Методические рекомендации По проведению практических Занятий и выполнению контрольных работ дисцеплина Линейная алгебра

Методические рекомендации

По проведению практических

Занятий и выполнению контрольных работ

дисцеплина «Линейная алгебра»

 

 

Содержание

 

 

Введение………………………………………………………………………………….....3

Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости…………………..…4

Тема 1 Определители………………………………………………………………………4

Тема 2 Векторная алгебра……………………………………………………………….....7

 

Тема 3 Аналитическая геометрия на плоскости………………………………………...14

 

Аналитическая геометрия в пространстве…………………………………………..24

Тема 1 Плоскость в пространстве………………………………………………………..24

Тема2 Прямая в пространстве………………………………………………………… . 30

Тема 3 Поверхности второго порядка…………………………………………………...38

Системы линейных алгеброических уравнений………………………………...…..44

Тема2 Матрицы…………………………………………………………………………....44

Тема 3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса……..50

Тема 4 Обратная матрица………………………………………………………………...57

 

 

Введение

Практические занятия являются важной частью успешного освоения дисциплины «Линейная алгебра»

Студент должен успешно овладеть :

· основными понятиями аналитической геометрии и линейной алгебры;

· основными методами решения систем линейных уравнений;

· основными понятиями теории матриц и уметь применять их в конкретных ситуациях.

Настоящие рекомендации включают в себя достаточное количество примеров решения задач по темам рабочей программы курса «Линейная алгебра»,а также содержат конкретные рекомендации по решению задач и большое количество примеров для самостоятельной работы

 

 

Векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости

Определителем матрицы , назовем число, соответствующее данной матрице и вычисляемое по определенному…

Решение

Способ 2. Вычислим теперь тот же определитель, используя свойства… К элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой, умноженные на (-2), а к элементам 3-й строки…

Задание

 

Вычислить методом Гаусса определитель матрицы , где

.

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

Тема 2 Векторная алгебра(4 часа)

№ п/п Умение Алгоритм
Вычислить площадь треугольника, пост-роенного на векторах и 1. Изучить определение и свойства векторного произведения . 2. Найти координаты векторного произведения 3. Вычислить модуль векторного произведения : . 4. Выписать ответ: площадь треугольника S равна половине площади параллелограмма, т.е. S =
Проверить, будут ли векторы , , линейно зависимы (компланарны), и най-ти объем параллелепипеда, построенно-го на этих векторах в противном случае 1. Изучить определение смешанного произведения трех векторов, его вычисление через координаты сомножителей и геометрический смысл. 2. Вычислить смешанное произведение . 3. Сделать вывод: если = 0, то вектора , , лежат в одной плоскости, т.е. линейно зависимы (любой вектор может быть линейно выражен через другие); если (векторы не компланарны), то объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, , причем тройка , , будет правой, если , и левой в противном случае

Тренинг по решению задач

Задание

 

Найти площадь треугольника , построенного на векторах и .

 

Решение

    Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

 

Даны векторы и . Найти векторное произведение векторов и , где , .

 

 

Задание 2

 

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где , .

Задание 3

 

Найти векторы , , , где , , - базисная тройка.

 

 

Задание 4

 

Найти координаты вектора , если известно:

1) , ;

2) , ;

3) .

 

Задание.5

 

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах, если и - единичные векторы, угол между которыми равен 30о.

 

Задание

 

Проверить, будут ли векторы , и компланарны, и найти объем параллелепипеда, построенного на , , , в противном случае.

 

Решение

Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

Вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах , и как на сторонах, если , , .

 

 

Задание 2

 

Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах , , .

 

Задание 3

 

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , если известно, что , , скалярные произведения , и вектор перпендикулярен оси ОХ.

 

Задание 4

 

Доказать, что четыре точки А(1, 2, -1), В(0, 1, 5), С(-1, 2, 1), D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.

 

 

Задание 5

 

Вектор ортогонален векторам и ; ; ; ; угол между векторами и равен , т.е. (^) = . Вычислить .

 

 

Задание 6

 

Определить, какой является тройка векторов , , (левой или правой), если , , .

 

Примеры решения задач

Пример 1. Даны два вектора и . Найти косинус угла между векторами и .

Решение. Найдем координаты векторов и .

; ; ;

; ; .

Итак: , .

Вычислим модули этих векторов и их скалярное произведение:

;

;

.

