ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Костромской государственный университет имени Н. А. Некрасова

 

 

Т. Н. Матыцина

Е. К. Коржевина

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие

 

 

Кострома

2013

ББК 22.174я73-5

  Печатается по решению редакционно-издательского совета КГУ им. Н. А. Некрасова

ББК 22.174я73-5

  ã Т. Н. Матыцина, Е. К. Коржевина 2013 ã КГУ им. Н. А. Некрасова, 2013    

Множества

Множества и их элементы. Способы задания множеств

Первичным понятием теории множества является понятие самого множества. Данный термин был введен в математику создателем теории множеств Г. Кантором[1]. Следуя ему, под множеством понимается совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами.

Это описание понятия множества нельзя считать логическим определением, а всего лишь пояснением. Понятие множества принимается как исходное, первичное, то есть не сводимое к другим понятиям.

Примерами множеств могут служить множество всех книг, составляющих данную библиотеку, множество всех точек данной линии, множество всех решений данного уравнения, множество всех одноклеточных организмов и т. п.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, … Обозначается множество скобками {…}, внутри которых либо просто перечисляются элементы, либо описываются их свойства. Для числовых множеств будем использовать следующие обозначения:

N – множество натуральных чисел;

N₀ – множество неотрицательных целых чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

C – множество комплексных чисел.

Элементы множества будем обозначать строчными латинскими буквами: a, b, c, …

Предложения вида «объект a есть элемент множества A», «объект a принадлежит множеству A», имеющие один и тот же смысл, кратко записывают в виде a Î A. Если элемент a не принадлежит множеству A, то пишут a Ï A. Символ Î называется знаком принадлежности.

Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечное. Например, множество всех корней уравнения x² – 3x + 2 = 0 конечно (два элемента), а множество всех точек прямой бесконечно. Рассматривают в математике и множество, не содержащее ни одного элемента.

Определение 1.1. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ.

Число элементов конечного множества называется его мощностью. Если множество A содержит n элементов, то будем писать |A| = n. Если множество A = Æ, то |A| = 0. Мощность бесконечного множества является более сложным понятием и изучается в дискретной математике и в числовых системах.

Замечание 1.1.Элементами множества могут быть множества. Например, можно говорить о множестве групп некоторого факультета университета. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов. Но конкретный студент одной из групп уже не является элементом множества групп факультета.

Определение 1.2.Множество, элементами которого являются другие множества, называется семейством (или классом).

Определение 1.3. Если все элементы данной совокупности множеств принадлежат некоторому одному множеству, то такое множество называется универсальным множеством, и обозначается U.

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать следующими способами:

1. перечислением всех его элементов;

2. характеристическим свойством элементов множества;

3. порождающей процедурой.

Первый способ задания множеств применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов множества невелико. Если a, b, c, d – обозначения различных объектов, то множество A этих объектов записывают так: A = {a, b, c, d}. Запись читают: «A – множество, элементы которого a, b, c, d».

Замечание 1.2.Порядокперечисления элементов множества не имеет значения. Например, множества {m, n, k, r} и {n, m, r, k} совпадают.

Вторым способом можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, входящий в данное множество, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Если обозначить символом P(а) характеристическое свойство элементов множества A, то тогда используется следующая запись: A = {а | P(а)}.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов. Тогда элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью этой процедуры. Другими словами, порождающая процедура – это процесс, который будучи запущен, порождает все элементы данного множества. С помощью порождающей процедуры можно задавать множества, содержащие любое число элементов.

Пример 1.1.Определим различными способами множество M всех нечетных натуральных чисел, не превышающих 10:

1. M = {1, 3, 5, 7, 9};

2. M = {m | m Î N, m < 10, m – нечетное число} или

M = {2n – 1 | n Î N, n £ 5};

3. порождающая процедура определяется правилами:

a) 1 Î M;

b) если m Î M, то (m + 2) Î M, где m £ 7.

 

1.2. Подмножества. Диаграммы Эйлера – Венна

Определение 1.4.Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B принадлежит множеству A.

Пример 1.2.Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, а B = {2, 3, 5, 7}. Множество В является подмножеством множества А, поскольку каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

Если множество B является подмножеством множества A, то говорят также, что B содержится в A или B включено в A, при этом пишут В Í А или А Ê В. Символ Í называется знаком включения (точнее, нестрого включения).

Согласно данному определению 1.4 подмножества, каждое множество является подмножеством самого себя, то есть (" A) А Í А. Кроме того, считается, что пустое множество есть подмножество любого множества A: (" A) Æ Í А.

Различают два вида подмножеств множества А.

Определение 1.5.Пустое множество Æ и множество А называются несобственными подмножествами множества А.

Определение 1.6.Любые подмножества множества А, отличные от А и Æ, называются собственными подмножествами множества А.

Определение 1.7. Множества A и B, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными. При этом пишут А = В, в противном случае А ≠ В.

Справедливо следующее утверждение, которое также можно рассматривать в качестве определения равных множеств.

Утверждение 1.1. А = В Û А Í B и В Í А.

Замечание 1.3.Из утверждения 1.1 вытекает способ доказательства равенства двух множеств: если доказать, что каждый элемент из множества A является элементом множества B и каждый элемент из множества B является элементом множества A, то делают вывод, что А = В.

Говорят, что множество B строго включено в множество A или, по-другому, А строго включает B, если В Í А и В ¹ А. В этом случае пишут B Ì A. Символ Ì называется знаком строгого включения.

Пример 1.3.Имеют место следующие строгие включения числовых множеств: N Ì N₀ Ì Z Ì Q Ì R Ì C и I Ì R Ì C.

Определение 1.8.Совокупность всех подмножеств множества A называется его булеаном (или множеством-степенью), и обозначается через P(A) (или 2^A).

Пример 1.4. Если A = {a, b, c}, то булеан множества А это множество P(A) = {Æ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}.

Для наглядного изображения множеств и их свойств используют так называемые диаграммы Эйлера[2] – Венна[3]. Множество отождествляется с множеством точек на плоскости, лежащих внутри некоторых замкнутых кривых, например окружностей (так называемые круги Эйлера). В частности, универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника или всей плоскости (рис. 1.1).

Операции над множествами и их свойства

Определим операции над множествами, с помощью которых можно получать из любых имеющихся множеств новые множества.

Объединение (или сумма).

То есть, по определению 1.9, A È B = {х | х Î А или х Î В}. Все операции над множествами можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера –…

Пересечение (или произведение).

Таким образом, по определению 1. 10, A Ç B = {х | х Î А и х Î В}. Пересечение множеств А и В заштриховано и изображено на рис.… Замечание 1.4.Если A Ç B ¹ Æ, то говорят, что множества A и… Из определения пересечения следует, что (" A, B) А Ç В Í А и А Ç В Í В.

Разность.

Таким образом, по определению 1.11, А В = {x | x Î А и х Ï В}. Разность множеств А и В заштриховано и изображено на рис. 1.4. Замечание 1.5.Если B Í A, то в этом случае разность А В называют дополнением B до A.

Декартовое произведение (или прямое произведение).

Определение 1.15. Декартовым произведение множеств А и В называется множество А ´ В, состоящее из всех упорядоченных пар (a, b), где a Î… То есть, по определению, A ´ B = {(x, y) | x Î А и y Î В}. … Определение 1.16. Произведение А ´ A называется декартовым квадратом.

Свойства операций над множествами

1. идемпотентность:A È A = A, A Ç A = A; 2. коммутативность: A È B = B È A, A Ç B = B Ç… 3. ассоциативность: A È (B È C) = (A È B) È C,

Метод математической индукции

Доказательство методом математической индукции состоит из трех этапов. База индукции: проверяем, что A(n) верно при n = 1. Предположение индукции: предполагаем, что A(k) истинно.

Комплексные числа

Уравнение вида х2 + 1 = 0 приводит к понятию мнимой единицы. Решая это уравнение, получаем х2 = –1 или х = ; назвали мнимой единицей и обозначили i… Определение 1.17.Комплексным числом называется выражение вида a + b×i,… Комплексное число z = a + b×i состоит из двух частей: число а = Rez– называется действительной частью z, b = Imz…

Операции над комплексными числами

1. Сложение: (a + bi) + (с + di) = (а + с) + (b + d)i, при сложении двух комплексных чисел их действительные части и мнимые части складываются.

2. Вычитание: (a + bi) – (с + di) = (а – с) + (b – d)i.

3. Умножение: (a + bi)×(с + di) = (ас – bd) + (ad + bc)i, это простое умножение двучлена a + bi на с + di с последующей заменой i² на –1.

4. Деление: = = = + , если с + di ≠ 0.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Геометрическое представление комплексных чисел состоит в том, что каждому… Ясно, что действительное число a + 0×i = а изображается точкой на оси Ох, а чисто мнимое число 0 + b×i,…

Тригонометрическая форма комплексного числа

Определение 1.21. Длина вектора, соответствующего комплексному числу z (или расстояние от начала системы координат до точки, изображающей… Определение 1.22.Радианная мера угла, образованного этим вектором с… Другими словами, аргумент комплексного числа – это угол между положительной полуосью Ох и лучом Oz.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

1. Умножений.Пусть даны два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме: z1 = r1(cosj1 + i×sinj1) z2 = r2(cosj2 +… z1×z2 = r1×r2(cosj1×cosj2 – sinj1×sinj2) +… Итак, модуль |z1×z2| = r1×r2, аргумент arg(z1×z2) = arg z1 + arg z2.

Возведение в степень.

Пример 1.15.Для z = – i, найти z4. Решение. Воспользуемся формулой Муавра, но для начала надо это комплексное… 4. Извлечение корня n-ой степени.

Показательная форма комплексного числа

eij = cosj + i×sinj – формула Эйлера. Тогда z = r(cosj + i×sinj) = r×eij – показательная форма записи… К комплексным числам в показательной форме применимы все правила действия над степенями. Пусть z1 = r1×, z2 =…

Бинарные отношения

Понятие отношения

Обозначение n-местного отношения: P(x1, x2, …, xn). В случае n = 1 отношение P называется унарным (одноместным) и является… При n = 2 P называется бинарным (двуместным) отношением или соответствием. Если P Í A1 ´ A2, то также…

Способы задания бинарных отношений

Бинарные отношения можно задать одним из перечисленных способов.

1. Перечислением (см. пример 2.1). Такой способ задания применим только для конечных множеств.

2. Характеристическим свойством (см. пример 2.2).

3. Диаграммой. Пусть P Í A ´ В – бинарное отношение. На диаграмме множества А и В изображаются с помощью кругов (или любых других связных фигур) на плоскости, а элементы множеств – точками внутри соответствующих кругов. Каждой упорядоченной паре (a, b) из бинарного отношения Р сопоставляется отрезок прямой (или любая другая линия без самопересечений), соединяющий точки a и b и имеющий направление, указываемое стрелкой, от первого элемента упорядоченной пары ко второму.

Пример 2.3. Пусть бинарное отношение Р задано диаграммой на рис. 2.1. Определим множества А, В и отношение Р зададим перечислением.

Решение. А = {a, b, c, d, e}, B = {1, 2, 3},

P = {(b, 1), (d, 2), (d, 3), (e, 3)}.

4. Графом. Если А = В, то диаграмма станет графом. Бинарному отношению Р ставим в соответствие следующую геометрическую фигуру на плоскости: точки, являются элементами множества DomР и ImР и ориентированные ребра (линии) – каждой паре (a, b) Î Р поставим в соответствие ориентированное ребро, идущее от а к b (если а ≠ b) и петлю (если а = b) с фиксированным направлением обхода. Такую фигуру будем называть ориентированным графом отношения Р.

Каждое бинарное отношение на конечном множестве можно представить ориентированным графом. Обратно, каждый ориентированный граф представляет бинарное отношение на множестве его вершин.

Пример 2.4.Граф, изображенный на рис. 2.2, задает отношение Р = {(a, a), (a, c), (a, d), (b, e), (b, c), (d, c), (c, c)} на множестве A = {a, b, c, d, e}.

5. Графиком. Этот способ применяется, если отношение задано на числовых множествах. Графиком бинарного отношения Р называется множество точек плоскости Oxy с координатами (x, y) такие, что пара (x, y) Î Р.

Пример 2.5.График, изображенный на рис. 2.3, задает бинарное отношение Р = {(x, y) | y = x², x, y Î R} на множестве R, т. е. Р Í R ´ R.

6. Таблицей. Например, таблица дежурств, синусов, логарифмов и др.

Операции над бинарными отношениями

Бинарные отношения – это множества упорядоченных пар. Следовательно, над ними можно выполнять любые теоретико-множественные операции, в частности, операции объединения и пересечения. Определим еще две операции над отношениями.

Определение 2.7.Обратнымк отношению P Í A ´ B (или инверсией) называется множество P^–1, подмножество прямого произведения B ´ A такое, что P^–1 = {(y, x) | (x, y) Î P}.

Пример 2.6.Пусть P = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4), (e, 5)}. Тогда
P^–1 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, e)}.

Определение 2.8.Композицией (или суперпозицией) отношений P Í A ´ B и Q Í B ´ C называется множество PQ = {(x, y) | x Î A, y Î C, ($ z Î B) : (x, z) Î P, (z, y) Î Q}, рис. 2.4.

Пример 2.7.Если P = {(a, b), (b, c), (b, d), (a, d), (c, a)}, Q = {(b, d), (c, a), (d, c)}, то PQ = {(a, d), (b, a), (b, c), (a, c)} и QP = {(c, b), (c, d), (d, a)}.

Утверждение 2.1. Для любых бинарных отношений P, Q и R выполняются следующие свойства:

1) (P^–1)^–1 = Р;

2) (PQ)^–1 = Q^–1P^–1;

3) (PQ)R = P(QR).

Свойства бинарных отношений

Определение 2.9.Бинарное отношение P на множестве А называется рефлексивным, если для любого элемента х из множества А пара (х, х) Î Р. Другими словами, отношение P рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая… Примерами рефлексивных отношений являются отношение делимости на множестве целых чисел; отношение включения на булеане…

Отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности обычно обозначают символами ~ или º. Примерами отношения эквивалентности являются отношение равенства на множестве… Определение 2.16. Пусть R – отношение эквивалентности на множестве А и а Î А. Классом эквивалентности,…

Функции

Область определения и область значений функции, равные функции определяются так же, как и для бинарных отношений. Аргументами функции могут являться элементы произвольной природы, в частности,… Функции называются также отображениями. Пусть ƒ – функция из A в B. Если A = Domƒ и Imƒ Í B, то…

Матрицы и действия над ними

 

Общие понятия

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, а числа, их составляющие – элементы матрицы – строчными буквами с двумя… Например, матрица размерности m ´ n имеет вид: А = ,

Основные операции над матрицами и их свойства

Сложение однотипных матриц

Определение 3.12. Суммой двух матриц А = (aij) и B = (bij), где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n называется матрица С = (сij) для которой сij = aij +… Иначе говоря: сложение матриц производится поэлементно. Пример 3.1. Для матриц А = и В = найти их сумму.

Свойства сложения матриц

2) ассоциативность: " А, В, С : (А + В) + С = А + (В + С); 3) " А, А + О = А, где О – нулевая матрица; 4) " А, $ –А : А + (–А) = О, (–А) – матрица, противоположная матрице А.

Умножение матрицы на число

Пример 3.3. Пусть дано число k = –2 и матрица А = , тогда k×А = (–2)× = .  

Свойства умножения матрицы на число

2) " α, β Î R, " А : (αβ)×А = α×(β×А) = β×(α×А); 3) " α Î R, " А, В : α×(А + В) =… 4) " α, β Î R, " А : (α + β)×А = α×А + β×А.

Умножение матриц

Определение 3.14. Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Например матрицы А размерности m ´ n и В размерности n ´ p будут… Обозначим строки матрицы А как А1, А2, …, Аm, а столбцы матрицы В как B1, B2, …, Bp. При этом в строке матрицы А…

Свойства умножения матриц

Продемонстрировать данное свойство можно на примерах. Пример 3.6. а) Пусть даны две матрицы: А = и В = . Перемножим матрицы… б) Возьмем две матрицы так, чтобы А и В были согласованы и чтобы также В и А были согласованные. Проверим, что при…

Транспонирование матриц

Если A – матрица размерности m ´ n, то Аt – матрица размерности n ´ m. При транспонировании верны следующие равенства: 1) (А + В)t = Аt + Вt;

Определители квадратных матриц

Определители матриц второго и третьего порядка

Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем этой матрицы. Обозначение: D, |A|, det A, . … Определение 4.1. Определителем матрицы первого порядка А = (а11) называется… Пример 4.1. Например: если дана матрица первого порядка А = (3), то определитель этой матрицы |A| = 3.

Определение 4.6.

2. Пусть для матрицы порядка (n – 1) определитель известен. 3. Определителем матрицы А произвольного порядка n называется число,… Эта формула сводит вычисление определителей порядка n к вычислению определителей порядка (n – 1).

Свойства определителей

Теорема 4.1 (Лапласа). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.… D = аi1Аi1 + аi2Аi2 + … + аinАin, где i = 1, 2, …, n (разложение определителя… D = а1jА1j + а2jА2j + … + аnjАnj, где j = 1, 2, …, n (разложение определителя по элементам j-го столбца).

Практическое вычисление определителей

Один из способов вычисления определителей порядка выше трех – разложение его по какому-либо столбцу или строке. Пример 4.4.Вычислить определитель D = . Решение. Разложим данный определитель по третьей строке:

Ранг матрицы. Обратная матрица

Понятие ранга матрицы

Определение 5.1. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель матрицы, стоящей на пересечении этих k строк и k столбцов. Другими словами, если в матрице А размерности m ´ n вычеркнуть (m – k)… Пример 5.1. Проиллюстрируем определение минором k-го порядка матрицы А. Рассмотрим матрицу А = . Запишем минор первого…

Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров

Следует учесть, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел m и n. Опишем более рациональный метод нахождения ранга матрицы – это метод… Определение 5.3. Минор М¢ (k + 1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица,…

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Определение 5.4. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1. умножение строки матрицы на число, отличное от нуля; 2. прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца),…

Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения

Определение 5.7. Матрица А–1 называется обратной для матрицы А, если А×А–1 = А–1×А = Е. Определение 5.8. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее… Заметит, что ранг невырожденной матрицы порядка n равен n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Находим определитель матрицы |A|. Если |A| = 0, то у матрицы А нет обратной (теорема 5.5). Если |A| ≠ 0, то обратная матрица существует, и… 2. Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А. 3. Составляем присоединенную матрицу А*.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Определение 5.11.Матрица В называется эквивалентной матрице А, если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований.… Теорема 5.7. Всякую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных… Теорема 5.8. Если к единичной матрице применить те же самые элементарные преобразования, которые матрицу А переводят в…

Системы линейных уравнений

Основные понятия и определения

 

Определение 6.1.Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

(1)

Здесь x₁, …, x_n – неизвестные (или переменные), числа а_ij – коэффициенты при неизвестных, i – номер уравнения, j – номер неизвестного, b₁, …, b_m – свободные члены.

Короче систему (1) можно записать в виде: , где i = 1, 2, …, m.

С каждой системой вида (1) связаны следующие матрицы: А – основная матрица системы, составленная из коэффициентов при неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов, Х – матрица-столбец неизвестных; (А|B) – расширенная матрица системы.

А_m´n = , B_m´1 = , X_n´1 = , (А|B)_{m´(n + 1)} = .

Из определения 6.1 видно, что матрицы А и Х согласованы, следовательно можно найти их произведение:

А×Х = × = .

Если воспользоваться определением 3.4 равенства матриц, то равенство

А×Х = В (2)

записывается в виде системы линейных уравнений (1).

Определение 6.2. Уравнение (2) называют матричной формой записи системы (1).

Определение 6.3. Решением системы линейных уравнений (1) называется любой упорядоченный набор (кортеж, вектор) а = (a₁, a₂, …, a_n) из чисел, который при подстановке в систему каждое уравнение обращает в верное равенство.

Таким образом, если а = (a₁, a₂, …, a_n) решение системы, то следующие равенства верны:

Определение 6.4.Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 6.5. Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение 6.6. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают.

То есть, если упорядоченный набор чисел а = (a₁, a₂, …, a_n) является решением первой системы, то он является решением второй и наоборот, если упорядоченный набор чисел является решением второй системы, то он является решением первой системы.

 

Методы решения систем линейных уравнений

Метод Крамера

В этом случае основная матрица системы – квадратная матрица порядка n. Теорема 6.1 (Крамера[11]). Пусть в системе линейных уравнений число уравнений равно числу неизвестных и определитель…

Метод обратной матрицы

Матричная форма записи системы линейных уравнений представляется в виде следующего матричного равенства: А×Х = В. В силу условия матрица А – квадратная матрица порядка n с определителем не… (А–1×А)×Х = А–1×В;

Метод Гаусса

Определение 6.7. Уравнение вида 0×x1 + 0×x2 + ... + 0×xn = 0 называется нулевым. Решением такого уравнения является любой вектор. Определение 6.8. Уравнение вида 0×x1 + 0×x2 + ... + 0×xn = b , где b ≠ 0, называется…

Описание метода Гаусса

(1) Начинаем осуществлять прямой ход. Считаем, что коэффициент а11 ≠ 0; если… Первый шаг состоит в том, чтобы исключить неизвестное х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого ко второму…

Исследование системы линейных уравнений

Исследовать систему линейных уравнений – это значит, не решая систему, ответить на вопрос: совместна система или нет, а если совместна, то, сколько… Теорема 6.3 (Кронекера[12]–Капелли[13]). Система линейных уравнений совместна… Для совместных систем линейных уравнений верны следующие утверждения.

Однородные системы линейных уравнений

Определение 6.11.Система линейных уравнений называется однородной, если ее свободные члены равны нулю. Однородная система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: (4)

Свойства решений однородной системы линейных уравнений

2. Если векторы а = (a1, a2, …, an) и b = (b1, b2, …, bn) являются решениями однородной системы, то вектор a + b = (a1 + b1, a2 + b2, …, an + bn)… Следствие. Если а1, а2, …, аp – решения однородной системы (4), то k1×а1…

Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений

Определение 6.12.Векторы с1, с2, …, сp, являющиеся решениями однородной системы линейных уравнений называются фундаментальным набором решений… 1) векторы с1, с2, …, сp линейно независимы (т. е. ни один из них нельзя… 2) любое другое решение однородной системы линейных уравнений можно выразить через решения с1, с2, …, сp.

