рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Описание метода Гаусса

Описание метода Гаусса - раздел Математика, ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Метод Гаусса – Метод Последовательного Исключения Неизвестных – Заключается В...

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований исходная система приводится к равносильной ей системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), неизвестных находятся все остальные неизвестные. Дана система (1)

(1)

Начинаем осуществлять прямой ход. Считаем, что коэффициент а11 ≠ 0; если же это не так, меняем местами уравнения.

Первый шаг состоит в том, чтобы исключить неизвестное х1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого ко второму уравнению прибавим первое уравнение, умноженное на число , к третьему уравнению прибавим первое уравнение, умноженное на число , и так далее до последнего уравнения. После первого шага получим систему:

Полученная система равносильна исходной системе.

Вторым шагом исключают неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго. Для этого повторяем все действия первого шага для второго и последующих уравнений, а именно: считаем, что коэффициент ≠ 0 и так далее. Если в результате преобразований получается нулевое уравнение, то его удаляют, если же получается несовместное уравнение, то решение системы закончено – она несовместна. Процесс исключения неизвестных продолжаем до тех пор, пока это возможно. Обозначим количество уравнений, оставшихся после прямого хода, через r. Это число равно рангу основной матрицы системы и может быть меньше или равно n. Рассмотрим оба случая.

1) Если r = n, то система после прямого хода принимает вид:

где с11 ≠ 0, с22 ≠ 0, …, сnn ≠ 0.

Обратным ходом, начиная с последнего уравнения, последовательно найдем значения xn, (где xn = ), xn – 1, ..., x1. В этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, то есть является определенной.

2) Если r < n, то система после прямого хода принимает вид:

где с11 ≠ 0, с22 ≠ 0, …, сrr ≠ 0. Неизвестные x1, x2, …, xr, с которых начинаются уравнения, называются главными неизвестными, а остальные xr + 1, x r + 2, …, xnсвободными. В этом случае обратным ходом, начиная с последнего уравнения, выражают главные неизвестные через свободные неизвестные. Получают следующие равенства:

x1 = k1,r + 1xr + 1 + … + k1,nxn + t1,

x2 = k2,r + 1xr + 1 + … + k2,nxn + t2,

……………………………………..

xr = kr,r + 1xr + 1 + … + kr,nxn + tr.

Определение 6.10. Общим решением системы называется выражение главных неизвестных через свободные.

Если свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то из общего решения получим значения главных неизвестных. Таким образом, получают частное решение системы. Из способа его получения следует, что система имеет более одного решения, то есть является неопределенной.

Пример 6.3. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:

Решение. Преобразования с системой линейных удобнее производить не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Расширенная матрица этой системы имеет вид: (А|B) = .

Осуществляем прямой ход. Первым шагом исключаем неизвестное х1 из всех уравнений, кроме первого. Так как а11 = 1 ≠ 0, то переставлять уравнения местами не нужно. Прибавим ко второму уравнению системы первое уравнение, умноженное на (–1), к третьему уравнению – первое, умноженное на (–3). Получим после преобразований следующую матрицу: , в которой элемент а22 = 1. Перестановка местами уравнений (первое уравнение трогать не следует) не поможет, поэтому переходим к следующему неизвестному х3 и исключаем его из всех уравнений, кроме первого и второго. Для этого к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на (–2) и вычеркнем получившееся нулевое уравнение. После прямого хода получаем следующую систему: . Прямой ход завершен. В этом случае n = 4, r = 2, r < n, и, следовательно, система неопределенная. Главные неизвестные – это те неизвестные, с которых начинаются уравнения, в нашем случае это х1 и х3. Неизвестные х2 и х4 – свободные.

Обратным ходом надо выразить главные неизвестные через свободные. Для этого в столбцах, содержащих ведущие элементы строк, следует получить нули. Здесь это элемент а13. Прибавим к первому уравнению, умноженному на 2, второе и выпишем получившуюся матрицу коэффициентов: , а затем и сами уравнения: Из этих уравнений получаем общее решение:

Найдем какое-нибудь частное решение; пусть х2 = 3, х4 = 1, тогда из общего решения получим значения х1 = , и х1 = –2. Таким образом, частное решение – вектор а = (, 3, –2, 1).

Ответ: общее решение {(, х2, , х4)}, где х2, х4 Î R;

частное решение, если х2 = 3, х4 = 1, то (, 3, –2, 1).

