рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейная алгебра

Линейная алгебра - раздел Математика, Министерство Образования И Науки Российской Федерации Государственно...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

Утверждено

на заседании кафедры прикладной математики и вычислительной техники 20.05.2011 г.

 

Линейная алгебра

Методические указания для практических работ

бакалавров направления «Экономика»

Часть 2

УДК 51(075.8)   Линейная алгебра: методические указания для практических работ бакалавров направления «Экономика». Ч. 2. – Ростов н/Д:…

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов

 

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если найдутся действительные числа такие, что:

.

 

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.

Если ни один из векторов системы не представляется как линейная комбинация других, то система называется линейно независимой.

 

Линейная зависимость векторов в означает их коллинеарность (параллельность). Любая пара неколлинеарных векторов является линейно независимой.

Линейная зависимость трех векторов в означает их компланарность (принадлежность одной плоскости).

Теорема 1.Система векторов – линейно независима в тогда и только тогда, когда уравнение:

имеет только тривиальное решение, т.е. . Система линейно зависима тогда и только тогда, когда данное уравнение имеет не тривиальное решение, т.е. .

 

Теорема 2. (Критерий линейной зависимости (независимости) системы из двух векторов).

Два вектора и линейно зависимы (линейно независимы) тогда и только тогда, когда все их соответствующие координаты пропорциональны (непропорциональны).

Пример 1. Выяснить, являются ли линейно зависимыми векторы и .

Решение. Определим, пропорциональны ли координаты векторов:

 

– верно.

Следовательно, векторы и линейно зависимы. n

 

Теорема 3. (Критерий линейной зависимости (независимости) системы из векторов в пространстве ).

Системы векторов – линейно зависима (линейно независима) в тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю (отличен от нуля).

Пример 2. Определить, являются ли линейно зависимыми вектора

, и ?

Решение. Составим и вычислим определитель из координат векторов:

 

Т.к. , то векторы , и - линейно независимы. n

 

 

Теорема 4. Любые векторов линейно зависимы в пространстве .

Замечание. Остается рассмотреть ситуацию, когда количество векторов в системе больше двух, но меньше (например, три вектора в пространстве ). Итак, выясним линейную зависимость (независимость) системы в пространстве , где . Рассмотрим матрицу , составленную из координат этих векторов, и вычислим ее ранг. С учетом теоремы 5, делаем вывод: если , то система линейно независима, а если , то система - линейно зависима.

 

Базисы в пространствах .

Система векторов называется базисом пространства , если любой вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов… . Числа называют коэффициентами разложения вектора по базису .

Скалярное произведение векторов. Норма вектора

Скалярным произведением вектора на вектор называется число

.

 

Свойства скалярного произведения

Для любых , , и для любого числа справедливо: 1. ; 2. ;

Свойства нормы

Для любых , и для любого числа справедливо:   1. , причем ;

Векторное произведение векторов

1) , ; 2) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на… 3) векторы , и образуют правую тройку, т.е. если смотреть из конца вектора , то кратчайший поворот от вектора к…

Свойства векторного произведения

1. ; 2. ; 3. ;

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов , и (в указанном порядке) называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий:

 

Свойства смешанного произведения векторов

Для любых векторов , и справедливо: 1) При перестановке местами двух множителей смешанное произведение меняет… , ,

Задачи для самостоятельной работы

1. , 2. , 3. ,

Комплексные числа

  Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, -… Число называется действительной частью числа и обозначается , а число - мнимой частью числа и обозначается , т.е. ,…

Задачи для самостоятельной работы

Решить квадратные уравнения 1. , 2. , 3. 4. , 5. , 6.…  

Пучок прямых имеет уравнение

Каждая прямая пучка обладает своим угловым коэффициентом. В частности, для горизонтальной прямой ; поэтому ее уравнение: . Пучок не содержит…  

Нахождение углового коэффициента по двум точкам

 

Координаты середины отрезка

Пусть известны координаты концов отрезка: , . Тогда точка - середина отрезка находится следующим образом: .  

Пример 10.(Образец выполнения задачи 5 из контрольной работы).

Даны вершины треугольника . Найти

a) уравнение стороны ;

b) уравнение высоты ;

c) уравнение медианы ;

d) точку пересечения высоты и медианы .

Решение. a) Уравнение пучка прямых, проходящих через точку :

 

.

 

Находим угловой коэффициент прямой по двум заданным точкам

,   .

Уравнение оси ; .

Рис. 9   Для того, чтобы построить прямую, достаточно взять две точки: , т.е. прямая проходит через точки (0;4) и (-4;0).…

Плоскость

   

Анализ общего уравнения плоскости и построение плоскостей

  .  

Взаимное расположение прямой и плоскости

Точка пересечения прямой и плоскости

Задачи для самостоятельной работы

2) Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: a) , ; b) , ;

Контрольная работа №1

Матрицы и определители

Определитель 2го порядка:.

3го порядка: , .

Обратная матрица: .

Векторы

Скалярное произведение: , .

Векторное произведение:

Смешанное произведение: .

 

Комплексные числа

Сложение комплексных чисел: .

Умножение комплексных чисел: .

Деление двух комплексных чисел: .

 

Прямые и плоскости

Уравнение прямой в R2 :, где

Параметрические уравнения прямой в R3: .

Уравнение плоскости: .

– Конец работы –

Используемые теги: ная, Алгебра0.048

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная алгебра

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Рабочая программа дисциплины Линейная алгебра
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ... факультет ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ...

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
З И Андреева... ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА...

Линейная алгебра
Действия над матрицами... Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица элементов чисел... В записи элемента аij первый индекс i определяет номер строки а второй индекс j номер столбца на пересечении которых находится данный элемент...

Б 2. Б.2. Линейная алгебра
Кафедра математики... Б Б Линейная алгебра Направление подготовки специальность...

И естественнонаучных дисциплин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт Петербургский государственный... Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт Петербургский государственный... Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения...

Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Алгебра матриц... На множестве матриц определены операции сложения умножения на число... Складывать можно прямоугольные матрицы одного и того же порядка Сложение выполняется поэлементно...

Линейная и векторная алгебра
ЛУГАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Л И Леви Е А Рыбинцева...

Дисциплин Линейная и векторная алгебра
ЛУГАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Л И Леви Е А Рыбинцева Кафедра...

0.032
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам