Б 2. Б.2. Линейная алгебра

	Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный аграрный университет»

 

Кафедра математики

 

Б 2. Б.2. Линейная алгебра

Направление подготовки (специальность)

080100 Экономика

Методические указания и задания к контрольной работе

(заочная форма обучения)

 

Профиль подготовки (специализация, магистерская программа)

 

Экономика предприятий и организаций

Бухгалтерский учет, анализ и аудит

Финансы и кредит

Налоги и налогообложение

 

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

  Уфа-2012 ООУДК 51

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса

  Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы  

Рис.1

 

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота CD, окружность с центром в точке Е.

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки A(3; 0) и до прямой х=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть М(х; у) — текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х=12 (рис. 2). Тогда В (12; у).

По условию задачи . По формуле (1) из предыдущей задачи

 

 

Тогда ,

4x² – 24x+36+4y² = x²– 24x +144, 3x²+4y²=108,

 

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида , где а = 6, b = .

Определим фокусы эллипса F₁( - с; 0) и F₂ (c; 0). Для эллипса справедливо равенство b² = a² - c² , откуда c² = a² - b² = 9 и с = 3. То есть, F₁ ( -3; 0) и F₂ (3; 0) — фокусы эллипса (точки F и А совпадают). Эксцентриситет эллипса

у

 

М В

 

-3 0 A 3 6 12 x

 

Рис. 2

 

Задача 3. Составить ypaвнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (3; — 4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М(х;у) — текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у = 2 (рис. 3). Тогда В (х; 2). Так как МА=МВ, то

или

(x-3)²+y²+8y+16= y²-4y+4

-12y-12=(x-3) ²

y+1=

 

Рис.3

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О*(3; — 1). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим

x – 3 = X*, y+1=Y*. Тогда в системе координат Х*0*У* уравнение параболы принимает следующий вид: У*= (Х*)². В системе координат Х*0*У* строим параболу.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

2. Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками.

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

4. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

5. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффициентом; б) проходящей через давленую точку в данном, направлении; в)проходящей через две данные точки; г) в «отрезках».

6. Как найти координаты точек пересечения двух прямых?

7. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

8. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

9. Сформулируйте определение окружности.

10. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу; с центром в начале координат.

11. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

12. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как из-меняется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?

13. Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

14. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.

15. Напишите уравнения для нахождения асимптот гиперболы.

16. Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.

Тема 3 Векторная алгебра и аналитическая геометрия

в пространстве

Задача 4. Даны координаты трех точек: A(3; 0; -5), В,(6; 2; 1),С(12; -12; 3).

Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перепендикулярно вектору .

Решение. 1. Если даны точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂ (х₂, у₂, z₂), то вектор через орты выражается следующим образом:

(1)

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

 

Подобным образом

Модуль вектора вычисляется по формуле:

(2)

Подставляя в формулу (2) найденные ранее координаты векторов и , находим их модули:

=17

2. Косинус угла , образованного векторами и , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей:

Cos= (3)

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами равно сумме попарных произведений одноименных координат, то

* = 3*9+2*(-12)+6*8=51.

Применяя (3), имеем: сos

3. Известно, что уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀, у₀, z₀) пер­пендикулярно вектору А; В; С имеет вид

A(x – х_о) +B(y – у_о) + С(z – z_о) =0 (4)

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С(12; - 12; 3) перпендикулярно вектору

Подставляя в (4) А=3, В=2, С=6, х_о = 12, у_о = - 12, z_о =3, получим:

3(х – 12)+2(у+12) +6(z – 3) = 0, Зх + 2у + 6z – 30=0 — искомое уравнение плоскости.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие величины называются скалярными, векторными?

2. Какие векторы навязываются коллинеарными?

3. Какие два вектора называются равными?

4. Как сложить два вектора? Как их вычесть?

5. Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?

6. Назовите правила сложения, вычитания векторов, заданных в координатной форме. Как умножить вектор на скаляр?

7. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

8. Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?

9. Напишите формулу для определения угла между двумя векторами.

10.Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их перпендикулярности.

11. Напишите общее уравнение плоскости.

12. Напишите уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

13.Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки?

14.Напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.

Задания для контрольной работы

 

Задание 1

В задачах 1-20 решить систему уравнений методами Крамера, Гаусса, записать ее в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.