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Костромской государственный университет имени Н А Некрасова... Т Н Матыцина...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Описание метода Гаусса

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ББК 22.174я73-5
М350   Печатается по решению редакционно-издательского совета КГУ им. Н. А. Некрасова     Рецензент А. В. Чередников

ББК 22.174я73-5
    ã Т. Н. Матыцина, Е. К. Коржевина 2013 ã КГУ им. Н. А. Некрасова, 2013    

Объединение (или сумма).
Определение 1.9.Объединением множеств А и В называется множество A È B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя

Пересечение (или произведение).
Определение 1.10. Пересечением множеств А и В называется множество A Ç B, которое состоит из тех и только тех элементов, принадлежащих одн

Разность.
Определение 1.11.Разностью множеств А и В называется множество А В, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А

Декартовое произведение (или прямое произведение).
Определение 1.14. Упорядоченной парой (или парой) (a, b) называется два элемента a, b взятые в определенном порядке. Пары (a1

Свойства операций над множествами
Свойства операций объединения, пересечения и дополнения иногда называют законами алгебры множеств. Перечислим основные свойства операций над множествами. Пусть задано универсальное множество U

Метод математической индукции
Метод математической индукции используется для доказательства утверждений, в формулировке которых участвует натуральный параметр n. Метод математической индукции – метод доказательства матем

Комплексные числа
Понятие числа является одним из основных завоеваний человеческой культуры. Сначала появились натуральные числа N = {1, 2, 3, …, n, …} затем целые Z = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}, рациональные Q

Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (

Тригонометрическая форма комплексного числа
Вектор можно задать не только координатами в прямоугольной системе координат, но и длиной и

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Сложение и вычитание удобнее производить над комплексными числами в алгебраической форме, а умножение и деление – в тригонометрической форме. 1. Умножений.Пусть даны два к

Возведение в степень.
Если z = r(cosj + i×sinj), то zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), где n Î

Показательная форма комплексного числа
Из математического анализа известно, что e = , e – иррациональное число. Эйле

Понятие отношения
Определение 2.1. n-арным (или n-местным) отношениемP на множествах A1, A2, …, An называется любое подмнож

Свойства бинарных отношений
Пусть бинарное отношение Р задано на непустом множестве А, т. е. Р Í А2. Определение 2.9.Бинарное отношение P на множе

Отношение эквивалентности
Определение 2.15. Бинарное отношение на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение эквивал

Функции
Определение 2.20.Бинарное отношение ƒ Í A ´ B называется функцией из множества A в множество B, если для любого x

Общие понятия
Определение 3.1. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа m и n называют порядком (или

Сложение однотипных матриц
Складывать можно только однотипные матрицы. Определение 3.12. Суммой двух матриц А = (aij) и B = (bij), где i = 1,

Свойства сложения матриц
1) коммутативность: " А, В : А + В = В + А; 2) ассоциативность: " А, В, С : (А + В) + С = А

Умножение матрицы на число
Определение 3.13. Произведением матрицы А = (aij) на действительной число k называется матрица С = (сij), для которой с

Свойства умножения матрицы на число
1) " А : 1×А = А; 2) " α, β Î R, " А : (αβ)×А = α×(β×А) = β×

Умножение матриц
Определим умножение двух матриц; для этого необходимо ввести некоторые дополнительные понятия. Определение 3.14. Матрицы А и В называются согласованными

Свойства умножения матриц
1) Умножение матриц не коммутативно: A×B ≠ B×A. Продемонстрировать данное свойство можно на примерах. Пример 3.6. а)

Транспонирование матриц
Определение 3.16. Матрица Аt, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной матрице А

Определители матриц второго и третьего порядка
  Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем этой матрицы. Обозначение: D, |A|, det A,

Определение 4.6.
1. При n = 1 матрица А состоит из одного числа: |A| = а11. 2. Пусть для матрицы порядка (n – 1) определитель известен. 3. Определи

Свойства определителей
Для того чтобы вычислять определители порядков, больших, чем 3, используют свойства определителей и теорему Лапласа. Теорема 4.1 (Лапласа). Определитель квадратной матрицы

Практическое вычисление определителей
  Один из способов вычисления определителей порядка выше трех – разложение его по какому-либо столбцу или строке. Пример 4.4.Вычислить определитель D =

