_n), т.е. форма распадающаяся.

 

Пример. Будет ли распадающейся над полем действительных чисел квадратичная форма: j = 3х₁² + 3х₁х₂ – 2х₁х₃ + 8х₁х₄ – 2х₂х₃ + 5х₂х₄ – 2х₃х₄ + 5х₄².

Решение. Приведём форму к каноническому виду.

j = (36х₁² + 36х₁х₂ – 24х₁х₃ + 96х₁х₄ + 9х₂² + 4х₃² + 64х₄² – 12х₂х₃ + 48х₂х₄ – 32х₃х₄) – х₂² –

–х₃² – х₄² + х₂х₃ – 4х₂х₄ + х₃х₄ – 2х₂х₃ + 5х₂х₄ – 2х₃х₄ + 5х₄² = (6х₁ + 3х₂ – 2х₃ + 8х₄)² –

–(х₂² + 3х₂х₃ – 3х₂х₄ + х₃² + х₄² – 2х₃х₄) + х₃² + х₄² – х₃х₄ –х₃² – х₄² + х₃х₄ –

– 2х₃х₄ + 5х₄² = (6х₁ + 3х₂ – 2х₃ + 8х₄)² – (х₂ + х₃ – х₄)². Отсюда видно, что ранг данной формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1, следовательно, форма распадается. Действительно,

j = (3х₁ +х₂ – х₃ + 4х₄ + х₂ + х₃ – х₄)×( 3х₁ + х₂ – х₃ + 4х₄ – х₂ – х₃ + х₄).

Отсюда j = (х₁ + х₂ + х₄)×(3х₁ – 2х₃ + 5х₄).

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОЛЛОКВИУМУ «Определители. Матрицы. Линейные пространства»

 

1. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

2. Определители 2-го и 3-го порядка.

3. Перестановки: определение, свойства.

4. Подстановки: определение, свойства.

5. Определители n-го порядка: определение, свойства, в которых говорится о равенстве определителя нулю.

6. Определители n-го порядка: определение, свойства, в которых говорится, что определитель не изменится.

7. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю.

8. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.

9. Теоремы Лапласа и Крамера.

10. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.

11. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.

12. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.

13. Обратная матрица.

14. Решение матричных уравнений.

15. Определение и примеры линейных пространств.

16. Арифметическое линейное пространство.

17. Линейно зависимые системы векторов: определение, свойства.

18. Линейно независимые системы векторов: определение, свойства.

19. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов.

20. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства.

21. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства.

22. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.

23. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.

24. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма.

25. Изоморфизм линейных пространств.