АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Тема: СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Под системой координат на плоскости понимают способ позволяющий, численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является, прямоугольная декартова система координат.

Оси координат делят плоскость на 4 области – четверти или квадранты

Вектором , называется r-вектором точки М, координата точки М в системе координат О, Х, У, называется координата r-вектора .

Способ определения положения точки с помощью чисел (координат), называется методом координат. Сущность метода координат на плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопоставляется ее уравнение, свойства этой линии изучаются путем исследования уравнения линии. Другой системой координат является полярная система координат – задается точка, называющаяся полюсом и лучом ОР, называется полярной осью и единичным вектором того же направления, что и луч ОР.

Возьмем точку М на плоскости не совпадающую с О. положение точки М определяется двумя числами. Ее расстоянием от полюса О и углом φ образованным отрезком ОМ с полярной осью, причем отсчет углов ведется в направлении противоположном движению часовой стрелки.

Число r, φ, называются полярными координатами точки М, при этом r, называют полярным радиусом, а φ полярным углом.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы ОХУ

 

Пусть х и у прямоугольные координаты точки М, а r и φ ее полярные координаты. Из рисунка видно, что прямоугольные и полярные координаты точки М выражаются следующим образом:

,

 

 

Тема: РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ НА ПЛОСКОСТИ

Требуется найти расстояние d между точками А (х₁,у₁) и В (х₂,у₂) на плоскости ОХУ. Искомое расстояние d равно длине вектора = (х₂ - х₁; у₂ - у₁), тогда .

Деление отрезка в данном отношении: требуется разделить отрезок АВ соединяющий точки А (х₁,у₁) и В (х₂,у₂) в заданном отношении λ > 0

Решение: введем в рассматриваемые вектора и . Точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если = λ(1), но = (х - х₁; у - у₁), =(х₂ - х; у₂ - у), т.е. = (х - х₁) +( у - у₁)

=(х₂ - х) +( у₂ - у)

Тогда уравнение (1) имеет вид:

(х - х₁) +( у - у₁)= λ(х₂ - х) + λ( у₂ - у) , учитывая, что равные векторы имеют равные координаты получают (х - х₁)= λ х₂ - λ х₁ (2), т.е. ; у - у₁= λу₂ – λу (3), т.е. .

Уравнение 2 и 3, называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности при λ = 1, то формула принимает следующий вид: =

, в этом случае точка М (х,у) является серединой отрезка. Если λ = 0 это означает, что точки А и М совпадают, если λ < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ. Говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом.

Тема: ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Требуется найти с вершинами А ((х₁,у₁), В (х₂,у₂), С (х₃,у₃)

Опустим из вершин АВС ┴ АА₁, ВВ₁, СС₁. очевидно: , поэтому , выражая через координаты будет иметь следующий вид:

, т.е.

Замечание: если при вычислении получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой. Если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

 

 

Тема: ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ОСЕЙ КООРДИНАТ

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху.

Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе О₁Х₁У₁, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Рис. 5

Пусть начало новой системы координат точка О₁ имеет координаты (х_о;у_о) в старой системе координат Оху, т. е. О₁(х_о;у_о). Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе О₁х₁у₁через (х';у') (см. рис. 5).

Рассмотрим векторы ОМ=xi+yj, OO₁ =x₀ i+y₀ j _,O₁M=x’i+y’j

Так как OM=OO₁+O₁M

xi+yj=x₀i+y₀j+x’i+y’j ] xi+yj=(x₀+x’)i+ (y₀+y’)j

Следовательно,

Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым х' и у' и наоборот.