 

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

 

Задание 2

В задачах 1-20 даны вершины треугольника АВС.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А; 4) уравнения высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

1. A (0;-1), B(12;8), C(10;-6). 2. A (-7; 2), B(5; 11), C(3; -3).

3. A (-5;-3), B(7;6), C(5;-8). 4. A (-6;-2), B(6;7), C(4;-7).

5. A (-3;3), B(9;-6), C(7;8). 6. А (-5; 0), B(7; 9), C(5; -5).

7. A (-6;11), B(6;10), C(4;-4). 8. A (-2;-4), B(10;5), C(8;-9).

9. A (-3;0), B(9;9), C(7;-5). 10. A (-9;2), B(3;7), C(1;-7).

11. A (-5;2), B(7;-7), C(5;7). 12. A (-7;5), B(5;-4), C(3;10).

13. A (-7;1), B(5;-8), C(3;6). 14. A (0;3), B(12;-6), C(10;8).

55. A (-8;4), B(4;-5), C(2;9). 16. A (-2;2), B(10;-7), C(8;7).

17. A (1;2), B(13;-7), C(11;7). 18. A (-4;1), B(8;-8), C(6;6).

19. A (-7;-1), B(-5;-10), C(3;4). 20. A (-8;-4), B(4;5), C(2;-9).

 

 

Задание 3

В задачах 1-10 составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (х₁; у₁) и до прямой х = а равно числу e. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

1. A(4;0), a = 9, ε = . 2. A(-8;0), a = - 2, ε =2.

3. A(4;0), a = 1, ε = 2. 4. A(9;0), a = 4, ε = 1.5.

5. A(-1;0), a = -4, ε = . 6. A(5;0), a =9, ε = .

7. A(-1;0), a = -4, ε = 8. A(4;0), a = 7, ε =

9. A(3;0),a = 8, ε = 10. A(-4;0),a = -2, ε =3.

В задачах 11-20 составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (х₁; у₁) равно расстоянию до прямой у = b. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

11. А (2;1), b=- 1. 12. A (-2; -2), b= - 4.

13. A (2;-1), b=2. 14. A (2; -1), b=1.

15. A (4; -1), b=1. 16. А (4;1), b=- 1.

17. А (3;1), b=- 1. 18. А (2;1), b=- 2.

19. А (4;1), b=- 2. 20. А (6;1), b=- 1.

 

Задание 4

В задачах 1-20 даны координаты точек А, В, С. Требуется : 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

1. А(7;-4;1), B(12;-3;1), C(10;1;5). 2. А(0;-3;3), B(5;-2;3), C(3;2;7).

3. А(-2;-1;-2), B(3;0;-2), C(1;4;2). 4. А(-6;0;0), B(-1;1;0), C(-3;5;4).

5. А(-2;-3;-8), B(3;-2;-8), C(1;2;-4). 6. А(1;0;-1), B(6;1;-1), C(4;5;3).

7. А(-1;4;1), B(4;5;1), C(2;9;5). 8. А(3;-6;-3), B(8;-5;-3), C(6;-1;1).

9. А(1;0;0), B(6;1;0), C(4;5;4). 10.А(2;-8;-2),B(7;-7;-2), C(5;-3;2).

11. А(1;-2;3), B(0;-1;2),C(3;-4;5). 12.А(0;-3;6),B(-12;-3;-3),C(-9;-3;-6).

13. А(3;3;-1), B(5;5;-2), C(4;1;1) 14. А(-1;2;-3), B(3;4;-6), C(1;1;-1).

15. А(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1). 16. А(-3;-7;-5), B(0;-1;-2), C(2;3;0).

17. А(3;3;-1), B(1;5;-2), C(4;1;1). 18. А(0;0;4), B(-3;-6;1), C(-5;-10;-1).

19. А(7;0;2), B(7;1;3), C(8;-1;2). 20. А(0;3;-6), B(9;3;6), C(12;3;7).

 

Задание 5

Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Найти:

1) векторы в системе орт и их модули;

2) угол между векторами ;

3) площадь грани АВС;

4) объем пирамиды АВСD;

5) уравнение ребра АВ;

6) уравнение плоскости АВС;

7) уравнение и длину высоты, опущенной из точки D на плоскость АВС.

1. А(1;2;1), В(-1;5;1), С(-1;2;7), D(1;5;9).

