Визначники

Кожній квадратній матриці А порядку n ставиться у відповідність деяке число, яке називається визначником цієї матриці.

Позначення: det A (або | A | , або Δ_A ).

Визначення 2.6. Визначником матриці 1-го порядку (тобто матриці, що складає з одного елемента, одного числа) називається саме число, що утворює задану матрицю.

Визначення 2.7. Визначником матриці 2-го порядку називається число, яке утримується за допомогою елементів квадратної матриці 2-го порядку наступним чином:

.

Визначення 2.8. Визначник третього порядку обчислюється по формулі:

При обчисленні визначників 3-го порядку зручно користуватися правилом трикутників, що символічно можна представити так:

Приклади. Обчислити визначник третього порядку

1.

2.

Розглянемо визначник матриці А n-го порядку

Δ_n = .

Виділимо в ньому який-небудь елемент a_ij і викреслимо i-ий рядок й j-й стовпець, на перетинанні яких розташований цей елемент. Отриманий визначник (n -1)-го порядку називається мінором M_ij елемента a_ij визначника Δ_n .

Алгебраїчним доповненням елемента a_ij визначника Δ_nназивається число

A_ij = (-1)^i+j M_ij. (2.3)

Визначник n-го порядку Δ_n обчислюється сумою добутку елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення

Δ_n = = , 1 ≤ i,k ≤ n (2.4)

Приклади.

1.Обчислимо визначник 4-го порядку за допомогою розкладання по 2-му стовпцю. Для цього знайдемо і :

Отже,

2.Обчислити визначник .

= -1

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Отже значення визначника: -10 + 6 – 40 = -44.

2.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Системою лінійних рівнянь (лінійною системою)називається система вигляду

(2.5)

де, , - числа, - невідомі, n – число невідомих, m – число рівнянь.

Розв‘язок лінійної системи (2.5) називається набір чисел які при підстановці замість невідомих обертають кожне рівняння системи в тотожність.