Основные понятия

В предыдущих разделах уже встречалось понятие о наборе из действительных чисел, расположенных в определенном порядке. Это матрица-строка (или матрица-столбец) и решение системы линейных уравнений с n неизвестными. Эти сведения можно обобщить.

Определение 7.1. n-мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел.

Значит а = (a₁, a₂, …, a_n), где a_i Î R, i = 1, 2, …, n – общий вид вектора. Число n называется размерностью вектора, а числа a_i называются его координатами.

Например: а = (1, –8, 7, 4, ) – пятимерный вектор.

Все множество n-мерных векторов принято обозначать как Rⁿ.

Определение 7.2. Два вектора а = (a₁, a₂, …, a_n) и b = (b₁, b₂, …, b_n) одинаковой размерности равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. a₁ = b₁, a₂ = b₂, …, a_n = b_n.

Определение 7.3.Суммой двух n-мерных векторов а = (a₁, a₂, …, a_n) и b = (b₁, b₂, …, b_n) называется вектор a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, …, a_n + b_n).

Определение 7.4. Произведением действительного числа k на вектор а = (a₁, a₂, …, a_n) называется вектор k×а = (k×a₁, k×a₂, …, k×a_n)

Определение 7.5. Вектор о = (0, 0, …, 0) называется нулевым (или нуль–вектором).

Легко проверить, что действия (операции) сложения векторов и умножения их на действительное число обладают следующими свойствами: " a, b, c Î Rⁿ, " k, l Î R :

1) a + b = b + a;

2) a + (b + c) = (a + b) + c;

3) a + о = a;

4) a + (–a) = о;

5) 1×a = a, 1 Î R;

6) k×(l×a) = l×(k×a) = (l×k)×a;

7) (k + l)×a = k×a + l×a;

8) k×(a + b) = k×a + k×b.

Определение 7.6. Множество Rⁿ с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения их на действительное число называется арифметическим n-мерным векторным пространством.

 

 

Линейная зависимость и независимость системы векторов

Определение 7.7. Линейной комбинацией системы векторов а1, а2, …, аm с коэффициентами k1, k2, …, km называется вектор b = k1×а1 + k2×а2… Принято говорить: вектор b линейно выражается через векторы а1, а2, …, аm или… Пример 7.1.Даны векторы а1 = (3, 2, –1, 0), а2 = (–1, 0, 4, 1), а3 = (–2, –2, –3, –1). Найти вектор b = 2а1 – а2 –…

Свойства линейной зависимости системы векторов

2) Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима. Следствие. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема… 3) Если к линейно независимой системе векторов а1, а2, …, аm добавить вектор b и при этом система векторов а1, а2, …,…

Единичная система векторов

Выпишем единичные векторы для пространств R3 и R4: e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1); e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1).

Две теоремы о линейной зависимости

Сформулируем эту теорему подробнее: пусть а1, а2, …, аm и b1, b2, …, bk две системы векторов и m > k, то есть первая система большая. Если а1,… Теорема 7.2. В пространстве Rn любая система, состоящая более чем из n… Это следует из того, что в Rn любая система выражается через систему e1, e2, …, en.

Базис и ранг системы векторов

Определение 7.14. Базисом системы S называется такая ее подсистема S', что 1) система S' линейно независима; 2) каждый вектор системы S линейно выражается через векторы системы S'.

Ранг системы векторов

Определение 7.16. Рангом системы векторов называется количество векторов в любом базисе этой системы. Определение 7.17.Рангом системы векторов называется максимальное число линейно… Если дана система векторов а1, а2, …, аm пространства Rn, то ранг r этой системы не больше количества векторов в ней и…

Практическое нахождение ранга и базиса системы векторов

Пример 7.4. Найти ранг и базис системы векторов а1 = (1, 3, 0, 5), а2 = (1, 2, 0, 4), а3 = (1, 1, 1, 3) а4 = (1, 0, –1, 0), а5 = (1, –3, 3, –1). Решение. Действуем по описанной схеме. ~ ~ ~ ~ ~ ~ .

Векторные (линейные) пространства

 

Определение векторного пространства над произвольным полем.

Определение 8.1. Множество V называется векторным (или линейным) пространством над полем P, если для каждых двух элементов a, b Î V определена… 1) a + b = b + a; 2) a + (b + c) = (a + b) + c;

Простейшие свойства векторных пространств

2) Для любого вектора a Î V существует единственный противоположный элемент (–a) Î V. 3) a, b Î V уравнение а + х = b разрешимо единственным образом x = b +… 4) операция сложения сократима: если а + b = a + c, то b = c для любых a, b, c Î V.

Линейная зависимость и независимость системы векторов

Для произвольного векторного пространства понятия линейной комбинации, линейной оболочки системы векторов, линейной зависимости и независимости системы векторов определяется точно так, как и для n-мерного арифметического векторного пространства. Выполняются все свойства линейной зависимости (кроме свойства, связанного со ступенчатой системой векторов).

Подпространства. Линейные многообразия

Пусть V – векторное пространство, L Ì V (L подмножество V). Определение 8.2. Подмножество L векторного пространства V называется… 1. " а, b Î L : а + b Î L;

Пример 8.2.

1)В каждом векторном пространстве есть два подпространства, называемых несобственными: L = {0} – нулевое подпространство, L = V – подпространство, совпадающее со всем пространством .

Приведем примеры собственных подпространств.

2) Пусть V = R⁴, L = {((a₁, a₂, a₃, 0), a_i Î R} – подпространство, так как для произвольных векторов а = (a₁, a₂, a₃, 0) Î L и b = (b₁, b₂, b₃, 0) Î L и k Î P:

• а + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, 0 + 0) Î L;

• k×a = (k×a₁, k×a₂, k×a₃, 0) Î L.

3)В пространстве квадратных матриц подпространство образует подмножество диагональных матриц.

4) В пространстве направленных отрезков подпространством является множество отрезков, лежащих на прямой, проходящей через начало координат.

Теорема 8.1. Линейная оболочка L(а₁, а₂, …, а_m) системы векторов а₁, а₂, …, а_m образует подпространство пространства V.

В этом случае принято говорить, что L(а₁, а₂, …, а_m) подпространство, натянутое на векторы а₁, а₂, …, а_m, или что L(а₁, а₂, …, а_m) – подпространство, порожденное векторами а₁, а₂, …, а_m. Система векторов а₁, а₂, …, а_m называется системой образующих подпространства
L(а₁, а₂, …, а_m).

Пересечение и сумма подпространств

Определение 8.3. Пересечением подпространств называется множество L1 Ç L2 = {x | x Î L1 и x Î L2}. Теорема 8.2. Пересечение подпространств является подпространством. Определение 8.4. Суммой подпространств L1 и L2 называется множество L1 + L2 = {x = x1 + x2 | x1 Î L1 и x2…

Линейные многообразия

Определение 8.6.Линейным многообразием пространства V с направлением L, порожденным вектором a, называется множество a + L = {a + l, l Î L}.… Пример 8.3.В пространстве R2´2 выберем подпространство L = {, а, b…  

Базис и размерность векторного пространства

 

Конечномерные векторные пространства

В этом случае говорят, что размерность V равна n (dimV = n). Определение 8.8. Векторное пространство, имеющее размерность, называется… Определение 8.9. Если в векторном пространстве V можно указать линейно независимую систему векторов с каким угодно…

Базис конечномерного векторного пространства

Определение 8.10. Базисом системы S называется ее подсистема S´ такая, что • подсистема S´ линейно независима; • любой вектор системы S линейно выражается через векторы системы S´.

