Рассмотрим множество Mmn всех матриц размерности m´n с действительными (комплексными) элементами.
Определение 8. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц.
Если арк и врк – соответствующие элементы матриц А и В соответственно и С = А + В, то срк = арк + врк .
Очевидно, сложение матриц обладает следующими свойствами:
· Сумма любых двух матриц одинаковой размерности определена и однозначна.
· А + В = В + А для любых матриц А и В из Mmn.
· (А + В) + С = А + (В + С) для любых А, В, С из Mmn .
· Матрица, все элементы которой равны нулю, играет роль нуля при сложении и называется нулевой матрицей. Её обозначают О (А + О = А ).
· Если обозначить -А матрицу, все элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы А, то А + (-А) = О, т.е. матрица (-А) противоположна матрице А. Итак, каждая матрица имеет противоположную.
Определение 9. Произведением матрицы А на действительное (или комплексное) число l называется матрица В, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы А, умноженным на l.
Если арк – элемент матрицы А, то в матрице В элемент врк =l×арк .
Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
· Произведение любой матрицы на любое число определено и однозначно.
· 1×А = А для любой матрицы А из Mmn .
· 0×А = О для любой матрицы А из Mmn .
· (l×g)×А = l×(g×А) для любой матрицы А из Mmn и любых чисел l и g.
· (l + g)×А = l×А + g×А для любой матрицы А из Mmn и любых чисел l и g.
· l×(А + В) = l×А + l×В для любых матриц А и В из Mmn и любого числа l.
· Если А - квадратная матрица n-го порядка, то |lА| = ln×|А |.