Теперь можно вычислить косинус угла j между этими векторами

.

Пример 2. При каком значении a векторы и ортогональны? (Координаты векторов и заданы в примере 1.)

Решение. Найдем координаты векторов и :

;

.

Запишем условие ортогональности полученных векторов:

, или .

После преобразования получим ; откуда .

Самостоятельно решите следующие задачи

1. Найти скалярное произведение .    

Примеры решения задач и комментарии

 

 

Пример 1. Даны координаты вершин треугольника А(0, -2), В(1, 1), С(3, 0). Написать общее уравнение медианы треугольника, опущенной из вершины В.

Решение. Найдем координаты точки М, середины основания АС.

; .

Напишем теперь уравнение прямой ВМ, проходящей через две точки В и М:

; ; .

После элементарных преобразований имеем

, или ,

отсюда .

Получили искомое уравнение медианы.

Пример 2. Даны три точки А(3, 1), В(1, -2), С(3, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ.

Решение. Запишем уравнение прямой АВ, проходящей через две точки А и В.

или ,

отсюда .

Разрешая это уравнение относительно переменной у, найдем уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом

.

Угловой коэффициент этой прямой равен .

Из условия перпендикулярности двух прямых получим угловой коэффициент k1 прямой, перпендикулярной прямой АВ:

.

Запишем теперь уравнение прямой с данным угловым коэффициентом k1 и проходящей через точку С. Воспользуемся формулой

,

отсюда .

После элементарных преобразований получаем требуемое уравнение

.

 

Пример 3. Дано уравнение второго порядка

9x2 - 4y2 - 36x - 8y - 4 = 0.

Написать каноническое уравнение кривой и определить ее тип. Найти полуоси, координаты центра симметрии и фокусов кривой.

Решение. Задача сводится к тому, чтобы привести данное уравнение к одному из следующих видов:

или .

Первое из этих уравнений определяет эллипс, а второе - гиперболу с центром симметрии в точке О(х0, у0), полуосями a, b (для гиперболы a - вещественная полуось). Фокусы таких кривых имеют координаты F1(x0 + c, y0) и F2(x0 - c, y0), где c2 = a2 - b2 (для эллипса, если a - большая полуось) и c2 = a2 + b2 (для гиперболы).

Для решения поставленной задачи выделим полные квадраты в следующих выражениях:

9x2 - 36x = 9(x2 - 4x + 4) - 36 = 9(x - 2)2 - 36;

- 4y2 - 8y = - 4(y2 + 2y + 1) + 4 = - 4(y + 1)2 + 4.

Подставим теперь полученные выражения в данное уравнение:

9(x - 2)2 - 36 - 4(y + 1)2 + 4 - 4 = 0, или 9(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 36.

Поделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы

.

Отсюда видно, что центр симметрии гиперболы находится в точке О(2, -1), прямые х - 2 = 0,
у + 1 = 0 являются ее осями симметрии. Вещественная полуось гиперболы а = 2, мнимая полуось
b = 3,

.

Получим координаты фокусов , .

Самостоятельно решите следующие задачи

Вычислить длину найденной высоты. Координаты точек М0, М1, М2 заданы в таблице.   № п/п М0 М1 М2 (3,2) (-2,5) (6,-2) …

Тренинг по решению задач

Задание

Даны вершины треугольника А(1, -1), В(0, 2), С(3, 1). Составить уравнения: 10) высоты АD;
20) медианы АЕ; 30) средней линии, параллельной стороне АС.

Решение

    Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

 

Даны вершины треугольника А(2, -2), В(3, -5), С(5, 7). Составить уравнение высоты ВD
и средней линии, параллельной АВ.

 

Задание 2

 

Составить уравнение всех сторон треугольника АВС, где А(3, 2), В(5, -2), С(5, 2).

Задание 3

 

Составить уравнение всех высот треугольника АВС, где А(3, 2), В(5, -2), С(1, 0).

 

 

Задание 4

 

Даны параллельные прямые 3х - у +2 = 0 и 3х - у - 5 = 0. Написать уравнение прямой, им парал-лельной и проходящей на равном расстоянии от них.

 

Задание 5

 

Даны две смежные вершины А(-3, -1) и В(2, 2) параллелограмма АВСD и точка Q(3, 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнение сторон этого параллелограмма.

