ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Кубанский государственный технологический университет

(КубГТУ)

 

 

Кафедра прикладной математики

 

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебно-методическое пособие по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ №1, №2 для студентов-заочников экономической специальности…  

Введение

 

Математика за много веков своего существования накопила богатейший набор инструментов для исследования и изучения окружающего мира, научила нас правильно и искусно им пользоваться. К таким инструментам относятся функции и их графики, производная и интеграл, дифференциальные уравнения, их системы, ряды.

Главная роль математики состоит в том, что вместе с решением конкретной задачи она дает общие приемы и способы, применяемые в различных областях практической деятельности инженера.

Реальные процессы связаны с большим количеством переменных, но можно отказаться от каких-то незначительных, частных деталей, акцентируя внимание на некоторых основных сторонах процесса, идеализировав условия протекания этого процесса. Тогда удается построить математическую модель процесса. С помощью основных операций математического анализа можно строить модели достаточно сложных и важных процессов. При этом следует иметь в виду, что разные задачи могут приводить к одной и той же модели, что делает их особо важными для исследовательской деятельности современного инженера.

 

Инструкция по работе с учебно-методическим пособием

В конце каждой темы приводятся вопросы для самопроверки. В процессе изучения студент должен выполнить контрольную работу, главная цель… В первом семестре Вы должны выполнить одну контрольную работу. Номер варианта соответствует последней цифре шифра…

Программа дисциплин

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы и определители

Пусть дана квадратная матрица второго порядка: Выражение вида называется определителем второго порядка и обозначается:

Действия над матрицами.

, , . 2. Произведением матрицы на число называется матрица такая, что , , .

Системы линейных уравнений

Правило Крамера решения систем линейных уравнений.Рассмотрим систему: , где

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Линейные операции над векторами. Координаты точки. Координаты вектора

Основные теоретические сведения.Вектором называется направленный отрезок прямой или упорядоченная пара точек (про которые известно, какая первая – начало, какая вторая – конец).

Обозначают: или .

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными: .

Действия над векторами

В геометрической форме:	В координатной форме:
1. Сложение
а) правило параллелограмма     б) правило треугольника
2. Вычитание
3. Умножение вектора на число
	, k- число

 

Если , то

1) - длина вектора;

2) .

Если заданы две точки A(x₁, y₁, z₁) , B(x₂, y₂, z₂), то

1)

2) если , тогда координаты точки С, делящей отрезок в заданном отношении, находятся по формулам:

В частности, если С – середина отрезка, то

.

Скалярное произведение векторов

. Если заданы координаты векторов , то , -

Векторное произведение векторов

1) ; 2) ; 3) вектор направлен так, как направлен винт при вращении его по кратчайшему расстоянию от первого перемножаемого…

Смешанное произведение векторов

Обозначается: . Если известны координаты векторов , то .

Контрольная работа

Перед выполнением контрольной работы необходимо студентам тщательно изучить предложенные темы и разобрать решения приведенных типовых примеров.

Задания на контрольную работу №1

Вариант 1

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

Вариант 2

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

 

Вариант 3

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

 

Вариант 4

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

 

Вариант 5

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

Вариант 6

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ; 4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

 

Вариант 7

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

№ 5. Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

Вариант 8

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

Вариант 9

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

Вариант 10

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису ,и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

,, ,,.

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины;

; ; ; .

Задания на контрольную работу № 2

Вариант 1

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

1) уравнение плоскости ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

3) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2. Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 3. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой .

 

Вариант 2

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

1) уравнение плоскости ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

3) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2. Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 3. Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой в два раза меньше расстояния до точки .

Вариант 3

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

1) уравнение плоскости ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

3) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2 Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 3 Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой в два раза больше расстояния до точки .

Вариант 4

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

5) уравнение плоскости ;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

7) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2. Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 3. Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой .

Вариант 5

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

1) уравнение плоскости ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

3) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2 Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 3. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой в два раза меньше расстояния до точки .

Вариант 6

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

1) уравнение плоскости ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

3) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2. Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 3. Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5 Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой в два раза больше расстояния до точки

Вариант 7

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

1) уравнение плоскости ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

3) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2. Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 3. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой .

 

Вариант 8

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

1) уравнение плоскости ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

3) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2. Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 3. Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой в два раза меньше расстояния до точки .

Вариант 9

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

1) уравнение плоскости ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

3) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2. Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 3. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5. Составить каноническое уравнение кривой, расстояние от каждой точки которой до прямой в два раза больше расстояния до точки .

Вариант 10

№ 1. По координатам вершин пирамиды найти:

1) уравнение плоскости ;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

3) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 2. Даны общее уравнение прямой и плоскость . Требуется:

1) составить каноническое уравнение прямой ;

2) найти точку пересечения прямой с плоскостью .

№ 2 Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

, .

№ 4. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ;.

№ 5. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой .

Содержание и оформление контрольной работы

 

Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради. Следует указать свой шифр и номер варианта. Условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.

Отмеченные рецензентом ошибки необходимо исправить в конце работы, сделав работу над ошибками.

Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.

Вопросы для подготовки к экзамену и зачету

Линейная и векторная алгебра 1. Определители второго, третьего порядка, их свойства. 2. Правило Крамера.

Список рекомендуемой литературы

Основная литература

 

1. Шнейдер В.Е. и др./ Краткий курс высшей математики, / - М.: Высш.шк., 1975 г.

2.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980 г.

 

Дополнительная литература

 

1. Игнатова А.В. и др. Курс высшей математики. М.: Высш.шк., 1964 г.

2. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике.Харьков,1965 г.

 

Справочная литература (задачники)

 

1. Клетеник Д.В.Сборник задач по аналитической геометрии.М.:Наука,1975 г.