Реферат Курсовая Конспект
Линейная алгебра - раздел Математика, Министерство Образования И Науки Российской Федерации Государственно...
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Утверждено
на заседании кафедры прикладной математики и вычислительной техники 20.05.2011 г.
Линейная алгебра
Методические указания для практических работ
бакалавров направления «Экономика»
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов
Вектор называется линейной комбинацией векторов , если найдутся действительные числа такие, что:
.
Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных.
Если ни один из векторов системы не представляется как линейная комбинация других, то система называется линейно независимой.
Линейная зависимость векторов в означает их коллинеарность (параллельность). Любая пара неколлинеарных векторов является линейно независимой.
Линейная зависимость трех векторов в означает их компланарность (принадлежность одной плоскости).
Теорема 1.Система векторов – линейно независима в тогда и только тогда, когда уравнение:
имеет только тривиальное решение, т.е. . Система линейно зависима тогда и только тогда, когда данное уравнение имеет не тривиальное решение, т.е. .
Теорема 2. (Критерий линейной зависимости (независимости) системы из двух векторов).
Два вектора и линейно зависимы (линейно независимы) тогда и только тогда, когда все их соответствующие координаты пропорциональны (непропорциональны).
Пример 1. Выяснить, являются ли линейно зависимыми векторы и .
Решение. Определим, пропорциональны ли координаты векторов:
– верно.
Следовательно, векторы и линейно зависимы. n
Теорема 3. (Критерий линейной зависимости (независимости) системы из векторов в пространстве ).
Системы векторов – линейно зависима (линейно независима) в тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю (отличен от нуля).
Пример 2. Определить, являются ли линейно зависимыми вектора
, и ?
Решение. Составим и вычислим определитель из координат векторов:
Т.к. , то векторы , и - линейно независимы. n
Теорема 4. Любые векторов линейно зависимы в пространстве .
Замечание. Остается рассмотреть ситуацию, когда количество векторов в системе больше двух, но меньше (например, три вектора в пространстве ). Итак, выясним линейную зависимость (независимость) системы в пространстве , где . Рассмотрим матрицу , составленную из координат этих векторов, и вычислим ее ранг. С учетом теоремы 5, делаем вывод: если , то система линейно независима, а если , то система - линейно зависима.
Скалярное произведение векторов. Норма вектора
Скалярным произведением вектора на вектор называется число
.
Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов , и (в указанном порядке) называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий:
Пример 10.(Образец выполнения задачи 5 из контрольной работы).
Даны вершины треугольника . Найти
a) уравнение стороны ;
b) уравнение высоты ;
c) уравнение медианы ;
d) точку пересечения высоты и медианы .
Решение. a) Уравнение пучка прямых, проходящих через точку :
.
Матрицы и определители
Определитель 2го порядка:.
3го порядка: , .
Обратная матрица: .
Векторы
Скалярное произведение: , .
Векторное произведение:
Смешанное произведение: .
Комплексные числа
Сложение комплексных чисел: .
Умножение комплексных чисел: .
Деление двух комплексных чисел: .
Прямые и плоскости
Уравнение прямой в R2 :, где
Параметрические уравнения прямой в R3: .
Уравнение плоскости: .
– Конец работы –
Используемые теги: ная, Алгебра0.048
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная алгебра
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов