Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты . Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде
.
доказательство. .
По теореме о векторном произведении:
.
Умножим векторное произведение скалярно на вектор :
.
По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:
компланарны.
Пример 3. Даны четыре точки: . Найти объем тетраэдра АВСD.
Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:
.
Координаты векторов .
По теореме 3
.
Тема: НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Определение взаимной ориентации векторов в пространстве:
Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0 , то а , b , с — правая тройка; если abc <0 , то а, b , с - левая тройка.
Установление компланарности векторов:
Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю
Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды:
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с вычисляется как V =|аbс|, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V =1/6*|abc |.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА».
Задача 1. Разложить вектор по векторам
Решение. Разложить вектор по векторам – значит представить его в виде
(1)
где - неизвестные пока числа. Переходя в равенстве (1) к координатам векторов, получим
Как известно у равных векторов равны соответствующие координаты,
(2)
Решив систему (2), найдём . Следовательно, .
Задача 2. Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .
Решение. В силу коллинеарности векторов и вектор можно представить в виде где – пока неизвестный множитель. Для его определения используем второе условие:
.
Отсюда , поэтому .
Задача 3. Найти вектор , перпендикулярный векторам и и образующий с осью Ох тупой угол, если .
Решение. Найдём вектор .
Так как перпендикулярен векторам и , то он коллинеарен вектору . Следовательно, .
По условию т.е. или . Вектор образует тупой угол с осью Ох, поэтому его проекция на эту ось должна быть отрицательной, отсюда и .