Методические рекомендации
По проведению практических
Занятий и выполнению контрольных работ
дисцеплина «Линейная алгебра»
Содержание
Введение………………………………………………………………………………….....3
Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости…………………..…4
Тема 1 Определители………………………………………………………………………4
Тема 2 Векторная алгебра……………………………………………………………….....7
Тема 3 Аналитическая геометрия на плоскости………………………………………...14
Аналитическая геометрия в пространстве…………………………………………..24
Тема 1 Плоскость в пространстве………………………………………………………..24
Тема2 Прямая в пространстве………………………………………………………… . 30
Тема 3 Поверхности второго порядка…………………………………………………...38
Системы линейных алгеброических уравнений………………………………...…..44
Тема2 Матрицы…………………………………………………………………………....44
Тема 3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса……..50
Тема 4 Обратная матрица………………………………………………………………...57
Введение
Практические занятия являются важной частью успешного освоения дисциплины «Линейная алгебра»
Студент должен успешно овладеть :
· основными понятиями аналитической геометрии и линейной алгебры;
· основными методами решения систем линейных уравнений;
· основными понятиями теории матриц и уметь применять их в конкретных ситуациях.
Настоящие рекомендации включают в себя достаточное количество примеров решения задач по темам рабочей программы курса «Линейная алгебра»,а также содержат конкретные рекомендации по решению задач и большое количество примеров для самостоятельной работы
Задание
Вычислить методом Гаусса определитель матрицы , где
.
Задание 1
Задание 2
.
Задание 3
.
Тема 2 Векторная алгебра(4 часа)
№ п/п | Умение | Алгоритм |
Вычислить площадь треугольника, пост-роенного на векторах и | 1. Изучить определение и свойства векторного произведения . 2. Найти координаты векторного произведения 3. Вычислить модуль векторного произведения : . 4. Выписать ответ: площадь треугольника S равна половине площади параллелограмма, т.е. S = | |
Проверить, будут ли векторы , , линейно зависимы (компланарны), и най-ти объем параллелепипеда, построенно-го на этих векторах в противном случае | 1. Изучить определение смешанного произведения трех векторов, его вычисление через координаты сомножителей и геометрический смысл. 2. Вычислить смешанное произведение . 3. Сделать вывод: если = 0, то вектора , , лежат в одной плоскости, т.е. линейно зависимы (любой вектор может быть линейно выражен через другие); если (векторы не компланарны), то объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, , причем тройка , , будет правой, если , и левой в противном случае |
Тренинг по решению задач
Задание
Найти площадь треугольника , построенного на векторах и .
Задание 1
Даны векторы и . Найти векторное произведение векторов и , где , .
Задание 2
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где , .
Задание 3
Найти векторы , , , где , , - базисная тройка.
Задание 4
Найти координаты вектора , если известно:
1) , ;
2) , ;
3) .
Задание.5
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах, если и - единичные векторы, угол между которыми равен 30о.
Задание
Проверить, будут ли векторы , и компланарны, и найти объем параллелепипеда, построенного на , , , в противном случае.
Задание 1
Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах , и как на сторонах, если , , .
Задание 2
Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , , .
Задание 3
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , если известно, что , , скалярные произведения , и вектор перпендикулярен оси ОХ.
Задание 4
Доказать, что четыре точки А(1, 2, -1), В(0, 1, 5), С(-1, 2, 1), D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
Задание 5
Вектор ортогонален векторам и ; ; ; ; угол между векторами и равен , т.е. (^) = . Вычислить .
Задание 6
Определить, какой является тройка векторов , , (левой или правой), если , , .
Примеры решения задач
Пример 1. Даны два вектора и . Найти косинус угла между векторами и .
Решение. Найдем координаты векторов и .
; ; ;
; ; .
Итак: , .
Вычислим модули этих векторов и их скалярное произведение:
;
;
.
Теперь можно вычислить косинус угла j между этими векторами
.
Пример 2. При каком значении a векторы и ортогональны? (Координаты векторов и заданы в примере 1.)
Решение. Найдем координаты векторов и :
;
.
Запишем условие ортогональности полученных векторов:
, или .
После преобразования получим ; откуда .
Примеры решения задач и комментарии
Пример 1. Даны координаты вершин треугольника А(0, -2), В(1, 1), С(3, 0). Написать общее уравнение медианы треугольника, опущенной из вершины В.
Решение. Найдем координаты точки М, середины основания АС.
; .
Напишем теперь уравнение прямой ВМ, проходящей через две точки В и М:
; ; .
После элементарных преобразований имеем
, или ,
отсюда .
Получили искомое уравнение медианы.
Пример 2. Даны три точки А(3, 1), В(1, -2), С(3, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.
Решение. Запишем уравнение прямой АВ, проходящей через две точки А и В.
или ,
отсюда .
Разрешая это уравнение относительно переменной у, найдем уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом
.
Угловой коэффициент этой прямой равен .
Из условия перпендикулярности двух прямых получим угловой коэффициент k1 прямой, перпендикулярной прямой АВ:
.
Запишем теперь уравнение прямой с данным угловым коэффициентом k1 и проходящей через точку С. Воспользуемся формулой
,
отсюда .
После элементарных преобразований получаем требуемое уравнение
.
Пример 3. Дано уравнение второго порядка
9x2 - 4y2 - 36x - 8y - 4 = 0.
Написать каноническое уравнение кривой и определить ее тип. Найти полуоси, координаты центра симметрии и фокусов кривой.
Решение. Задача сводится к тому, чтобы привести данное уравнение к одному из следующих видов:
или .
Первое из этих уравнений определяет эллипс, а второе - гиперболу с центром симметрии в точке О(х0, у0), полуосями a, b (для гиперболы a - вещественная полуось). Фокусы таких кривых имеют координаты F1(x0 + c, y0) и F2(x0 - c, y0), где c2 = a2 - b2 (для эллипса, если a - большая полуось) и c2 = a2 + b2 (для гиперболы).
Для решения поставленной задачи выделим полные квадраты в следующих выражениях:
9x2 - 36x = 9(x2 - 4x + 4) - 36 = 9(x - 2)2 - 36;
- 4y2 - 8y = - 4(y2 + 2y + 1) + 4 = - 4(y + 1)2 + 4.
Подставим теперь полученные выражения в данное уравнение:
9(x - 2)2 - 36 - 4(y + 1)2 + 4 - 4 = 0, или 9(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 36.
Поделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы
.
Отсюда видно, что центр симметрии гиперболы находится в точке О(2, -1), прямые х - 2 = 0,
у + 1 = 0 являются ее осями симметрии. Вещественная полуось гиперболы а = 2, мнимая полуось
b = 3,
.
Получим координаты фокусов , .
Тренинг по решению задач
Задание
Даны вершины треугольника А(1, -1), В(0, 2), С(3, 1). Составить уравнения: 10) высоты АD;
20) медианы АЕ; 30) средней линии, параллельной стороне АС.
Задание 1
Даны вершины треугольника А(2, -2), В(3, -5), С(5, 7). Составить уравнение высоты ВD
и средней линии, параллельной АВ.
Задание 2
Составить уравнение всех сторон треугольника АВС, где А(3, 2), В(5, -2), С(5, 2).
Задание 3
Составить уравнение всех высот треугольника АВС, где А(3, 2), В(5, -2), С(1, 0).
Задание 4
Даны параллельные прямые 3х - у +2 = 0 и 3х - у - 5 = 0. Написать уравнение прямой, им парал-лельной и проходящей на равном расстоянии от них.
Задание 5
Даны две смежные вершины А(-3, -1) и В(2, 2) параллелограмма АВСD и точка Q(3, 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнение сторон этого параллелограмма.
Задание
Стороны АВ, ВС и СА треугольника АВС, соответственно, даны уравнениями: х + 21у - 22 = 0, 5х - 12у + 7 = 0, 4х - 33у + 146 = 0. Найти высоту, опущенную на сторону ВС.
Задание 1
Даны уравнения двух прямых 2х + ау - 1 = 0 и ах + 8у + 3 = 0. Определить, при каком значении параметра а прямые пересекаются.
Задание 2
Найти точки пересечения прямой 3х - 2у + 4 = 0 с осями координат.
Задание 3
Вычислить расстояние между параллельными прямыми 5х - 12у + 26 = 0 и 5х - 12у - 13 = 0.
Задание 4
Даны уравнения двух сторон прямоугольника 3х - 2у - 5 = 0 и 2х + 3у + 7 = 0 и одна из его вершин А(-2, 1). Вычислить площадь прямоугольника.
Задание 5
Доказать, что прямая 2х - 3у + 6 = 0 не пересекает отрезок, ограниченный точками и .
Задание
Написать каноническое уравнение кривой . Определить тип кривой, выписать ее параметры.
Задание 1
Привести к каноническому виду и определить тип кривой .
Задание 2
Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип и вычислить основные параметры.
Задание 3
Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.
Задание 4
Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.
Задание 5
Привести к каноническому виду уравнение второго порядка . Определить тип кривой, вычислить основные параметры.
Тренинг порешению задач
Задание
Определите, лежит ли точка на плоскость .
Задание 1
Проходит ли плоскость через точку ?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Убедитесь, что расстояние от точки до плоскости , равно нулю (точка лежит на плоскости).
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Проходит ли плоскость через начало координат?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Принадлежит ли точка плоскости ?
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Определить, какая из точек или лежит на плоскости .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
Найдите координаты какой-нибудь точки, лежащей на плоскости .
Задание 1
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найдите какую-нибудь точку на плоскости .
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
Найдите нормальный вектор к плоскости, в которой лежат векторы и .
Задание 1
Найдите вектор нормали к координатной плоскости XOZ.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите вектор нормали к плоскости, проходящей через три точки , и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной плоскости XOY.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной векторам и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найти вектор нормали к плоскости, в которой лежат векторы и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
Найти расстояние от точки до плоскости .
Задание 1
Найдите расстояние от точки до плоскости .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите расстояние от точкидо плоскости .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите расстояние от точки до плоскости XOZ.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найти расстояние от начала координат до плоскости .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и . (Указание: использовать умение 3).
Тема 2 Прямая в пространстве(4 часа)
№ п/п | Умение | Алгоритм |
Каноническое и параметрическое уравнение прямой а) Написать каноническое уравне-ние прямой по двум точкам и | 1. Вычислить координаты вектора . 2. Взять направляющим вектором прямой вектор : = . 3. Написать каноническое уравнение прямой, прохо-дящей через точку (можно ) с направляющим вектором | |
б) Написать параметрическое урав-нение прямой, заданной канони-ческим уравнением | 1. Обозначить коэффициент пропорциональности через t (параметр) ; ;. 2. Из полученных равенств выразить координаты : | |
Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей () | 1. Найти какую-нибудь точку на заданной прямой. Для этого надо найти какое-нибудь решение системы.(*) Одной из переменных следует присвоить произвольное значение (удобно брать значение равное нулю) и решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: если , то положить (z=0), если , то - (х=0), если же , то - (у=0). 2. Выписать координаты векторов нормали и . 3. Найти векторное произведение 4. Взять направляющим вектор прямой . 5. Написать каноническое уравнение прямой | |
Найти точку пересечения прямой с плоскостью | 1. Записать параметрические уравнения заданной прямой (см. ум. 4). 2. Полученные выражения для координат подставить в уравнение плоскости: . 3. Из последнего уравнения вычислить значение параметра t. 4. а) если найденное значение t единственно, то под-ставив его в параметрическое уравнение прямой, получим единственную точку пересечения ; б) если уравнение для t несовместно, точек Пересе-чения нет, прямая параллельна плоскости; в) если уравнение справедливо при любом t , то прямая лежит на плоскости – точек пересечения множества. Замечание. Фактически здесь описан один из способов решения совместного уравнения плоскости и прямой |
Тренинг порешению задач
Задание
Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .
Задание 1
Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки - начало координат, .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Написать уравнение оси OY, выбрав на ней произвольные две точки.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
Написать параметрические уравнения прямой .
Задание 1
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Напишите параметрические уравнения прямой .
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей .
Задание 1
Напишите каноническое уравнение прямой .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Напишите каноническое уравнение прямой .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Напишите каноническое уравнение прямой .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Напишите каноническое уравнение оси ОХ (как пересечение координатных плоскостей).
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Напишите каноническое уравнение прямой пересечения плоскости с координатной плоскостью XOY.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
Найдите точку пересечения прямой с плоскостью .
Задание 1
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и - ось ОХ.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: - плоскость XOZ и .
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Тема 3 Поверхности второго порядка(4часа)
Тренинг по решению задач
Задание
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
Задание 1
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание
По каноническому уравнению цилиндра определить: а) уравнение направляющей;
б) какой координатной оси параллельны его образующие.
Задание 1
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 2
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 3
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 4
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Задание 5
По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.
Задание
Умножить матрицу на вектор : .
Задание 1
.
Задание 2
; .
Задание 3
; .
Задание
Найти произведение двух квадратных матриц одного порядка C = AB, где , .
Задание 1
, .
Задание 2
; .
Задание 3
; .
Задание 4
Вычислить , где .
Задание
Привести матрицу A к ступенчатому виду и определить ее ранг:
.
Задание 1
.
Задание 2
.
Задание 3
.
Тема3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса(4 часа)
№ п/п | Умение | Алгоритм |
Решение систем линей-ных уравнений мето-дом Гаусса: а) нахождение общего решения однородной системы в коор-динатной и векторной форме | 1.Выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса). 2.Выписать ступенчатую систему уравнений и определить ранг. 3.Сравнить с числом переменных и определить, сколько решений имеет система: если , то система имеет множество решений, следует перейти к п. 4 для отыскания общего решения; если , то система имеет един-ственное решение - тривиальное - . 4. Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, для которых угловые элементы служат коэффициентами, считать зависимыми, остальные переменных - свободными | |
б) исследование на сов-местность неоднород-ной системы , нахождение ее общего или единствен-ного решения | 5.Выразить зависимые переменные через свободные из ступен-чатой системы уравнений (обратный ход метода Гаусса). 6.Выписать общее решение в координатной форме. Общее реше-ние определяется формулами, полученными в п. 5. Эти выражения описывают все множество решений однородной системы: давая свободным переменным (параметрам) любые значения и вычисляя несвободные переменные, получим все решения системы. 7.Выписать общее решение в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, будем придавать свободным пере-менным последовательно значения, соответствующие линейно независимым векторам . По формулам п. 5 вычислим соответствующие значения . Получим фундаментальную систему решений (ФСР) - базис в про-странстве решений однородной системы . Общее реше-ние в векторной форме имеет вид , где – произвольные постоянные. 1.Записать расширенную матрицу системы , приписав к основной матрице вектор свободных членов: . 2.Привести матрицу к ступенчатому виду и определить и . 3.Исследовать систему на совместность. Если , то система несовместна (не имеет решения). Если где – число переменных, то решение един-ственное, перейти к п. 7. Если перейти к п. 4. 4.Выписать ступенчатую систему уравнений, соответствующую ступенчатой форме матрицы . 5.Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, "соответствующие" угловым элементам, - зависимые, остальные - свободные. Выразить зависимые переменные через свободные (обратный ход метода Гаусса). 6.Найти общее решение в координатной форме. Полученные в п. 5 выражения зависимых переменных через свободные и вектор пра-вых частей определяют параметрическую запись общего решения в координатной форме. Чтобы получить запись общего решения в векторном виде, следует перейти к п. 8. 7.Единственное решение получаем обратным ходом методу Гаусса, используя ступенчатую систему п. 4: из последнего уравнения находим , подставляем в предпоследнее уравнение, вычис-ляем и т.д., пока не найдем вектор-решение . 8.Записать общее решение неоднородной системы в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, найдем некоторое частное решение неоднородной системы . Выпишем общее решение соответствующей однородной системы в координатном виде. Для этого в формулах п. 5 следует свободные члены (константы) считать нулевыми. Найдем ФСР однородной системы и общее решение однородной системы . Общее решение неоднородной системы имеет вид |
Тренинг по решению задач
Задание
Методом Гаусса найти решение системы
.
Задание 1
.
Задание 2
.
Задание 3
.
Задание
Исследовать неоднородную систему на совместность и найти общее или единственное решение в случае совместности системы:
Задание 1
.
Задание 2
.
Задание 3
.
Тема 4 Обратная матрица(2часа)
№ п/п | Умение | Алгоритм |
Вычисление обратной матрицы а) методом Гаусса б) с помощью алгебра-ических дополнений | 1. Приписать к квадратной невырожденной матрице справа за вертикальной чертой единичную матрицу того же порядка. Полу-чим матрицу . 2. Привести матрицу к ступенчатому виду, используя изве-стные элементарные преобразования. 3. Полученную ступенчатую матрицу привести к виду, где слева будет единичная матрица . К элементарным преобразованиям первого и второго типов добавляется преобразование третьего типа - умножение (деление) строки на число. Преобразования следует начинать с последней строки. Окончательно матрица будет иметь вид . 4. Выписать обратную матрицу , где - матрица, стоящая справа от в последней преобразованной матрице. 1. Вычислить определитель матрицы , убедиться, что . 2. Для каждого элемента вычислить его алгебраическое допол-нение и составить матрицу 3. Транспонировать матрицу , получить "присоединенную" мат-рицу 4. Разделить все элементы матрицы на ; обратная матрица . Выписать обратную матрицу: | |
Решение невырожден-ной системы уравне-ний с помощью обратной матрицы | 1. Найти и убедиться, что матрица - невырожденная. 2. Найти обратную к матрице матрицу . 3. Вектор-решение системы получить по формуле |
Тренинг по решению задач
Задание
Вычислить матрицу , обратную матрице , с помощью алгебраических допол-нений.
Задание 1
.
Задание 2
.
Задание 3
.
Задание 4
.
Задание 5
Найти матрицы, обратные к матрицам A и B:
, .
Убедиться, что матрицы A и B взаимно обратны, т.е. .
Указание: умножить матрицу A на B. Чему равно произведение AB?
2. Задачи для самостоятельного решения:
Номер варианта каждого студента совпадает с его номером в списке группы. Задание состоит из двух задач.
Задача 1. Дана матрица C и вектор .
Используя метод элементарных преобразований Гаусса, определить:
1) ранг матрицы C;
2) общее решение однородной системы уравнений , где
, – вектор неизвестных, – вектор правых частей однородной системы. Выписать решения в координатной и векторной формах;
3) совместна ли неоднородная система уравнений ?
Если совместна, найти ее общее (или единственное) решение в координатной и векторной формах.
Задача 2. Даны матрицы A и вектор . Считая вектор вектором неизвестных, выписать систему уравнений :
1) вычислить определитель матрицы A, убедиться, что матрица A невырожденна, ;
2) найти матрицу ;
3) решить неоднородную систему , найти вектор-решение;
4) найти произведение матрицы на вектор .
№ варианта | Задача 1 | Задача 2 | ||||
№ варианта | Задача 1 | Задача 2 | ||||
№ варианта | Задача 1 | Задача 2 | ||||
№ варианта | Задача 1 | Задача 2 | ||||