 

Задание

 

Стороны АВ, ВС и СА треугольника АВС, соответственно, даны уравнениями: х + 21у - 22 = 0, 5х - 12у + 7 = 0, 4х - 33у + 146 = 0. Найти высоту, опущенную на сторону ВС.

 

Решение

    Решите самостоятельно следующие задания:

Задание 1

 

Даны уравнения двух прямых 2х + ау - 1 = 0 и ах + 8у + 3 = 0. Определить, при каком значении параметра а прямые пересекаются.

 

 

Задание 2

 

Найти точки пересечения прямой 3х - 2у + 4 = 0 с осями координат.

Задание 3

 

Вычислить расстояние между параллельными прямыми 5х - 12у + 26 = 0 и 5х - 12у - 13 = 0.

 

 

Задание 4

 

Даны уравнения двух сторон прямоугольника 3х - 2у - 5 = 0 и 2х + 3у + 7 = 0 и одна из его вершин А(-2, 1). Вычислить площадь прямоугольника.

 

 

Задание 5

 

Доказать, что прямая 2х - 3у + 6 = 0 не пересекает отрезок, ограниченный точками и .

 

Задание

Написать каноническое уравнение кривой . Определить тип кривой, выписать ее параметры.

 

Решение

Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

Привести к каноническому виду и определить тип кривой .

 

 

Задание 2

 

Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип и вычислить основные параметры.

 

 

Задание 3

 

Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

 

Задание 4

 

Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

 

 

Задание 5

 

Привести к каноническому виду уравнение второго порядка . Определить тип кривой, вычислить основные параметры.

 

Аналитическая геометрия в пространстве

Тренинг порешению задач

Задание

 

Определите, лежит ли точка на плоскость .

 

Решение

  Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Проходит ли плоскость через точку ?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Убедитесь, что расстояние от точки до плоскости , равно нулю (точка лежит на плоскости).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Проходит ли плоскость через начало координат?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Принадлежит ли точка плоскости ?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Определить, какая из точек или лежит на плоскости .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

 

Найдите координаты какой-нибудь точки, лежащей на плоскости .

Решение

  Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 4

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Найдите какую-нибудь точку на плоскости .

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

Найдите нормальный вектор к плоскости, в которой лежат векторы и .

 

Решение

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите вектор нормали к координатной плоскости XOZ.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 2

Найдите вектор нормали к плоскости, проходящей через три точки , и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 3

Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной плоскости XOY.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Найдите вектор нормали к плоскости, параллельной векторам и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Найти вектор нормали к плоскости, в которой лежат векторы и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

Найти расстояние от точки до плоскости .

 

Решение

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите расстояние от точки до плоскости .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите расстояние от точкидо плоскости .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 3

Найдите расстояние от точки до плоскости XOZ.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 4

Найти расстояние от начала координат до плоскости .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и . (Указание: использовать умение 3).

 

Тема 2 Прямая в пространстве(4 часа)

№ п/п Умение Алгоритм
Каноническое и параметрическое уравнение прямой а) Написать каноническое уравне-ние прямой по двум точкам и 1. Вычислить координаты вектора . 2. Взять направляющим вектором прямой вектор : = . 3. Написать каноническое уравнение прямой, прохо-дящей через точку (можно ) с направляющим вектором
б) Написать параметрическое урав-нение прямой, заданной канони-ческим уравнением 1. Обозначить коэффициент пропорциональности через t (параметр) ; ;. 2. Из полученных равенств выразить координаты :
Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей () 1. Найти какую-нибудь точку на заданной прямой. Для этого надо найти какое-нибудь решение системы.(*) Одной из переменных следует присвоить произвольное значение (удобно брать значение равное нулю) и решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными: если , то положить (z=0), если , то - (х=0), если же , то - (у=0). 2. Выписать координаты векторов нормали и . 3. Найти векторное произведение 4. Взять направляющим вектор прямой . 5. Написать каноническое уравнение прямой
Найти точку пересечения прямой с плоскостью 1. Записать параметрические уравнения заданной прямой (см. ум. 4). 2. Полученные выражения для координат подставить в уравнение плоскости: . 3. Из последнего уравнения вычислить значение параметра t. 4. а) если найденное значение t единственно, то под-ставив его в параметрическое уравнение прямой, получим единственную точку пересечения ; б) если уравнение для t несовместно, точек Пересе-чения нет, прямая параллельна плоскости; в) если уравнение справедливо при любом t , то прямая лежит на плоскости – точек пересечения множества. Замечание. Фактически здесь описан один из способов решения совместного уравнения плоскости и прямой

Тренинг порешению задач

Задание

Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение

Задание 1

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 2

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 3

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 4

Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки - начало координат, .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

Написать уравнение оси OY, выбрав на ней произвольные две точки.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Задание

Написать параметрические уравнения прямой .

 

Решение

Задание 1

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Напишите параметрические уравнения прямой .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

Задание

Написать каноническое уравнение прямой, заданной как пересечение двух плоскостей .

Решение

  Замечание. В данной задаче направляющий вектор может быть получен так: 1. Найти две различные точки и на данной прямой.

Задание 1

Напишите каноническое уравнение прямой .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Напишите каноническое уравнение прямой .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Напишите каноническое уравнение прямой .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Напишите каноническое уравнение оси ОХ (как пересечение координатных плоскостей).

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание 5

 

Напишите каноническое уравнение прямой пересечения плоскости с координатной плоскостью XOY.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

Найдите точку пересечения прямой с плоскостью .

Решение

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: и - ось ОХ.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Найдите точку пересечения плоскости с прямой L: - плоскость XOZ и .

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тема 3 Поверхности второго порядка(4часа)

Поверхности второго порядка

1. Эллипсоид . 2. Конус

Тренинг по решению задач

Задание

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

 

Решение

Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

Определите тип поверхности второго порядка и ее основные параметры по общему уравнению .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Задание

По каноническому уравнению цилиндра определить: а) уравнение направляющей;
б) какой координатной оси параллельны его образующие.

Решение

  Выполните самостоятельно следующие задания:

Задание 1

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 2

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 3

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 4

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задание 5

По каноническому уравнению цилиндра определите: а) уравнение направляющей; б) какой координатной оси параллельны его образующие.

 

Системы линейных алгебраических уравнений

  Тренинг по решению задач  

Задание

Умножить матрицу на вектор : .

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

.

 

Задание 2

; .

 

Задание 3

; .

 

Задание

Найти произведение двух квадратных матриц одного порядка C = AB, где , .

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

, .

 

Задание 2

 

; .

 

Задание 3

 

; .

 

 

Задание 4

 

Вычислить , где .

 

Задание

 

Привести матрицу A к ступенчатому виду и определить ее ранг:

.

Решение

Решите самостоятельно следующие задания:   Определить ранг матрицы A.

Задание 1

 

.

 

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

 

Тема3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Гаусса(4 часа)

№ п/п Умение Алгоритм
Решение систем линей-ных уравнений мето-дом Гаусса: а) нахождение общего решения однородной системы в коор-динатной и векторной форме 1.Выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса). 2.Выписать ступенчатую систему уравнений и определить ранг. 3.Сравнить с числом переменных и определить, сколько решений имеет система: если , то система имеет множество решений, следует перейти к п. 4 для отыскания общего решения; если , то система имеет един-ственное решение - тривиальное - . 4. Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, для которых угловые элементы служат коэффициентами, считать зависимыми, остальные переменных - свободными
    б) исследование на сов-местность неоднород-ной системы , нахождение ее общего или единствен-ного решения 5.Выразить зависимые переменные через свободные из ступен-чатой системы уравнений (обратный ход метода Гаусса). 6.Выписать общее решение в координатной форме. Общее реше-ние определяется формулами, полученными в п. 5. Эти выражения описывают все множество решений однородной системы: давая свободным переменным (параметрам) любые значения и вычисляя несвободные переменные, получим все решения системы. 7.Выписать общее решение в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, будем придавать свободным пере-менным последовательно значения, соответствующие линейно независимым векторам . По формулам п. 5 вычислим соответствующие значения . Получим фундаментальную систему решений (ФСР) - базис в про-странстве решений однородной системы . Общее реше-ние в векторной форме имеет вид , где – произвольные постоянные.   1.Записать расширенную матрицу системы , приписав к основной матрице вектор свободных членов: . 2.Привести матрицу к ступенчатому виду и определить и . 3.Исследовать систему на совместность. Если , то система несовместна (не имеет решения). Если где – число переменных, то решение един-ственное, перейти к п. 7. Если перейти к п. 4. 4.Выписать ступенчатую систему уравнений, соответствующую ступенчатой форме матрицы . 5.Определить зависимые и свободные переменные. Переменные, "соответствующие" угловым элементам, - зависимые, остальные - свободные. Выразить зависимые переменные через свободные (обратный ход метода Гаусса). 6.Найти общее решение в координатной форме. Полученные в п. 5 выражения зависимых переменных через свободные и вектор пра-вых частей определяют параметрическую запись общего решения в координатной форме. Чтобы получить запись общего решения в векторном виде, следует перейти к п. 8. 7.Единственное решение получаем обратным ходом методу Гаусса, используя ступенчатую систему п. 4: из последнего уравнения находим , подставляем в предпоследнее уравнение, вычис-ляем и т.д., пока не найдем вектор-решение . 8.Записать общее решение неоднородной системы в векторной форме. Используя общее решение в координатной форме, найдем некоторое частное решение неоднородной системы . Выпишем общее решение соответствующей однородной системы в координатном виде. Для этого в формулах п. 5 следует свободные члены (константы) считать нулевыми. Найдем ФСР однородной системы и общее решение однородной системы . Общее решение неоднородной системы имеет вид

Тренинг по решению задач

Задание

 

Методом Гаусса найти решение системы

.

Решение

Предварительно заполните таблицу, подобрав к каждому алгоритму конкретное соответствие из данного задания.   № п/п Алгоритм Конкретное соответствие…  

Задание 1

 

.

 

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

 

Задание

 

Исследовать неоднородную систему на совместность и найти общее или единственное решение в случае совместности системы:

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

.

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

 

Тема 4 Обратная матрица(2часа)

 

№ п/п Умение Алгоритм
Вычисление обратной матрицы а) методом Гаусса     б) с помощью алгебра-ических дополнений 1. Приписать к квадратной невырожденной матрице справа за вертикальной чертой единичную матрицу того же порядка. Полу-чим матрицу . 2. Привести матрицу к ступенчатому виду, используя изве-стные элементарные преобразования. 3. Полученную ступенчатую матрицу привести к виду, где слева будет единичная матрица . К элементарным преобразованиям первого и второго типов добавляется преобразование третьего типа - умножение (деление) строки на число. Преобразования следует начинать с последней строки. Окончательно матрица будет иметь вид . 4. Выписать обратную матрицу , где - матрица, стоящая справа от в последней преобразованной матрице.   1. Вычислить определитель матрицы , убедиться, что . 2. Для каждого элемента вычислить его алгебраическое допол-нение и составить матрицу 3. Транспонировать матрицу , получить "присоединенную" мат-рицу 4. Разделить все элементы матрицы на ; обратная матрица . Выписать обратную матрицу:
Решение невырожден-ной системы уравне-ний с помощью обратной матрицы 1. Найти и убедиться, что матрица - невырожденная. 2. Найти обратную к матрице матрицу . 3. Вектор-решение системы получить по формуле  

 

Тренинг по решению задач

 

Задание

 

Вычислить матрицу , обратную матрице , с помощью алгебраических допол-нений.

 

Решение

  Решите самостоятельно следующие задания:  

Задание 1

 

.

 

 

Задание 2

 

.

 

Задание 3

 

.

 

Задание 4

 

.

 

 

Задание 5

 

Найти матрицы, обратные к матрицам A и B:

, .

Убедиться, что матрицы A и B взаимно обратны, т.е. .

Указание: умножить матрицу A на B. Чему равно произведение AB?

 

 

2. Задачи для самостоятельного решения:

 

Номер варианта каждого студента совпадает с его номером в списке группы. Задание состоит из двух задач.

Задача 1. Дана матрица C и вектор .

Используя метод элементарных преобразований Гаусса, определить:

1) ранг матрицы C;

2) общее решение однородной системы уравнений , где

, – вектор неизвестных, – вектор правых частей однородной системы. Выписать решения в координатной и векторной формах;

3) совместна ли неоднородная система уравнений ?

Если совместна, найти ее общее (или единственное) решение в координатной и векторной формах.

Задача 2. Даны матрицы A и вектор . Считая вектор вектором неизвестных, выписать систему уравнений :

1) вычислить определитель матрицы A, убедиться, что матрица A невырожденна, ;

2) найти матрицу ;

3) решить неоднородную систему , найти вектор-решение;

4) найти произведение матрицы на вектор .

 

№ варианта Задача 1 Задача 2
№ варианта Задача 1 Задача 2
№ варианта Задача 1 Задача 2
№ варианта Задача 1 Задача 2