Реферат Курсовая Конспект
Элементарных преобразований. - раздел Математика, Лекция 1. Матрицы и действия над ними. Основные понятия и определения Напомним, Что Ступенчатой Матрицей Называется Прямоугольная Матрица Типа M&ti...
|
Напомним, что ступенчатой матрицей называется прямоугольная матрица типа m×n, если для любой ее строки выполняется условие: под первым слева ненулевым элементом строки и под предшествующими ему нулевыми элементами строки все элементы матрицы равны нулю.
С помощью элементарных преобразований строк любую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду.
Алгоритм приведения.
1-й шаг. То, что матрица А типа m×n – ненулевая, означает, что в ней есть хотя бы один элемент, не равный нулю. Так как он расположен в какой то строке, то в матрице А есть ненулевые строки. Выберем ту из них, в которой первый, отличный от нуля элемент, расположен в столбце с наименьшим номером k1≥1. Применим к матрице А преобразование 1-го типа, переставим эту строку на место первой строки. В результате этого преобразования матрица А переходит в матрицу
, (1)
где . Остальные элементы могут быть как ненулевыми , так и нулевыми. Верхний индекс в скобках, например , обозначает номер шага преобразований.
Далее необходимо добиться, чтобы все элементы k1-го столбца матрицы (1), кроме первого элемента , оказались равными нулю.
Для этого необходимо к каждой i-й строке матрицы (1) (i=2,…,m) прибавить первую строку, умноженную на (это преобразование третьего типа).
В результате получим матрицу, у которой элементы в позициях будут равны нулю. Приходим к матрице вида
. (2)
Конец первого шага. В дальнейших преобразованиях первая строка не участвует!
Если у матрицы (2) все строки, кроме первой, нулевые, то процесс преобразований завершен. Если у матрицы (2) есть ненулевые строки, кроме первой, тогда переходим ко второму шагу.
2-й шаг. Выберем ту ненулевую строку матрицы (2), в которой первый ненулевой элемент располагается в столбце с наименьшим номером, например k2 , (вполне очевидно, что k2>k1). Применим к матрице (2) преобразование первого типа, переставим эту строку на место второй строки. Имеем
, (3)
где .
Прибавим к каждой i-й строке (i=3,…,m) матрицы (3) вторую строку, умноженную на .
В результате получим матрицу, в которой под элементом будут находиться нулевые элементы, т.е. в позициях (i , k2).
В общем случае может возникнуть необходимость третьего и последующих шагов. Однако суммарное число шагов не превосходит min(m , n). Поэтому обязательно наступает момент, когда процесс преобразований завершится, и мы получим матрицу ступенчатого вида
, (4)
где k1<k2<…<kr и , , … , .
Ступенчатую матрицу при помощи элементарных преобразований ее столбцов можно привести к матрице, имеющей еще более простой (канонический, или упрощенный) вид:
.
В приведенной матрице все элементу, кроме единиц, стоящих в позициях (1,1), (2, 2), …, (r, r) равны нулю; r=4.
Преобразование матрицы (4) ступенчатого вида к каноническому производится следующим образом.
1. Путем перестановки в матрице (4) столбцов с номерами k1, k2, …, kr на место первого, второго, …, r-го столбцов соответственно (это преобразование 1 – го типа) получаем трапециевидную матрицу
, (5)
где , , … ,
2. Далее необходимо добиться, чтобы все элементы первой строки матрицы (5), кроме первого элемента, были равны нулю. Для этого прибавляем к каждому j – му столбцу матрицы (5) первый столбец, умноженный на Это преобразование третьего типа. В результате таких преобразований получаем матрицу, первая строка которой содержит только один ненулевой элемент .
(6)
3. Аналогично упрощаем 2–ю, 3–ю,…, r–ю строки. В результате получаем матрицу, например:
(7)
все элементы которой равна нулю, за исключением первых r диагональных элементов. В приведенном примере - матрица (7) - r=5.
4. К каноническому виду матрица (7) приводится преобразованиями 2 – го типа, то есть умножением каждой строки на коэффициент
Пример.
Привести матрицу А3×4 к ступенчатому и каноническому виду
1. Выбираем первую строку. Необходимо добиться, чтобы все элементы первого столбца, кроме а11=7, были равны нулю.
Умножаем первую строку на 0, и складываем со второй
Умножаем первую строку на и складываем с третьей
2. Необходимо добиться, чтобы во втором столбце третий элемент был равен нулю.
Для этого умножаем вторую строку на и прибавляем к третьей
Полученная матрица – матрица ступенчатого вида. Нетрудно видеть, что одновременно она и трапециевидная матрица.
Преобразуем ее к каноническому виду.
1. Необходимо добиться, чтобы в первой строке все элементы, кроме первого, были равны нулю.
Умножаем первый столбец на и прибавляем ко второму столбцу
Умножаем первый столбец на и прибавляем к третьему столбцу
Умножаем первый столбец на и прибавляем к четвертому столбцу
2. Необходимо добиться, чтобы все элементы во второй строке, кроме диагонального а22 = - 3.143, были равны нулю.
Умножим второй столбец на и прибавим к третьему столбцу
Умножим второй столбец на и прибавим к четвертому столбцу
3. Необходимо добиться, чтобы в третьей строке все элементы, кроме диагонального а33 = - 3.733, были равны нулю.
Умножим третий столбец на и прибавим к четвертому столбцу
4. Необходимо добиться, чтобы все диагональные элементы были равны 1.
Умножим первую строку на 1/7, вторую строку на 1/-3.143, третью на 1/-3.733
Таким образом , элементарными преобразованиями матрица А приведена к каноническому виду.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Основные понятия и определения... Матрицы впервые появились в середине го века в работах английских... Примечание Уильям Гамильтон ирландский математик иностранный член корреспондент Петербургской Академии Наук...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Элементарных преобразований.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов