рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - раздел Математика, Б 2. Б.2. Линейная алгебра Пусть Дана Система N Уравнений С N Неизвестными:   Осн...

Пусть дана система n уравнений с n неизвестными:

 

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

 

называется определителем системы.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной и имеет единственное решение.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими системами.

Наиболее простым методом для решения таких систем линейных уравнений является метод Крамера.

Формулы Крамера имеют вид:

 

Более универсальным и эффективным является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Решение осуществляется в два этапа: 1) система приводится к треугольному виду, 2) последовательно определяют неизвестные .

Задача 1.

Решить систему уравнений методами Крамера и Гаусса:


Решение:

а) Метод Крамера.

Найдем определитель системы . Предварительно сложив второй столбец с третьим и разложив определитель по элементам последнего столбца.

= =2(-1) =-2(-2-3)=10 .

Так как , то система имеет единственное решение.

Найдем определители и , заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов (при вычислении определителя выполним преобразования аналогичные предыдущим):

= =2(-1) -2(-1-4)=10.

При вычислении определителя последнюю строку складываем с первой и вычитаем из второй строки. Разлагаем по элементам последнего столбца.

= =1(-1) =10+10=20.

При вычислении определителя последнюю строку складываем с первой и со второй строки и разлагаем получившийся определитель по элементам второго столбца.

= =-1(-1) =50-20=30.

Подставляя найденные значения в формулы Крамера получим:

x = у = z =

б) Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы:

 

Разрешающим элементом удобно иметь единицу, поэтому переставим второе уравнение на место первого.

Получим нули в первом столбце, умножив первое уравнение последовательно на (-2) и (-3) и складывая со вторым и третьим.

(-2) (-3)

 

С помощью второго элемента второй строки сделаем нуль во втором столбце третьей строки, для чего умножим вторую строку на (-2) и сложим с третьей.

 

(-2) .

Таким образом, свели матрицу к треугольному виду. Запишем полученную систему уравнений:

 

Из последнего уравнения сразу находим значение z=3, подставляя которое во второе уравнение находим у = 11-3z = 11-9 = 2. Затем из первого уравнения найдем

х = 1, у = 2, z = 3.

Разберите решение задачи 5 данного пособия.

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее c помощью обратной матрицы:

x1— 2х2+x3=1

2x1+3х2 — x3=8

x1 — х2+2х3= -1

 

Решение. Обозначим через А матрицу коэффициентов при неизвестных; Х — матрицу-столбец неизвестных Х1, X2, X3; H - матрицу-столбец свободных членов:

1 -2 1 X1 1

А= 2 3 -1 , Х= Х2 , H= 8 .

1 -1 2 X3 -1

 

 

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: A× Х=Н (l)

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения (1) на А-1 слева получим:

 

Но (Е — единичная матрица), а ЕХ=Х, Поэтому

(2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу


а11 а12 а13

А= а21 а22 а23 . Тогда А-1 =

а31 а32 а33

 

 

где Аij (i=1, 2, 3; j=l, 2, 3) — алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А, которое является произведением (-l)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычерчиванием i-й строки и j-гo столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.

 

 


1 -2 1

= 2 3 -1 =10 0, следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А-1

1 -1 2

 

 

Тогда

5 3 -1

А-1= -5 1 3 =

-5 -1 7

 

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

 

= ×

Таким образом, Х = (3; 0; -2).

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определите­ля?

4. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера - Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?

 

 

Тема 2 Аналитическая геометрия на плоскости

 

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(-4;8), В(5;-4), С (10;6). Найти: 1)длину сторон АВ 2)уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3)внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и её длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение: 1. Расстояние d между точками М1 и М 2 (x2;y2) определяется по формуле: (1)

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

= =15

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (x1;y1) и М2(x2;y2), имеет вид: (2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

, ,

3y-24=-4x-16, 4x+3y-8=0 (AB)

Для нахождения углового коэффициента kАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно . Отсюда kАВ = . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

, , ,

x+7y-52=0 (АС). Отсюда kАС =

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k1 и k2, определяется по формуле: (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее

k1= kАВ= , k2 =kАС = .

tg А .

 

Итак, имеем А=arctg1=450 0.79 радиан.

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку:

kCD= .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1 (x1;y1) в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид: y - y1=k(x - x1). (4)

Подставив в (4) координаты точки С и kCD= , получим уравнение высоты CD: (CD). (5)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):

4x+3y – 8=0,

3x – 4y – 6=0, откуда x=2, y=0, то есть D(2;0).

 

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

10.

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке Е(a;b) имеет вид:

(6)

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

.

Следовательно, Е(6; 3) и R= =5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности: (х — 6) 2+(y — 3) 2 =25.

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и со-держит точку А, а третья ограничена прямой АС, и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С: . Поэтому искомое неравенство, имеет вид: . Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

2x – y – 14=0 (BC)

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: Искомое неравенство будет . Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, orpaниченную прямой АС и содержащую точку В: . Третье искомое неравенство . Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой, неравенств

 

 

у

A(-4;8)

 

C(10;6)

E•

0 D x

 

B(5;-4)

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Б 2. Б.2. Линейная алгебра

Кафедра математики... Б Б Линейная алгебра Направление подготовки специальность...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Бакалавр
    Уфа-2012 ООУДК 51 ББК 22.1 М 33   Рекомендовано к изданию решением заседания кафедры математики (протокол № 7 от 10

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги