Умножение матриц - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Пусть А – Матрица Размерности M´n И В – Матрица Ра...
Пусть А – матрица размерности m´n и В – матрица размерности n´ к. Произведением матрицы А на матрицу Вназывается матрица С, элементы которой получаются следующим образом: каждый элемент р-ой строки матрицы А умножается на соответствующий элемент q-го столбца матрицы В, полученные произведения складываются и результат ставится в пересечение р-ой строки и q-го столбца матрицы С, т.е. срq = (11).
Размерность матрицы С равна m´ к.
Пример 1.
= .
Пример 2. Произведение матриц не определено.
Но даже если А×В и В×А определены, то они не обязаны быть равны.
Пример 3. А×В = ,
А×В = .
В этом примере А×В и В×А определены, но А×В ¹ В×А . Следовательно, для умножения матриц коммутативный закон не имеет места. Можно проверить:
10. Если (А×В)×С и А×(В×С) определены, то (А×В)×С = А×(В×С).
20. Если (А + В)×С определено, то (А + В)×С = А×С + В×С.
30. Если А×В определено, то (lА)×В =l×(А×В).
3.4.Умножение квадратных матриц одного порядка.
Произведение любых двух квадратных матриц одного порядка всегда определено. При умножении двух квадратных матриц n-го порядка получится матрица того же порядка.
Теорема 7. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей сомножителей.
Доказательство. Пусть А = , В =. Составим
С =
матрицу С и вычислим её определитель двумя способами. Сначала используем теорему Лапласа, разложив его по первым n строкам. Получим |С|= |А|×|В|.
Для вычисления вторым способом преобразуем матрицу С, используя те преобразования, которые не меняют определитель. К (n +1)-му столбцу матрицы С прибавим 1-ый столбец, умноженный на ,
2-ой столбец, умноженный на , … , n-ый столбец, умноженный на .
Тогда в (n +1)-м столбце напервых n местах будут стоять элементы первого столбца матрицы А×В, а на остальных местах – нули.
С1 =
Продолжая аналогичные преобразования с (n +2)-м и т.д. столбцами, получим матрицу С1. Здесь скр – элементы произведения А×В. Очевидно, |С1| = |С|. Определитель матрицы С1 вычислим, разлагая его (по теореме Лапласа) по последним n строкам. Получим
|С| = (-1)n×(-1)к×|А×В|, где к = 1 + 2 + …+ n + + (n + 1) + … + 2n = (2n + 1 )×n. Так как (2n + 1 )×n + + n = 2(n + 1 ), то |С| = |АВ |. Итак, |АВ | = |А|×|В| (12).
Если |А| ¹ 0, то матрица А называется невырожденной, если же |А| = 0, то матрица А вырожденная. Из теоремы 7 следует, что произведение двух невырожденных квадратных матриц одного порядка есть невырожденная матрица того же порядка, если же одна из матриц вырожденная, то их произведение – тоже вырожденная матрица.
Квадратная матрица Е = называется единичной матрицей. Легко проверить, что Е×А = А×Е для любой квадратной матрицы А, имеющей тот же порядок, что и Е. Очевидно, |Е| = 1.
Определение 11. Матрица В называется правойобратной для матрицы А, если В×А= Е и левой обратной для А, если А×В = Е.
Возникает вопрос, всякая ли квадратная матрица имеет левую или правую обратную матрицу. Если В – левая или правая обратная матрица, то (по теореме 7) |В|×|А| = |А|×|В| = 1, т.е. матрица А не может быть вырожденной.
Пусть А квадратная невырожденная матрица, найдём алгебраические дополнения для всех её элементов. Составим новую матрицу А*следующим образом: алгебраические дополнения элементов к-ой строки матрицы А поставим в к-ый столбец матрицы А*, т.е. А* = . Матрица А* называется присоединённой для матрицы А. По правилу умножения матриц и свойствам определителя получаем, что
А×А*= А*×А = = |А|×Е.
Так как |А| ¹ 0, то матрица В = существует и А×В = В×А = Е, т.е. матрица В является и левой и правой обратной матрицей для матрицы А. Эта матрица называется обратной матрицей для А и обозначается А-1. Итак, получили
Теорема 8. Для всякой квадратной невырожденной матрицы существует обратная матрица. Обратная матрица перестановочна с данной матрицей и вычисляется по формуле
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Умножение матриц
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Пермь 2011
ББК 22.14
УДК 512.6
А 655
Библиогр. назв.
ISBN
Учебное посо
I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с л
Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система
Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом называется выражение вида а + вi, где а и в –
Перестановки и подстановки
Мы получили два эквивалентных определения определителя третьего порядка (формулы (4) и (5)). С помощью (4) определитель 3-го порядка вводится с помощью определителей второго порядка (разложение по
Определители n-го порядка
Пусть А = произвольная квадратная матрица n-го порядка с действительными (или комплексными) элементами.
Простые и двойные суммы
Введём некоторые общематематические понятия и обозначения.
Определение 10. Сумма вида а1 + а2 + … +аn называется
Решение матричных уравнений
Рассмотрим простейшие матричные уравнения вида А×Х = В (14) и Х×А = В (15).
Возможны два случая: 1) матрица А квадратная невырожденная; 2) матрица А
Подпространства линейных пространств
Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.
Линейные преобразования линейного пространства
Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.
j : L
Определение 43
а) Р = R
Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование j евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов
Закон инерции квадратичных форм
Квадратичную форму можно приводить к нормальному виду различными невырожденными линейными преобразованиями (преобразованиями координат). Возникает вопрос: как связаны между собой различные нормальн
Распадающиеся квадратичные формы
Определение 66. Квадратичная форма называется распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.
Теоре
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскос
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
(11).
.
не определено.
,
.
, В = 
. Составим
,
2-ой столбец, умноженный на 
, … , n-ый столбец, умноженный на 
.
называется единичной матрицей. Легко проверить, что Е×А = А×Е для любой квадратной матрицы А, имеющей тот же порядок, что и Е. Очевидно, |Е| = 1.
. Матрица А* называется присоединённой для матрицы А. По правилу умножения матриц и свойствам определителя получаем, что
= |А|×Е.
существует и А×В = В×А = Е, т.е. матрица В является и левой и правой обратной матрицей для матрицы А. Эта матрица называется обратной матрицей для А и обозначается А-1. Итак, получили
.
= 14, А12 = 
= - 6, А13 = 
= 3, А21 =
= 8, А22 = 
= 2, А23 = 
= -1, А31 = 
= 28, А32 = 
= 16, А33 = 
= 11. Используя теорему 8, получим А-1 = 
.
Новости и инфо для студентов