Линейная алгебра

I. Линейная алгебра

1.1. Действия над матрицами.

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица элементов (чисел, функций), содержащая m строк и n столбцов:

В записи элемента а_ij первый индекс i определяет номер строки, а второй индекс j - номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов (m = n), то матрица называется квадратной порядка n.

Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и a_ij = b_ij при всех , .

Если у матрицы А строки и столбцы поменять местами, т.е. строки записать столбцами (или, то же самое, столбцы записать строками), то полученная матрица называется транспонированной к Аи обозначается А^т или А¹.

Умножение матрицы на число.

Произведением aА матрицы А на число a называется матрица В, получаемая из матрицы А умножением всех ее элементов на a, т.е. b_ij = aa_ij, , .

Сложение матриц.

Суммой А+В матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и… Умножение матриц. Произведение матрицы Ана матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк…

Дана матрица А

Найти А-1, если она существует. Решение: Вычислим определитель матрицы А, раскладывая определитель по первой строке.

АХ = В

Пусть матрица А невырожденная, т.е. . Тогда

.

2. Формулы Крамера.

Решение системы уравнений может быть найдено по формулам:

, ,

где - определитель матрицы А(),

Dj- определители, получаемые из определителя заменой j-го столбца на столбец В свободных членов системы уравнений.

3. Метод полного исключения (Метод Жордана-Гаусса).

Пусть .

Метод полного исключения состоит из конечного числа однотипных шагов, каждый из которых заключается в следующем: выбирается некоторое уравнение, которое называется ведущим уравнением и некоторая неизвестная, которая называется ведущей неизвестной. Коэффициент при ведущей неизвестной в ведущем уравнении называют ведущим элементом. После этого элементарными преобразованиями системы ведущую неизвестную исключают из всех уравнений системы, кроме ведущего.

Пусть, например, в заданной системе уравнений на первом шаге в качестве ведущего уравнения выбрано первое уравнение, в качестве ведущего элемента а₁₁ . Разделим ведущее уравнение на а₁₁. Получим

Умножим это уравнение на -а₂₁ и прибавим ко второму уравнению системы, затем на -а₃₁ и прибавим к третьему уравнению системы.

После этих преобразований вместо исходной системы получим эквивалентную ей систему, в которой неизвестная х₁ присутствует только в одном уравнении:

После выполнения второго и третьего шагов система уравнений запишется в виде:

что и дает решение исходной системы уравнений.

15. Решить систему уравнений:

а) матричным методом;

б) по формулам Крамера;

в) методом полного исключения.

а) обозначим:

, , .

Система уравнений запишется в виде АХ = В, откуда Х = А^-1В.

Находим матрицу А^-1.

; ; ;

; ; ;

; ; .

;

Таким образом, решение системы: х₁=1; х₂=2; х₃=-1.

б) вычисляем :

;

;

;

.

Решение системы:

; ; .

в) на первом шаге в качестве ведущего уравнения выбираем первое уравнение, в качестве ведущей неизвестной х₂, (для удобства вычислений, т.к. коэффициент при х₂равен 1).

Умножаем первое уравнение на 2 и прибавляем ко второму уравнению, затем на (-1) и прибавляем к третьему уравнению. Получаем систему уравнений:

На втором шаге в качестве ведущего уравнения выбираем третье уравнение, в качестве ведущей неизвестной х₁. Ведущий элемент равен 1. Умножаем третье уравнение на -2 и прибавляем к первому уравнению, затем на -5 и прибавляем ко второму уравнению. Получаем:

На третьем шаге в качестве ведущего уравнения выбираем второе уравнение, в качестве ведущей неизвестной х₃. Делим второе уравнение на ведущий элемент 28. Получаем х₃ = -1. Умножаем на -11 и прибавляем к первому уравнению, затем на 4 и прибавляем к третьему уравнению. Получаем:

Получили решение системы х₁=1, х₂=2, х₃=-1.

При решении системы уравнений методом полного исключения удобно использовать табличный вариант этого метода. Решение рассмотренной системы можно записать в виде следующей таблицы:

х₁=1, х₂=2, х₃=-1.

Крайний правый столбец (столбец S) - столбец контроля вычислений. Вначале числа этого столбца вычисляем как суммы всех элементов строки, например, 2+1+3+1=7. В дальнейшем элементы этого столбца вычисляем так же, как и все остальные элементы таблицы. После вычисления всех элементов делаем проверку вычислений: элемент, стоящий в столбце S, должен быть равен сумме всех предыдущих элементов этой строки.

16. Решить систему уравнений:

а) при помощи обратной матрицы;

б) по формулам Крамера;

в) методом полного исключения.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;