2. А(2;3;2), В(0;6;2), С(0;3;8), D(2;6;10).

3. А(0;3;2), В(-2;6;2), С(-2;3;8), D(0;6;10).

4. А(2;1;2), В(0;4;2), С(0;1;8), D(2;4;10).

5. А(2;3;0), В(0;6;0), С(0;3;6), D(2;6;8).

6. А(2;2;1), В(0;5;1), С(0;2;7), D(2;5;9).

7. А(1;3;1), В(-1;6;1), С(-1;3;7), D(1;6;9).

8. А(1;2;2), В(-1;5;2), С(-1;2;8), D(1;5;10).

9. А(2;3;1), В(0;6;1), С(0;3;7), D(2;6;9).

10. А(2;2;2), В(0;5;2), С(0;2;8), D(2;5;10).

11. А(1;3;2), В(-1;6;2), С(-1;3;8), D(1;6;10).

12. А(0;1;2), В(-2;4;2), С(-2;1;8), D(0;4;10).

13. А(0;3;0), В(-2;6;0), С(-2;3;6), D(0;6;8).

14. А(2;1;0), В(0;4;0), С(0;1;6), D(2;4;8).

15. А(0;2;1), В(-2;5;1), С(-2;2;7), D(0;5;9).

16. А(1;1;1), В(-1;4;1), С(-1;1;7), D(1;4;9).

17. А(1;2;0), В(-1;5;0), С(-1;2;6), D(1;5;8).

18. А(0;1;0), В(-2;4;0), С(-2;1;6), D(0;4;8).

19. А(0;1;1), В(-2;4;1), С(-2;1;7), D(0;5;9).

20. А(0;2;0), В(-2;5;0), С(-2;2;6), D(0;5;8).

 

 

Задание 6

В задачах 1-20 даны векторы , , , . Показать, что векторы

, , образуют базис трехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

1. (2;1;3), (3;-2;1), (1;-3;-4), (7;0;7).

2. (5;3;1), (-2;-1;2), (-2;1;4), (3;0;1).

3. (1;3;5), (-2;-1;-1), (4;-2;4), (-7;3;-1).

4. (3;1;6), (-2;2;-3), (-4;5;-1), (3;0;1).

5. (4;1;4), (-2;-1;1), (3;1;5), (-3;-2;1).

6. (1;2;5), (2;-3;4), (1;-1;-2), (3;0;1).

7. (5;1;2), (3;4;-1), (-4;2;1), (-3;5;4).

8. (2;1;5), (-4;3;5), (1;-1;-4), (4;-1;-3).

9. (3;1;4), (-4;2;3), (2;-1;-2), (7;-1;0).

10. (1;4;2), (5;-2;-3), (-2;-1;1), (-3;2;4).

11. (2;1;3), (3;-2;1), (1;-3;-4), (7;0;7).

12. (5;3;1), (-2;-1;2), (-2;1;4), (3;0;1).

13. (1;3;5), (-2;-1;-1), (4;-2;4), (-7;3;-1).

14. (3;1;6), (-2;2;-3), (-4;5;-1), (3;0;1).

15. (4;1;4), (-2;-1;1), (3;1;5), (-3;-2;1).

16. (1;2;5), (2;-3;4), (1;-1;-2), (3;0;1).

17. (5;1;2), (3;4;-1), (-4;2;1), (-3;5;4).

18. (2;1;5), (-4;3;5), (1;-1;-4), (4;-1;-3).

19. (3;1;4), (-4;2;3), (2;-1;-2), (7;-1;0).

20. (1;4;2), (5;-2;-3), (-2;-1;1), (-3;2;4).

 

Литература

1 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике (ч.1,2)./Письменный Д.Т.-М.:«Айрис-пресс»,2007.-282с., 253с.

2 Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Клетеник Д.В. -М.: Наука, 2005.

3 Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике (ч.1,2) -М.: «Айрис - пресс», 2008-574с.

Дополнительная литература

1 Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математики в упражнениях и задачах. / Данко П.Е. Попов А.Г. и др. - М.: Высшая школа, т.1,2, 2006-304с, 416с.

2 Шипачев В.С.Задачник по высшей математике. - М.: Высшая школа, 2008.-304с.

3 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. - М.: «Юнити», 1999.-471с.