Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Пермский государственный технический университет
Учебное пособие
Пояснительная записка
Методические указания представляют собой руководство к решению задач раздела "Линейная алгебра" курса "Элементы высшей математики" для студентов специальностей СПО на базе среднего (полного) общего образования.
Основное назначение пособия – помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя изучить приемы решения основных задач, закрепить полученные навыки при выполнении практических работ и подготовиться к зачету по данному разделу.
Определение матрицы. Действия над матрицами и векторами.
Матрицы
Виды матриц. Векторы
Равенство матриц
Линейные операции над матрицами
Умножение матриц
Свойства умножения матриц
Линейные операции над матрицами
Суммой матриц А и В условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа т×п , или квадратные порядка п.
Пусть А = , B = .
Тогда сумма матриц С = А + В имеет вид
С = ,
где c11 = a11 + b11, c12 = a12 + b12, … cij = aij + bij, …, cmn = amn + bmn.
1. Сложить матрицы А и В, если: а) А = , В = ; б) А = , В = ; в) А = , В = . Р е ш е н и е: а) Здесь А и В – прямоугольные матрицы типа 2 × 3. Складываем их соответствующие элементы: С = А + В = . б) Здесь А и В – квадратные матрицы третьего порядка. Складываем их соответствующие элементы: С = А + В = . В) Эти прямоугольные матрицы сложить нельзя, т.к. А есть матрица типа 3×2, а В – матрица типа 2×3; можно складывать только прямоугольные матрицы одного типа. |
Из выше изложенного следует, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:
1) переместительный закон сложения: А + В = В + А, где А и В – либо квадратные матрицы одного порядка п, либо прямоугольные матрицы одного типа т×п;
2) сочетательный закон сложения: (А + В) + С = А + (В + С), где А, В и С - либо квадратные матрицы одного порядка п, либо прямоугольные матрицы одного типа т×п;
Для любой матрицы А существует матрица – А, такая, что А + (- А) = 0, т.е. матрица, противоположная А.
Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой kaij, т.е. если А = , то kA = .
Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.
2. Умножить матрицу А = на число k = 3. Р е ш е н и е. 3А = . 3. Найти матрицу, противоположную матрице А = . Р е ш е н и е . Для нахождения противоположной матрицы умножаем матрицу А на k = -1. - А = . 4. Найти линейную комбинацию 3А – 2В, если А = , В = . Р е ш е н и е. Сначала находим произведение А на k1 = 3 и k2 = -2. 3А = , -2В = . Теперь найдем сумму полученных матриц: 3А – 2В = . |
Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть
А = , B = .
Произведением этих матриц называется матрица
С = АВ = .
Чтобы найти элемент с11 первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. а11 и а12) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. b11 и b21) и полученные произведения сложить: c11 = a11b11 + a12b21.
Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i – той строки и j – того столбца матрицы-произведения, нужно все элементы i – той строки (аi1, аi2, …, аin) матрицы А умножить на соответствующие элементы j – того столбца (b1j, b2j, …, bnj) матрицы B и полученные произведения сложить.
5. Найти произведение матриц А и В, если А = , В = . Р е ш е н и е. Найдем каждый элемент матрицы-произведения: c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 = 3·1 + 1·2 + 1·1 = 6; c12 = a11b12 + a12b22 +a13b32 = 3·1 + 1·(-1) + 1·0 = 2; c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33 = 3·(-1) + 1·1 + 1·1 = -1; c21 = a21b11 +a22b21 + a23b31 = 2·1 + 1·2 + 2·1 = 6; c22 = a21b12 + a22b22 +a23b32 = 2·1 + 1·(-1) + 2·0 = 1; c23 = a21b13 +a22b23 +a23b33 = 2·(-1) + 1·1 + 2·1 = 1; c31 = a31b11 + a32b21 + a33b31 = 1·1 + 2·2 + 3·1 = 8; c32 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 1·1 + 2·(-1) + 3·0 = -1; c33 = a31b13 + a32b23 + a33b33 = 1·(-1) + 2·1 + 3·1 = 4. Следовательно, С = . |
Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц.
6. Найти произведение АВ, если А = Р е ш е н и е. АВ = |
Если в этом примере мы попытаемся найти произведение ВА, то убедимся, что это невозможно.
Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:
1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;
2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.
Пусть А = , В = . Найдем произведения АВ и ВА:
АВ =
ВА = .
Видно, что АВ≠ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.
Можно проверить, что для умножения матриц выполняется сочетательный и распределительный законы умножения: А(ВС) = (АВ С, (А +В)С = АВ + ВС.
Отметим следующий любопытный факт. Известно, что произведение двух, отличных от нуля чисел, не равно нулю. Для матриц это не всегда справедливо, т.е. возможен случай, когда произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице. Например, если А = В = , то
АВ = .
Определитель матрицы. Свойства определителей и их вычисление
Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и
третьего порядков
Основные свойства определителей
Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя
Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца
Обратная матрица. Обращение матриц второго и третьего порядков
Определение обратной матрицы
Вычисление обратных матриц второго и третьего порядков
Решение простейших матричных уравнений
Простейшие матричные уравнения и их решение
Решение системы линейных уравнений в матричной форме
Задания для проверочных работ
I. «Действия над матрицами»
а) 2А – В , если А =( ), В = .
б) 3А + 2В, если А = , В = .
5. Найти ЗА * 2В, если А = , В =
II. «Определитель матрицы »
а) ; б) .
а) ; б) ; в) .
D = .
а) ; б) ; в) .
III. «Обращение матриц. Простейшие матричные уравнения»
а) б) ; в)
Х = .
а) б)
в)
IV. «Решение систем линейных уравнений»
а) б)
а) б)
в)
Литература:
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / Под ред. Кремера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 2004
2. Филимонова Е.В., Тер-Симонян Н.А. Математика и информатика: Учебное пособие. – М.: ИКТЦ "Маркетинг", 2002.