Понятие ранга матрицы
Пусть А – матрица размерности m ´ n. Выберем в этой матрице произвольно k строк и k столбцов, где 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров
Один из методов методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы. Суть метода в следующем. Если есть хотя бы один элемент ма

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы. Определение 5.4. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1. умноже

Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения
Пусть дана квадратная матрица А. Определение 5.7. Матрица А–1 называется обратной для матрицы А, если А×А–1

Алгоритм нахождения обратной матрицы
Рассмотрим один из способов нахождения обратной матрицы к данной с помощью алгебраических дополнений. Пусть дана квадратная матрица А. 1. Находим определитель матрицы |A|. Ес

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
Рассмотрим еще способ нахождения обратной матицы с помощью элементарных преобразований. Сформулируем необходимые понятия и теоремы. Определение 5.11.Матрица В назыв

Метод Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, то есть m = n и система имеет вид:

Метод обратной матрицы
Метод обратной матрицы применим для систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель основной матрицы не равен нулю. Матричная форма записи систе

Метод Гаусса
Для описания этого метода, который годится для решения произвольных систем линейных уравнений, необходимы некоторые новые понятия. Определение 6.7. Уравнение вида 0×

Исследование системы линейных уравнений
  Исследовать систему линейных уравнений – это значит, не решая систему, ответить на вопрос: совместна система или нет, а если совместна, то, сколько у нее решений. Ответить на этот в

Однородные системы линейных уравнений
  Определение 6.11.Система линейных уравнений называется однородной, если ее свободные члены равны нулю. Однородная система m линейных уравнени

Свойства решений однородной системы линейных уравнений
1. Если вектор а = (a1, a2, …, an) является решением однородной системы, то вектор k×а = (k×a1, k&t

Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений
Пусть М0 – множество решений однородной системы (4) линейных уравнений. Определение 6.12.Векторы с1, с2, …, с

Линейная зависимость и независимость системы векторов
Пусть а1, а2, …, аm множество из m штук n-мерных векторов, о котором принято говорить – система векторов, и k1

Свойства линейной зависимости системы векторов
1) Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. 2) Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима. Следствие. Если си

Единичная система векторов
Определение 7.13. Системой единичных векторов пространства Rn называется система векторов e1, e2, …, en

Две теоремы о линейной зависимости
Теорема 7.1. Если большая система векторов линейно выражается через меньшую, то большая система линейно зависима. Сформулируем эту теорему подробнее: пусть а1

Базис и ранг системы векторов
Пусть S – система векторов пространства Rn; она может быть как конечной, так и бесконечной. S' – подсистема системы S, S' Ì S. Дадим два

Ранг системы векторов
Дадим два равносильных определения ранга системы векторов. Определение 7.16. Рангом системы векторов называется количество векторов в любом базисе этой системы.

Практическое нахождение ранга и базиса системы векторов
Из данной системы векторов составляем матрицу, расположив векторы как строки этой матрицы. Приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками этой матрицы. При

Определение векторного пространства над произвольным полем.
Пусть P – произвольное поле. Известные нам примеры полей – поле рациональных, действительных, комплексных чисел. Определение 8.1. Множество V называется в

Простейшие свойства векторных пространств
1) о – нулевой вектор (элемент), определен единственным образом в произвольном векторном пространстве над полем. 2) Для любого вектора a Î V существует единствен

Подпространства. Линейные многообразия
  Пусть V – векторное пространство, L Ì V (L подмножество V). Определение 8.2. Подмножество L векторного про

Пересечение и сумма подпространств
Пусть V – векторное пространство над полем P, L1 и L2 – его подпространства. Определение 8.3. Пересечением подпрос

Линейные многообразия
Пусть V – векторное пространство, L – подпространство, a – произвольный вектор из пространства V. Определение 8.6.Линейным многообразием

Конечномерные векторные пространства
Определение 8.7.Векторное пространство V называется n-мерным, если в нем существует линейно независимая система векторов, состоящая из n векторов, и при

Базис конечномерного векторного пространства
V – конечномерное векторное пространство над полем P, S – система векторов (конечная или бесконечная). Определение 8.10. Базисом системы S

Базисы и размерности подпространств
1. Пусть подпространство L = L(а1, а2, …, аm) , то есть L – линейная оболочка системы а1

Координаты вектора относительно данного базиса
Рассмотрим конечномерное векторное пространство V размерности n, векторы e1, e2, …, en образуют его базис. Пусть a – произ

