Сложение матриц.

Складывают матрицы только одинакового размера.

Суммой А+В матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т.е. c_ij = a_ij +b_ij, , .

Умножение матриц.

Произведение матрицы Ана матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением А´В матрицы А размера m´n на матрицу В размера n´k называется матрица С размера m´k, элемент которой С_ij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В, т.е.

, , .

В общем случае (даже когда имеют смысл и АВ и ВА) АВ ¹ ВА.

1., , .

Вычислить:

1); 2) ; 3) .

Решение:

1);

2);

3).

2.Вычислить сумму и разность матриц А и В:

1); ;

2); ;

3); ;

4); ;

5); .

3.Вычислить :

1), , ;

2), , ;

3); ; ;

4), , .

4.Вычислить произведение АВ и там, где это возможно, ВА:

1), ;

2), ;

3), ;

4), ;

5), ;

6), .

5.Вычислить всевозможные произведения матриц А, В, С и С² = С×С:

1), , ;

2), , ;

3), , ;

4), , .

6.Вычислить Аⁿ:

1);

2);

3).

 

1.2. Определители.

Важной числовой характеристикой квадратной матрицы А является определитель матрицы А, который обозначается det А или |А|.

Пусть .

Определителем второго порядка, соответствующим матрице А, называется число

Квадратной матрице А n-го порядка соответствует определитель n-го порядка

Минором M_ij элемента a_ij называется определитель (n-1)-го порядка, получаемый из определителя n-го порядка путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется минор этого элемента M_ij, умноженный на (-1)^i+j, т.е.

Определитель n-го порядка - это число, равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) определителя на соответствующие им алгебраические дополнения, т.е.

Свойства определителей.

1.Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании, те.
|A| = |A^т|.

2. Если определитель имеет нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

3. Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак.

4. Общий множитель элементов любой строки (столбца), определителя можно выносить за знак определителя.

5. Определитель, имеющий две равные или пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

6. Если одна из строк (столбцов) определителя является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

7. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-нибудь его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число.

7.Вычислить определители:

1); 2) ; 3)

Решение:

1).

2)разложим определитель по элементам первой строки:

.

Вычислим алгебраические дополнения А₁₁, А₁₂, А₁₃:

;

;

;

.

Для вычисления определителя можно использовать разложение по элементам любой строки (столбца) определителя.

3)для вычисления определителя удобно применить метод понижения порядка. Используя свойство 7, исходный определитель преобразуем в равный ему определитель, у которого какая-либо строка или столбец содержит только один отличный от нуля элемент.

Преобразуем заданный определитель так, чтобы все элементы второго столбца были равны нулю, за исключением элемента 1, стоящего во второй строке. Для этого достаточно вторую строку прибавить к первой, а затем вторую умножить на (-2) и прибавить к четвертой строке. После этих преобразований получаем:

.

Преобразованный определитель раскладываем по элементам второго столбца:

.

С полученным определителем можно поступить аналогично. Преобразуем его так, чтобы все элементы третьего столбца, кроме элемента 1, были равны нулю. Для этого вторую строку умножаем на (-3) и прибавляем к первой строке, а затем умножаем на (-4) и прибавляем к третьей строке. Получаем:

.

Раскладывая определители по элементам третьего столбца, получаем:

.

8.Вычислить определители:

1); 2) ; 3) ;

4); 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

9.Решить уравнения:

1); 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

10. Решить неравенства:

1); 2) ;

3) ; 4) .

 

1.3. Обратная матрица.

Пусть А- квадратная матрица, Е- единичная матрица порядка n. Квадратная матрица В порядка n называется обратной к матрице А, если АВ = ВА = Е.

Обратная матрица обозначается А^-1.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Если у квадратной матрицы А все элементы a_ij заменить на соответствующие им алгебраические дополнения A_ij и затем транспонировать полученную матрицу, то получим матрицу А*, которую называют присоединенной к матрице А.

Если матрица А невырожденная, то обратная к матрице А матрица существует и имеет вид:

.