Базисы и размерности подпространств

2.Пусть подпространство L является суммой подпространств L1 и L2. Систему образующих суммы подпространств можно получить объединением систем… dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 – dim(L1 Ç L2). 3. Пусть сумма подпространств L1 и L2 прямая, то есть L = L1 Å L2. При этом L1 Ç L2 = {о} и dim(L1…

Координаты вектора относительно данного базиса

Теорема 8.8. Разложение вектора a по векторам базиса производится единственным образом. Доказательство. Предположим, что вектор a можно разложить по векторам базиса… a = a1e1 + a2e2 + … + anen.

Координаты вектора в различных базисах

a = a1e1 + a2e2+ … + anen; a = a'1e'1 + a'2e'2+ … + a'ne'n. Для того чтобы установить связь между столбцами координат вектора a в старом и новом базисах, надо разложить векторы…

Евклидовы векторные пространства

Дано векторное пространство V над полем действительных чисел. Это пространство может быть как конечномерным векторным пространством размерности n,… Определение 8.15. Векторное пространство V называется евклидовым векторным… 1) (x, y) = (y, x);

Скалярное произведение в координатах

(x, y) = (x1e1 + x2e2 + … + xnen)(y1e1 + y2e2 + … + ynen) = = x1 y1(e1, e1) + x1 y2(e1, e2) + … + x1 yn(e1, en) + … + xn yn(en, en) = = .

Метрические понятия

Определение 8.16. Нормой (длиной, модулем) вектора а называется число, равное корню из скалярного квадрата вектора а: ||a|| = . Поскольку (а, а) ³ 0, то норма вектора определена. Определение 8.17. Вектор а называется нормированным, если его норма равна единице, т. е. ||a|| = 1.

Свойства нормы

2) ||la|| = |l|×||a||, т. к. ||la|| = = = |l|×||a||. 3) Неравенство Коши – Буняковского: |(а, b)| £ ||a||×||b||. Доказательство. Для любого числа λ и любых векторов a, b ≠ 0 выполняется условие (a – lb, a – lb) ³ 0…

Ортонормированный базис евклидова векторного пространства

Определение 8.22. Ортогональный базис называется ортонормированным, если каждый вектор базиса нормирован, то есть если e1, e2, …, en –… Докажем возможность существования ортонормированного базиса. Теорема 8.11. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Процесс ортогонализации

Доказательство. Пусть а1, а2, …, аn – произвольный базис евклидова пространства Е. Доказательство заключатся в описании алгоритма построения… (b1, b2) = 0 Þ (b1, a2 + a1b1) = 0 Þ (a2 + a1b1, b1) = 0 Þ… Положим, далее b3 = a3 + b1b1 + b2b2. Подберем b1 и b2 так, чтобы b3 ≠ 0 оказался ортогонален b1 и b2, для чего…

Скалярное произведение в ортонормированном базисе

(x, y) = (ei, ej) = x1y1 + x2y2 + … + xnyn. Вывод: скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме…

Ортогональное дополнение подпространства

Определение 8.23. Говорят, что вектор а ортогонален подпространству L , если вектор а ортогонален любому вектору из подпространства L, т. е. а ^ L Û а ^ х, " х Î L. Определение 8.24. Ортогональным дополнением подпространства L называется множество L* всех векторов, ортогональных…

Линейные операторы

 

9.1. Основные понятия и способы задания линейных операторов

 

Дано V – векторное пространство над полем P, dim V = n.

Определение 9.1. Говорят, что задано отображение j множества V в себя, если каждому элементу x из V поставлен в соответствие единственный элемент y, тоже принадлежащий V. При этом приняты следующие обозначения и термины: j: V ® V, j: х ® y, j(х) = y; элемент x – прообраз элемента y, y – образ x.

Определение 9.2. Линейным оператором пространства V называется отображение j: V ® V такое, что " a, b Î V, " l Î Р

1) j(a + b) = j(a) + j(b),

2) j(la) = lj(a).

Вместо «линейный оператор» говорят также «линейное отображение» или «отображение, сохраняющее операции сложения и умножения на элемент поля»

Пример 9.1. 1) В произвольном векторном пространстве V зададим отображение следующей формулой: j(х) = kх. Это отображение является линейным оператором и называется оператором гомотетии.

Если k = 1, то отображение примет вид: j(х) = 1. Его называют тождественным оператором и обозначают буквой e: e(х) = х.

Если k = 0, то получают нулевой оператор q: q(х) = o.

2) В пространстве V = R^2´2 оператор транспонирования задают формулой j(А) = А^t, где А^t – матрица, транспонированная для матрицы А.

3) В пространстве V = R[x]_(£n) (многочленов степени, не превосходящей n) можно задать отображение j, ставящее в соответствие произвольному многочлену его производную, т. е. j: f(x) ® f '(x), j(f ) = f '. Покажем, что это отображение линейно:

j(f + g) = (f + g)' = f ' + g ' = j(f ) + j(g),

j(lf ) = (lf )' = l(f )' = lj(f ).

Способы задания линейных операторов

Приведенные примеры не показывают, сколько в каждом векторном пространстве существует линейных операторов, каким способом их можно задавать. Ответом на эти вопросы является следующая теорема.

Теорема 9.1. Для того чтобы задать линейный оператор, достаточно задать образы базисных векторов.

Доказательство. Другими словами, если e₁, e₂, …, e_n – некоторый базис векторного пространства V над полем P, а b₁, b₂, …, b_n – произвольные векторы этого же пространства, то существует единственный линейный оператор, такой, что j(e₁) = b₁, j(e₂) = b₂, …, j(e_n) = b_n.

Покажем, как найти образ произвольного вектора x. Разложим вектор x по базисным векторам и найдем его образ, используя свойства линейного отображения:

x = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n, где x_i Î Р Þ j(х) = j(x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n) = = j(x₁e₁) + j(x₂e₂) + … + j(x_ne_n) = x₁j(e₁) + x₂j(e₂) + … + x_nj(e_n) = = x₁b₁ + x₂b₂ + … + x_nb_n. Теорема доказана.

Пусть в векторном пространстве V задан линейный оператор j, т. е. указаны образы базисных векторов j(e₁), j(e₂), …, j(e_n). Разложим эти векторы по векторам базиса:

j(e₁) = a₁₁e₁ + a₂₁e₂ + … + a_n1e_n,

j(e₂) = a₁₂e₁ + a₂₂e₂ + … + a_n2e_n,

…………………………………..…..

j(e_n) = a_1ne₁ + a_2ne₂ + … + a_nne_n.

Используем координаты образов базисных векторов.

Определение 9.3. Матрицей линейного оператора в данном базисе называется матрица, составленная из координат образов базисных векторов, записанных в столбцы.

M(j) = , M(j) Î Р^n´n.

Если зафиксировать базис пространства V, то каждому линейному оператору j ставится в соответствие единственная квадратная матрица порядка: j ® M(j).

Верно и обратное: по произвольной квадратной матрице A единственным образом можно задать линейный оператор j, взяв за координаты образов базисных векторов столбцы матрицы A.

Пример 9.2. 1) В пространстве V размерности 3 найти матрицу оператора гомотетии.

Решение. Выбираем произвольный базис e₁, e₂, e₃, находим образы базисных векторов j(e₁) = ke₁, j(e₂) = ke₂, j(e₃) = ke₃, а затем их координаты.

[j(e₁)] = , [j(e₂)] = , [j(e₃)] = .

Составляем матрицу : M(j) = . В частности, получаем матрицы тождественного и нулевого операторов: M(e) = = Е, M(q) = = О.

2)Найти матрицу оператора дифференцирования в пространстве R[x]_(£3) в базисе e₁ = 1, e₂ = x, e₃ = x², e₄ = x³.

Решение. Найдем образы базисных векторов, их координаты и составим матрицу линейного оператора.

j(e₁) = 0, j(e₂) = 1, j(e₃) = 2x, j(e₄) = 3x²;

[j(e₁)] = , [j(e₂)] = , [j(e₃)] = , [j(e₄)] = ; M(j) = .

Матрица линейного оператора

Связь между координатами вектора и координатами его образа

j(х) = y1e1 + y2e2 + … + ynen; j(х) = j(x1e1 + x2e2 + … + xnen) = x1j(e1) + x2j(e2) + … + xnj(en) = =… Вектор j(x) разложен по векторам базиса e1, e2, …, en двумя способами, но в силу единственности такого разложения…

Матрицы линейного оператора в различных базисах

Зададим в пространстве V два базиса e₁, e₂, …, e_n и e'₁, e'₂, …, e'_n (старый и новый). Связь между двумя базисами выражается матрицей перехода T . В пространстве V действует линейный оператор j. В каждом из этих базисов для линейного оператора найдены матрицы. Обозначим их, соответственно, M(j)и M'(j) и установим, как одна из них выражается через другую.

Пусть [x] и [x]' столбцы координат произвольного вектора x в старом и новом базисах соответственно, связь между которыми дает формула: [x] = Т×[x]'. Вектор j(x) – образ вектора х, пусть [j(x)] и [j(x)]' – столбцы координат вектора j(x) в старом и новом базисах соответственно. Имеет место формула [j(x)] = Т×[j(x)]'.

Вставим в соотношение [j(x)] = M(j)×[x] выражение старых координат векторов x и j(x) через новые: Т×[j(x)]' = M(j)×Т×[x]'. Умножим полученное равенство слева на матрицу T ^–1 и получим [j(x)]' = (T ^–1×M(j)×Т )×[x]'.

Из теоремы 9.2 о матрице линейного оператора следует, что

M '(j) = T ^–1×M(j)×Т .

Пример 9.3. 1) Линейный оператор j в базисе e₁, e₂ задан формулой j(x) = (3х₁ – х₂, х₁ + х₂). Найти матрицу этого линейного оператора в базисе e'₁, e'₂ если e'₁ = 3е₁ + 2е₂, e'₂ = 4е₁ + 3е₂.

Решение. Сначала составим матрицу линейного оператора в старом базисе, для чего нужны координаты образов базисных векторов:

j(e₁) = j(1, 0) = (3×1 – 0, 1 + 0) = (3, 1),

j(e₂) = j(0, 1) = (3×0 – 1, 0 + 1) = (–1, 1),

M(j) = .

Затем находим матрицу перехода T и обратную к ней матрицу T ^–1:

e'₁ = 3е₁ + 2е₂ Þ e'₁ = (3, 2),

e'₂ = 4е₁ + 3е₂ Þ e'₂ = (4, 3),

T = тогда T ^–1 = .

Используем формулу и находим M '(j) = T ^–1×M(j)×Т :

M '(j) = ×× = × = .

Ответ: M '(j) = .

2) Линейный оператор j в базисе e₁, e₂ задан формулой j(x) = (2х₁ + 4х₂, –х₁ – 3х₂). Найти матрицу этого линейного оператора в базисе e'₁, e'₂ если e'₁ = –4е₁ + е₂, e'₂ = –е₁ + е₂.

Решение. По рассмотренному алгоритму найдем M(j) и M '(j).

Ответ: M(j) = , M '(j) = .

Отметим, что в новом базисе матрица линейного оператора приняла диагональный вид.

Подобные матрицы

Введем на этом множестве отношение между матрицами – отношение подобия. Определение 9.4. Матрица A называется подобной матрице B, если существует…

Свойства отношения подобия матриц

2. Симметричность. Если матрица A подобна B, то и B подобна A, т. е. А ~ B Þ B ~ А. 3. Транзитивность. Если матрица A подобна B и матрица B подобна C, то матрица… Множество Рn´n рассмотренным отношением разбивается на подмножества (классы), в каждое из которых входят…

Действия над линейными операторами

 

В векторном пространстве V над произвольным полем P заданы линейные операторы j и y.

Сложение линейных операторов.

Определение 9.5. Суммой линейных операторов j и y называется отображение, обозначаемое j + ψ и действующее по правилу: (j + ψ)(x) = j(x) + ψ(x), для " х Î V.

Теорема 9.3. Сумма линейных операторов является линейным оператором.

Доказательство. Проверим два свойства.

1. (j + ψ)(x + y) = j(x + y) + ψ(x + y) =j(x) + j(y) + ψ(x) + ψ(y) = j(x) + + ψ(x) + j(y) + ψ(y) = (j +ψ)(x) + (j + ψ)(y).

2. (j + ψ)(λx) = j(λx) + ψ(λx) = λj(x) + λψ(x) = λ(j + ψ)(x).

В ходе доказательства использовались определение линейного оператора и определение суммы линейных операторов. Теорема доказана.

Свойства сложения линейных операторов

1. j + ψ = ψ + j.

2. (j + ψ) + η = j + (ψ + η).

3. $ q : " j, j + q =j, где q – нулевой оператор.

4. " j, $ (–j) : j + (–j) = q, где (–j) – противоположный оператор.

Умножение линейного оператора на элемент поля.

Определение 9.6. Произведением линейного оператора j на элемент λ поля P называется отображение, обозначаемое λj, действующее по правилу (λ×j)(x) = λj(x), для " х Î V.

Теорема 9.4. Произведение линейного оператора j на элемент λ поля P является линейным оператором.

Свойства умножения линейного оператора на элемент λ поля P

1. 1×j = j.

2. (l×μ)×j = l×(μ×j) = μ×(l×j).

3. (l + μ)×j = l×j + μ×j.

4. l×(j + ψ) = λ×j + l×ψ.

Умножение линейных операторов.

Определение 9.7. Произведением линейных операторов j и ψ называется отображение, обозначаемое j×ψ и действующее по правилу: (j×ψ)(x) = j(ψ(x)), для " х Î V.

Теорема 9.5. Произведение линейных операторов является линейным оператором.

Свойства умножения линейных операторов

1. j×ψ ≠ ψ×j.

2. (j×ψ)×η = j×(ψ×η).

3. (j + ψ)×η = j×η + ψ×η.

4. η×(j + ψ) = η×j + η×ψ.

5. (λ×j)×η = j×(λ×η).

Связь между действиями над линейными операторами и действиями над их матрицами

В векторном пространстве V над произвольным полем P выбран произвольный базис e₁, e₂, …, e_n. В пространстве V заданы линейные операторы j и ψ, для которых в данном базисе найдены матрицы: M(j), M(ψ).

Теорема 9.6. а) Матрица суммы линейных операторов равна сумме их матриц, то есть M(j + ψ) = M(j) + M(ψ).

б) Матрица произведения линейного оператора на элемент λ равна произведению его матрицы на этот элемент λ, то есть M(λ×j) = λ×M(j).

в) Матрица произведения линейных операторов равна произведению их матриц, то есть M(j×ψ) = M(j)×M(ψ).

