Пусть векторы и имеют координаты
.
Векторное произведение этих векторов имеет координаты
.
Можно расписать определители:
или представить в виде
.
доказательство. Рассмотрим векторные произведения базисных векторов:
(1)
.
Разложим векторы и по базису :
.
На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно
с учетом формул (1).
Пример 1. Найти координаты векторного произведения векторов
.
Решение. Пусть .
.
Пример 2: Даны три точки: .
Найти площадь треугольника АВС ().
Решение.
.
Найдем координаты векторов .
.
.
Тема:НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Установление коллинеарности векторов:
Если ║ , то =0 (и наоборот), т.е.
Нахождение площади параллелограмма и треугольника:
Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sing , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, DS =1/2|а х b |.
Определение момента силы относительно точки:
Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).
Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо
3) образует правую тройку с векторами ОА и A В.
Стало быть, М=ОА х F .
Нахождение линейной скорости вращения:
Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ, где О—некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).
Тема: СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЁХ ВЕКТОРОВ
Даны три произвольных вектора .
Определение. Если результат векторного произведения скалярно умножить на вектор , то – это смешанное произведение векторов .