Комплексные числа - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Определение 4. Комплексным Числом Называется Выражени...
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в – действительные числа, i2 = -1 (i называют мнимой единицей).
Если z = а + вi, то а называется действительной частью числа z, а вi – его мнимой частью. Говорят, что комплексное число задано в алгебраической форме. Во множестве комплексных чисел вводятся операции сложения и умножения следующим образом. Если z = а + вi и z1 = а1+ в1i два комплексных числа, то
z + z1 = (а + а1) + (в + в1)×i, z×z1= (аа1 - вв1) + (ав1 + а1в)×i.
Эти операции обладают следующими свойствами.
1. Сложение и умножение для любой пары комплексных чисел определено и однозначно.
2. z + z1 = z1 + z, z × z1 = z1× z для любых z и z1 (коммутативный закон сложения и умножения).
3. z +(z1 + z2) = (z + z1)+ z2, z ×(z1 × z2) = (z × z1)× z2 для любых z, z1 и z2 (ассоциативный закон сложения и умножения).
4. z ×(z1 + z2) = z ×z1 + z× z2 для любых z, z1 и z2 (дистрибутивный закон).
5. Если 0 = 0 + 0×i, то z + 0 = z для любого z.
6. Если -z = -а + (-в)i, то z + (-z) = 0, т.е. для любого комплексного числа существует противоположное число.
Число = а - вi называется сопряжённым для числа z, z + = 2а, z×= а2+ в2. Следовательно, если z ¹ 0, то z×¹ 0.
7. Если 1 = 1 + 0×i, то 1×z = z.
8. Если z ¹ 0 и , то . Следовательно, для каждого отличного от нуля комплексного числа существует обратное число.
Итак, во множестве комплексных чисел введены такие же операции (сложение и умножение), как и во множествах рациональных и действительных чисел. И свойства этих операций во всех трёх множествах одинаковы. Такие множества называются полями. Их общее обозначение Р. Конкретные обозначения: Q – поле рациональных чисел, R – поле действительных чисел, С – поле комплексных чисел.
Зафиксируем на евклидовой плоскости прямоугольную систему координат. Пусть
z = а + bi. Будем говорить, что точка с координатами (а, b)и вектор с этими же координатами изображаютданное комплексное число. Длину вектора назовём модулем числа z, Угол (ориентированный) между осью (ОХ) и этим вектором назовём аргументом данного числа. Очевидно, каждое комплексное число имеет бесконечно много значений аргумента. Так как а = пр(ОХ)и b = пр(ОУ), то а = r×cosj,
b = r×sinj, r2= а2+ b2, tgj = . Подставив значения а и b в алгебраическую форму числа z, получим z = r (cosj + i×sinj). Это тригонометрическая форма комплексного числа. Легко проверить, что z × z1 = r×r1(cos(j + j1) + sin(j + j1)); , если z1 ¹ 0. Отсюда zn = rn(cosnj + i×sinnj). Можно показать, что
, где к = 1, 2, … , n и - арифметическое значение корня из действительного числа r. Таким образом, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Комплексные числа
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Умножение матриц
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
= а - вi называется сопряжённым для числа z, z + 
, то 
. Следовательно, для каждого отличного от нуля комплексного числа существует обратное число.
назовём модулем числа z, Угол (ориентированный) между осью (ОХ) и этим вектором назовём аргументом данного числа. Очевидно, каждое комплексное число имеет бесконечно много значений аргумента. Так как а = пр(ОХ)
. Подставив значения а и b в алгебраическую форму числа z, получим z = r (cosj + i×sinj). Это тригонометрическая форма комплексного числа. Легко проверить, что z × z1 = r×r1(cos(j + j1) + sin(j + j1)); 
, если z1 ¹ 0. Отсюда zn = rn (cosnj + i×sinnj). Можно показать, что
, где к = 1, 2, … , n и 
- арифметическое значение корня из действительного числа r. Таким образом, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Новости и инфо для студентов