 

Ядро и образ линейного оператора

 

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор j.

Определение9.8. Ядром линейного оператора j называется множество векторов пространства V , образом которых является нулевой вектор. Принятое обозначение для этого множества: Kerj, т. е.

Kerj = {x | j(х) = o}.

Теорема 9.7. Ядро линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.9. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. dim Kerj = d.

Определение 9.10.Образом линейного оператора j называется множество образов векторов пространства V . Обозначение для этого множества Imj, т. е. Imj = {j(х) | х Î V}.

Теорема 9.8. Образ линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.11. Размерность образа линейного оператора называется рангом линейного оператора. dim Imj = r.

Теорема 9.9. Пространство V является прямой суммой ядра и образа заданного в нем линейного оператора. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства V.

Пример 9.3. 1) В пространстве R[x]_(£3) найти ранг и дефект оператора дифференцирования. Найдем те многочлены, производная которых равна нулю. Это многочлены нулевой степени, следовательно, Kerj = {f | f = c} и d = 1. Производные многочленов, степень которых не превосходит трех, образуют множество многочленов, степень которых не превосходит двух, следовательно, Imj = R[x]_(£2) и r = 3.

2) Если линейный оператор задан матрицей M(j), то для нахождения его ядра надо решить уравнение j(х) = о, которое в матричной форме выглядит так: M(j)[x] = [о]. Из этого следует, что базисом ядра линейного оператора является фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M(j). Систему образующих образа линейного оператора составляют векторы j(e₁), j(e₂), …, j(e_n). Базис этой системы векторов дает базис образа линейного оператора.

Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейный оператор j называется обратимым, если существует линейный оператор ψ такой что выполняется равенство j×ψ = ψ×j = e, где e – тождественный оператор.

Теорема 9.10. Если линейный оператор j обратим, то оператор ψ определяется единственным образом и называется обратным для оператора j.

В этом случае оператор, обратный для оператора j, обозначается j^–1.

Теорема 9.11. Линейный оператор j обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M(j), при этом M(j^–1) = (M(j))^–1.

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равен размерности пространства, а дефект равен нулю.

Пример 9.4 1)Определить, обратим ли линейный оператор j, если j(x) = (2х₁ – х₂, –4х₁ + 2х₂).

Решение. Составим матрицу этого линейного оператора: M(j) = . Так как = 0 то матрица M(j) необратима, а значит, необратим и линейный оператор j.

2)Найти линейный оператор, обратный оператору j, если j(x) = (2х₁ + х₂, 3х₁ + 2х₂).

Решение. Матрица этого линейного оператора, равная M(j) = , обратима, так как |M(j)| ≠ 0. (M(j))^–1 = , поэтому
j^–1 = (2х₁ – х₂, –3х₁ + 2х₂).

 

9.7. Собственные векторы линейного оператора

 

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор j.

Определение 9.13. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора j с собственным значением λ, если j(х) = λx.

Говорят, что вектор x принадлежит собственному значению λ.

При этом λ называется не только собственным значением вектора x, но и собственным значением линейного оператора j.

Пример 9.5. 1)Любой ненулевой вектор является собственным вектором оператора гомотетии.

2)Рассмотрим оператор дифференцирования в пространстве дифференцируемых функций. Вектор f = е^3х является собственным вектором этого оператора с собственным значением 3, так как f ' = 3е^3х = 3f.

3) Для линейного оператора, заданного матрицей M(j) = собственным является вектор c = (1, 2, 0), так как j(с) = 2с. Проверим это:

[j(с)] = M(j)[c] = = = 2 = 2[с].

Свойства собственных векторов

Доказательство. Пусть x собственный вектор с двумя собственными значениями l1 и l2. Тогда j(x) = l1х и j(x) = l2x. Отсюда l1х = l2x Þ (l1 –… 2. Если вектор x – собственный вектор линейного оператора j с собственным… Доказательство. j(y) = j(kx) = kj(x) = k(lx) = l(kx) = ly. Следовательно, вектор y – собственный вектор оператора j с…

Характеристический многочлен матрицы

Определение 9.14. Характеристическим многочленом матрицы A называется многочлен, зависящий от λ и равный |A – lE|, т. е. многочлен f(λ) =… Пример 9.6. Найти характеристический многочлен матрицы A = . Решение. Составим определитель матрицы A – lE и вычислим его

Нахождение собственных векторов линейного оператора

Для нахождения собственных векторов линейного оператора надо найти решения уравнения j(х) = λx, в котором неизвестными величинами являются собственные значения λ линейного оператора j и ненулевые векторы x.

Для нахождения собственных значений линейного оператора j используется следующая теорема.

Теорема 9.13. Множество собственных значений линейного оператора j совпадает с множеством собственных значений его матрицы.

Доказательство. Пусть λ – собственное значение линейного оператора j. Это означает, что существует ненулевой вектор x, такой что j(х) = λx. Из этого векторного равенства вытекают следующие матричные равенства:

[j(х)] = [λx] Þ M(j)[x] = λ[x] Þ M(j)[x] – λE[x] = [0] Þ

(M(j) – λE)[x] = [0]. (*)

Равенство (*) является матричной формой записи однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M(j) – λE, причем эта система по условию имеет ненулевые решения. Условие существования ненулевых решений – равенство нулю определителя основной матрицы системы, следовательно, выполнятся равенство: |M(j) – λE| = 0, из которого следует, что λ – собственное значение матрицы M(j) линейного оператора j(х) = λx.

Обратно, пусть λ – собственное значение матрицы M(j) линейного оператора j, то есть |M(j) – λE| = 0. Из этого равенства следует, что система однородных линейных уравнений (*) имеет ненулевые решения. Следовательно, существует ненулевой вектор x, такой что j(х) = λx и λ – собственное значение линейного оператора j.

Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора

1. Найти собственные значения линейного оператора как собственные значения его матрицы

2. Для каждого из найденных собственных значений l₀ находим собственные векторы, решая однородную систему линейных уравнений (*) с основной матрицей M(j) – λ₀E.

3. Множество равно линейной оболочке фундаментального набора решений этой системы за исключением нулевого вектора.

Пример 9.7. Найти собственные векторы линейного оператора с матрицей M(j) = .

Решение. Находим собственные значения матрицы линейного оператора, для чего решаем уравнение |M(j) – λE| = 0.

= (2–l)(–1)^{3 + 3} = (2 – l)((–l)(4 – l) – (–4)) =

= (2 – l)(l² – 4l + 4) = (2 – l)(l – 2)² = (2 – l)³ = 0 Þ l₁ = l₂ = l₃ = 2.

Итак, получили f(λ) = (2 – l)³ – характеристический многочлен матрицы M(j); (2 – l)³ = 0 – характеристическое уравнение матрицы M(j); l₁ = l₂ = l₃ = 2 – собственные значения матрицы M(j), т. е. это собственные значения линейного оператора j.

Собственное значение у этого линейного оператора только одно, поэтому решаем только одну однородную систему линейных уравнений с матрицей .

~ ~ .

Выпишем общее решение этой системы х₁ = (х₂ + 0х₃) и составим фундаментальный набор решений

	х1	х2	х3
с1
с1

с₁ = (1, 2, 0), с₂ = (0, 0, 1).

Ответ. Множество собственных векторов с собственным значением λ = 2 это множество L = L(с₁, с₂){o} = {k₁c₁ + k₂c₂, }.

Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице

Теорема 9.14. Матрица A подобна диагональной матрице тогда и только тогда, когда линейный оператор j, заданный этой матрицей, имеет n линейно… Доказательство. Пусть матрица A подобна диагональной матрице, то есть у… У линейного оператора j есть n линейно независимых собственных векторов с1, с2, …, сn с собственными значениями l1,…

Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора

10.1. Понятие λ-матрицы

 

Известно, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов приводится к диагональному виду. Однако над множеством действительных чисел линейный оператор может не иметь собственных значений, а значит и собственных векторов. Над множеством комплексных чисел любой линейный оператор имеет собственные векторы, но их может быть недостаточно для базиса. Есть другая каноническая форма матрицы линейного оператора, к которой можно привести любую матрицу над множеством комплексных чисел.

Теорема 10.1. Всякая матрица с комплексными элементами приводится во множестве комплексных чисел C к жордановой[14] нормальной форме.

Дадим необходимые определения:

Определение 10.1. Квадратная матрица порядка n, элементами которой служат многочлены произвольной степени от переменной λ с коэффициентами из множества комплексных чисел C, называется
λ-матрицей (или многочленной матрицей, или полиномиальной матрицей).

Примером многочленной матрицы служит характеристическая матрица A – λE произвольной квадратной матрицы A. На главной диагонали стоят многочлены первой степени, вне ее – многочлены нулевой степени или нули. Обозначим такую матрицу как A(λ).

Пример 10.1. Пусть дана матрица A = , тогда A – λE = = = A(λ).

Определение 10.2. Элементарными преобразованиями λ-матрицы называют следующие преобразования:

1. умножение любой строки (столбца) матрицы A(λ) на любое число, не равное нулю;

2. прибавление к любой i-той строке (i-ому столбцу) матрицы A(λ) любой другой j-ой строки (j-ого столбца), умноженной на произвольный многочлен j(l).

Свойства λ-матрицы

1) С помощью этих преобразований в матрице A(λ) можно переставить любые две строки или любые два столбца.

2) С помощью этих преобразований в диагональной матрице A(λ) можно менять местами диагональные элементы.

Пример 10.2. 1) ~ ~ ~ ~ .

2) ~ ~ .

Определение 10.3. Матрицы A(λ) и B(λ) называются эквивалентными, если от A(λ) можно перейти к B(λ) при помощи конечного числа элементарных преобразований.

Задача заключается в том, чтобы по возможности упростить матрицу A(λ).

Определение 10.4. Канонической λ-матрицей называется λ-матрица, обладающая следующими свойствами:

1) матрица A(λ) диагональная;

2) всякий многочлен е_i(l), i = 1, 2, …, n нацело делится на е_i–1(l);

3) старший коэффициент каждого многочлена е_i(l), i = 1, 2, …, n равен 1, или этот многочлен равен нулю.

A(λ) = .

Замечание. Если среди многочленов е_i(l) встречаются нули, то они занимают на главной диагонали последние места (по свойству 2), если есть многочлены нулевой степени, то они равны 1 и занимают на главной диагонали первые места.

Нулевая и единичная матрицы являются каноническими λ-матрицами.

Теорема 10.2. Всякая λ-матрица эквивалентна некоторой канонической λ-матрице (то есть она приводится элементарными преобразованиями к каноническому виду)

Пример 10.3. Привести матрицу A(λ) = к каноническому виду.

Решение. Ход преобразований аналогичен преобразованиям в методе Гаусса, при этом левый верхний элемент матрицы при приведении ее к каноническому виду отличен от нуля и имеет наименьшую степень.

A(λ) = ~ (меняем местами первый и второй столбцы) ~ ~ (к второму столбцу прибавляем первый столбец, умноженный на (l – 2)) ~ ~ (ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (l – 2)) ~ ~ (меняем местами второй и третий столбцы) ~ ~ (к третьему столбцу прибавляем второй столбец умноженный на (l – 2)³) ~ ~ (к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на (l – 2)) ~ .

Жорданова нормальная форма

Определение 10.5. Жордановой клеткой порядка k, относящейся к числу l0, называется матрица порядка k, 1 ≤ k ≤ n, имеющая вид , на ее главной диагонали стоит одно и то же число l0, а на параллельной ей сверху диагонали стоят единицы, все же…

Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме

Теорема 10.3. Жорданова нормальная форма определяется для матрицы однозначно с точностью до порядка расположения жордановых клеток на главной… Приведем матрицу A(λ) = A – λE к каноническому виду с помощью… A – λE = .

Билинейные и квадратичные формы

Билинейные формы

Определение 11.1. Билинейной формой называется функция (отображение) f: V ´ V ® R (или C), где V – произвольное векторное пространство, и для… f(x + y, z) = f(x, y) + f(z, y), f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z),

Свойства билинейных форм

При выбранном базисе e1, e2, …, en в векторном пространстве V любая билинейная форма A однозначно определяется матрицей A(е) = , так, что для любых x = x1e1 + x2e2 + … + xnen, y = y1e1 + y2e2 + … + ynen;

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы

Теорема 11.1.Матрицы A(e) и A(f) билинейной формы A(x, y) в базисах {e} и {f} связаны соотношением A(f) = Ct×A(e)×C, (*), где C – матрица перехода от базиса {e} к базису {f}, а Ct –транспонированная матрица C.

Квадратичные формы

Пусть A(x, y) – симметрическая билинейная форма, заданная на векторном пространстве V. Определение 11.6.Квадратичной формой называется числовая функция одного… Определение 11.7.Симметрическая билинейная форма A(x, y) называется полярной квадратичной форме A(x, x).

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение 11.12. Вид квадратичной формы с диагональной матрицей называется каноническим. Итак, пусть A(f) = , тогда A'(x, x) = + + , где x'1, x'2, x'3 – координаты… Определение 11.13. Пусть в n-мерном векторном пространстве V выбран такой базис f = {f1, f2, …, fn}, в котором…

Закон инерции квадратичных форм

Теорема 11.3 (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и отрицательных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от… Пусть квадратичная форма f ранга r от n неизвестных x1, x2, …, xn двумя… f = + + … + – – … – ,

Классификация квадратичных форм

Пусть у квадратичной формы A(x, x) индекс инерции равен k, положительный индекс инерции равен p , отрицательный индекс инерции равен q, тогда k = p + q.

Было доказано, что в любом каноническом базисе f = {f₁, f₂, …, f_n} эта квадратичная форма A(x, x) может быть приведена к нормальному виду A(x, x) = + + … + – – … – , где h₁, h₂, …, h_n координаты вектора x в базисе {f}.

Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы

При этом если p = n, то форма положительно определена (то есть для любого x ≠ 0 A(x, x) > 0). Если же q = n, то форма отрицательно определена (то есть для любого x ≠…

Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы

Утверждение 11.2. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x), заданная в n-мерном векторном пространстве V, была знакопеременной (то есть существуют такие x, y что A(x, x) > 0 и A(y, y) < 0) необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы

Замечание. Для того чтобы применять эти признаки, квадратичную форму надо привести к каноническому виду. В критерии знакоопределенности…

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

A(x, x) = , и пусть D1 = а11, D2 = , …, Dn = угловые миноры и определители матрицы (aij). Тогда справедливо утверждение: Теорема 11.4 (критерий Сильвестра). 1. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были…

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предполагается выпуск задачника по линейной алгебре дополняющего данное пособие. В задачник войдут материалы для проведения практических занятий;…    

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 2006. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и… Ермаков В.И. Сборник задач по высшей математике для экономистов. – М.: Инфра - М, 2009.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

    Редактор и корректор Г. Д. Неганова