Координаты вектора в различных базисах
Пусть V – n-мерное векторное пространство, в котором заданы два базиса: e1, e2, …, en – старый базис, e'1, e

Евклидовы векторные пространства
  Дано векторное пространство V над полем действительных чисел. Это пространство может быть как конечномерным векторным пространством размерности n, так и бесконечномерн

Скалярное произведение в координатах
В евклидовом векторном пространстве V размерности n задан базис e1, e2, …, en. Векторы x и y разложены по векторам

Метрические понятия
В евклидовых векторных пространствах от введенного скалярного произведения можно перейти к понятиям нормы вектора и угла между векторами. Определение 8.16. Нормой (

Свойства нормы
1) ||a|| = 0 Û a = о. 2) ||la|| = |l|×||a||, т. к. ||la|| =

Ортонормированный базис евклидова векторного пространства
Определение 8.21. Базис евклидова векторного пространства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, то есть если а1, а

Процесс ортогонализации
Теорема 8.12. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство. Пусть а1, а2

Скалярное произведение в ортонормированном базисе
Дан ортонормированный базис e1, e2, …, en евклидова пространства V. Поскольку (ei, ej) = 0 при i

Ортогональное дополнение подпространства
V – евклидово векторное пространство, L – его подпространство. Определение 8.23. Говорят, что вектор а ортогонален подпространству L , если вектор

Связь между координатами вектора и координатами его образа
В пространстве V задан линейный оператор j, а также в некотором базисе e1, e2, …, en найдена его матрица M(j). Пусть в этом базис

Подобные матрицы
Рассмотрим множество Рn´n квадратных матриц порядка n с элементами из произвольного поля P. Введем на этом множестве отно

Свойства отношения подобия матриц
1. Рефлексивность. Любая матрица подобна сама себе, т. е. А ~ А. 2. Симметричность. Если матрица A подобна B, то и B подобна A, т. е

Свойства собственных векторов
1. Каждый собственный вектор принадлежит только одному собственному значению. Доказательство. Пусть x собственный вектор с двумя собственными значениями

Характеристический многочлен матрицы
Дана матрица A Î Рn´n (или A Î Rn´n). Определени

Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице
Пусть A – квадратная матрица. Можно считать, что это матрица некоторого линейного оператора, заданного в каком-то базисе. Известно, что в другом базисе матрица линейного операт

Жорданова нормальная форма
  Определение 10.5. Жордановой клеткой порядка k, относящейся к числу l0, называется матрица порядка k, 1 ≤ k ≤ n,

Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме
  Теорема 10.3. Жорданова нормальная форма определяется для матрицы однозначно с точностью до порядка расположения жордановых клеток на главной диагонали. Пр

Билинейные формы
  Определение 11.1. Билинейной формой называется функция (отображение) f: V ´ V ® R (или C), где V – произвольное векторное п

Свойства билинейных форм
Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной кососимметричной форм. При выбранном базисе e1, e2, …, en в векторн

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы
Пусть в векторном пространстве V заданы два базиса e = {e1, e2, …, en} и f = {f1, f2,

Квадратичные формы
  Пусть A(x, y) – симметрическая билинейная форма, заданная на векторном пространстве V. Определение 11.6.Квадратичной формой

Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Дана квадратичная форма (2) A(x, x) = , где x = (x1

Закон инерции квадратичных форм
Установлено, что число отличных от нуля канонических коэффициентов квадратичной формы равно ее рангу и не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма A(x

Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы
Утверждение 11.1. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x), заданная в n-мерном векторном пространстве V, была знакоопределенной, необход

Необходимое и достаточное условие квазизнакопеременности квадратичной формы
Утверждение 11.3. Для того чтобы квадратичная форма A(x, x), заданная в n-мерном векторном пространстве V, была квазизнакопеременной (то е

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы
Пусть форма A(x, x) в базисе e = {e1, e2, …, en} определяется матрицей A(e) = (aij)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Линейная алгебра является обязательной частью любой программы по высшей математике. Любой другой раздел предполагает наличие знаний, умений и навыков, заложенных во время преподавания этой дисципли

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: Изд-во ВШЭ, 2007. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методическое пособие     Редактор и корректор Г. Д. Неганова   Компьютерный набор Т. Н. Матыциной, Е. К. Коржевина  

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги