Конспект 1 Основные понятия в математической статистике.

14.02.13

Семинар N 1

1. История развития основных направлений математической психологии. 2. Предмет, объект и основной метод, исследуемый в математической… 3. Современные направления математической психологии.

Конспект 1

Основные понятия в математической статистике.

 

Важную роль в анализе многих психолого-педагогических явления играют средние величины, представляющие собой обобщённую характеристику качественно однородной совокупности по определённому количественному признаку. Нельзя, например, вычислить среднюю специальность и национальность - это качественно разнородные явления. Зато можно и нужно определять среднюю специальность или среднюю количественную характеристику их успеваемости (средний балл), эффективности методологических систем и приёмов и т.д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, медиана, мода и другие.

 

Средняя арифметическая.

Применяется в тех случаях, когда между определяющим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зависимость (например, при улучшении показателей работы ученой группы улучшаются показатели каждого её числа). Средняя арифметическая представляет собой частное от деления суммы величин, на их число:

 

x̅ = x¹ + x² + x³ + … + xⁿ = ΣX₁

N N

Медианой (Ме)называется мера среднего положения, характеризующая значение признака на упорядоченной (построенной по признаку возрастания или убывания) шкале, которое соответствует середине исследуемой совокупности.

Медиана может быть определена для порядковых и количественных признаков. Место расположения этого значения определяется по формуле:

N+1

Мода (Мо)– наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений. Она соответствует классу с максимальной частотой. Этот класс называется модальным значением.

 

Большое значение при использовании в психолого-педагогическом исследовании математических методов уделяется расчёту дисперсии.

 

Дисперсия равна среднему квадрату отклонений значения исследуемой переменной от среднего значения. Она выступает как одна из характеристик индивидуальных результатов/разброса значений исследуемой переменной (например, оценок учащихся вокруг среднего значения).

Значение дисперсии используется в различных статистических расчётах, но не имеет непосредственного наблюдаемого характера.

Величиной непосредственно связанной с содержанием наблюдаемой переменной является среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение подтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений, признаков, из которых выводится средняя величина.

 

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются основными характеристиками полученных результатов в ходе исследования. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (программы) над другой. Меры связи между переменными. Связи между двумя и более переменными в статистике называются корреляциями. Они оцениваются с помощью значения коэффициента корреляции, который является мерой степени и величины этой связи.

 

Статистическая проверка научной гипотезы.

  Пед-я гипотеза (научное предположение о преимуществе того ил иного метода) в…  

Латентно-структурный анализ.

Представляет совокупность аналитико-статистических процедур, выявление скрытых переменных (признаков), а также внутренней структуры, связей между ними.

 

Многомерное шкалирование обеспечивает наглядную оценку сходства или различия между некоторыми объектами, описываемыми большим количеством разнообразных переменных.

 

Образцов П.И. «Методы и методология психолого-педагогического исследования».

 

21.02.13

Семинар N 2

1. Типы шкал (Я) – Крылов – 46-50 стр. 2. Измерительные шкалы. 3. Порядковые и интервальные измерения.

14 14

(*) – означает, что нижняя часть уравнения находится под корнем.

N п/п	До лечения	После лечения
	4,2	2,65
		2,38
	2,33	3,5
	2,4	3,5
	1,8	4,8
	0,8
		3,7
	2,1	4,12
	2,8	4,2
	1,46	2,89
	3,85	3,7
	1,64	2,58
	2,6	3,2
	1,7	2,1
Xi1 (до лечения)	Xi2 (после лечения)	Xi12	Xi22
1,94 = 4,2 – 2,26	2,65 – 3,38 = -0,73	1,942 = 3,7636	(-0,73) 2 = 0,5329
-0,26 = 2 – 2,26	2,38 – 3,38 = -1	(-0,26)2 =	(-1) 2 = 1
0,07 – 2,33 – 2,26	3,5 – 3,38 = 0,12	(0,07)2 = 0,0049	0,122 = 0,0144
0,14 = 2,4 – 2,26	3,5 – 3,38 = 0,12	(0,14) 2 = 0,0196	0,122 = 0,0144
-0,46 = 1,8 – 2,26	4,8 – 3,38 = 1,42	(-0,46) 2 = 0,2116	1,422 = 2,0164
-1,46 = 0,8 – 2,26	4 – 3,38 = 0,62	(-1,46) 2 = 2,1316	0,622 = 0,3844
-0,26 = 2 – 2,26	3,7 – 3,38 = 0,32	(-0,26) 2 = 0,0676	0,322 = 0,1024
-0,16 = 2,1 – 2,26	4,12 – 3,38 = 0,74	(-0,16) 2 = 0,0256	0,742 = 0,5476
0,54 = 2,8 – 2,26	4,2 – 3,38 = 0,82	0,542 = 0,2916	0,822 = 0,6724
-0,8 = 1,46 – 2,26	2,89 – 3,38 = -0,49	(-0,8) 2 = 0,64	(-0,49) 2 = 0,2401
1,59 = 3,85 – 2,26	3,7 – 3,38 = 0,32	1,592 = 2,5281	0,322 = 0,1024
-0,62 = 1,64 – 2,26	2,58 – 3,38 = -0,8	(-0,62) 2 = 0,3844	(-0,8) 2 = 0,64
0,34 = 2,6 – 2,26	3,2 – 3,38 = -0,1	0,342 = 0,1156	(-0,1) 2 = 0,01
- 0,56 = 1,7 – 2,26	2,1 – 3,38 = -1,28	(-0,56) 2 = 0,3136	(-1,28) 2 = 1,6384
x̅i = 2,26	x̅2 = 3,38	Xi12 = 10,5654	Xi22 = 7,9382

Поскольку значение t = 3,73, для 27 степеней свободы по модулю табличного значения = p<1,001, то есть вероятность погрешности не превышает 0,1%. Это значит, что действуют существующие различия между значениями до и после лечения. Или существует терапевтический эффект на уровне статистической значимости P<0,001.

 

 

Конспект 2.

«Геометрическое представление данных в психологических исследованиях», Москва 1990.   Порой проблемой, которая возникает в случае применения любых количественных методов исследования в психологии,…

28.02.13

Семинар N 3

1.б 2. а 3. б

7.03.13

Семинар N 4

  Темы для конспектов: 1. Мода. Соглашение о использовании моды.

16 16

df – (n1 + n2 – 1) = 31, p - 0,27 > 0, значит p<0,05 => новая программа эффективней старой.

Локин. «Биометрия». Москва 1990, стр 46 – 49.

 

Конспект 3.

  Несмотря на явное преимущество среднего линейного отклонения перед лимитами и…  

Или

Sx² = Σ_i=f (x_i – x̅)²

n

_r

где Σ _i=f- знак суммирования произведений отклонений вариант xi от их средней на веса или частоты fi этих отклонений в пределах от первого до f-го класса; n-общее число наблюдений. Индекс x y символа дисперсии обозначает, что этот показатель характеризует варьирование числовых значений признака вокруг их средней величины.

Ценность дисперсии заключается в том, что являясь мерой варьирования числовых значений признака вокруг их средней арифметической она измеряет и внутреннего изменчивость значений признака зависящую от разностей м/у наблюдениями.

Преимущество дисперсии перед другими показателями вариации состоит также и в том, что она разлагается на составные компоненты, позволяя тем самым оценивать влияние различных факторов на величину учитываемого признака.

Вместе с тем установлено, что рассчитывается по формуле дисперсия оказывается смещённой по отношении к своему генеральному параметру на величину, равную n / (n-1)

Чтобы получить несмещённую дисперсию, нужно в формулу ввести в качестве множителя поправку на смещённость, называемую поправкой Бесселя.

В лез. формула преобр. след. обр.:

 

Sx2 = Σ_i=f (x_i – x̅)² * _n_ = Σ_i=f (x_i – x̅)²

n n – 1 n - 1

Разность n – 1, обозначаемую в дальнейшей строчной буквой латинского алфавита K, называют число степеней свободы, пд которым понимают, число свободную варьирующ. единиц в составе численно ограниченной статистической совокупности.

Так, если совокупность состоит из n-го числа членов и характеризуются средней величиной x̅, то любой член этой совокупности может иметь какое угодно значение, не измеряя при этом среднюю x̅, кроме одной варианты, значение которых определяется разностью между суммой значений всех остальных вариантов и величиной n*x̅, следовательно, 1 варианта численно ограниченной статистической ограниченной статистической совокупности не имеет свободы вариации. Отсюда число степеней свободы для такой совокупности будет равно её объёму и без единицы, т.е. k = n-1. А при наличии не одного, а нескольких ограничений свободы вариации, число степеней свободы вариации будет = k=n-v (ню), где v(ню) обознач. число ограничений свободы вариации.

Дисперсия обладает рядом важных свойств, из которых необходимо отметить следующие:

1. Если каждому варианту совокупности уменьшить или увеличивать на одно и то же постоянно число А, то дисперсия уменьшиться или увеличится в А² р. При наличии в совокупности многозначных вариантов их можно сократить на какое-то постоянное число А и по результатам вычислить дисперсию. Затем полученную величину умножить на квадрат общего делителя А – что даст в сколько величину дисперсии.

 

7.03.13

Семинар N 5

1. Матрица, векторы 2. Сложение и умножение векторов 3. Транспонирование матриц.

Конспект 4

Некоммутативность. Ассоциативность.

Одним из интереснейших (!) свойств матриц, делающих их изучение таким увлекательным (!!), является то, что произведение матриц некоммутативно. Иными…   АВ≠ ВА (1)

3 4 4 3

 

Если АВ = ВА, то мы будем говорить, что матрицы А и В коммутативны.

Теория матриц даёт естественный переход от обычной области скаляров и их доступной алгебры к более реальному миру объектов, в котором имеется множество различных видов алгебр, обладающих своими специфическими свойствами.

 

Ассоциативность.

Хотя в новой алгебре коммутативность не имеет места, свойство ассоциативности к счастью, сохраняется. Иными словами, для любых матриц А и В и С мы имеем:

(АВ) * С = А * (ВС) (1)

 

Это означает, что произведение АВС вполне определено и без помощи круглых скобок. Для доказательства этого результата воспользуемся правилом «немого индекса», которое заключается в том, что любой повторяющийся индекс должен суммироваться по всем своим возможным значениям. Приняв это условие, ij (ита-дже )-й элемент произведения АВ можно записать как:

a ik * b kj (2)

Применяя этот приём и определяя произведение, приведённое выше, мы получаем соотношения,

(АВ)С = (a ik * b kj) c lj ,

A (BC) = a ik (b kl * c lj)

 

..которые устанавливают равенство выражений (AB)C и A(BC).

 

21.03.13

Семинар N 6

  Тема: «Характеристики положения вариационного ряда». Одной из задач психолого-педагогического исследования является сравнение полученных результатов.

2 + 7 + 10 + 3 22

Для 10 «Б» x̅ = 2*1 + 3*9 + 4*10 + 5*1 = 74 = 3,52

1 + 9 + 10 + 1 21

Средняя величина, показывающая среднюю оценку. Можно сказать, что в 10 «А» средняя оценка за контрольную работу выше, чем в 10 «Б».

При этом следует учитывать:

1) учащиеся обоих 10 классов писали одну и ту же контрольную работу.

2) проверял работы один учитель.

 

В противном случае некорректно делать вывод о том, какой класс справился лучше.

Помимо выборочной средней, результаты характеризует медиана.

Медиана выборки – это такое значение измеряемой величины, которая разбивает выборку на две группы. Так, что суммой частот в каждой группе должны быть не менее ½.

 

 

Оценка (вариант)
Кол-во учащихся в 10 «А» и получивших такую оценку
Относительная частота	2_	7_	10_	3_

 

f_i = m_i , n = 22

n

Σ_i=1 f_i = 2 + 7 + 10 = 19 = 0,86 > 1 .

22 22 2

Σ_i=3 f_i = 10 + 3 = 10 + 3 = 13 = 0,59 > 1 .

22 22 22 2

 

Т.о. для 10 «А» класса медианой является оценка «4». 10 «А» можно разделить на 2 группы, причём суммы относительных частот в группах будут равны.

 

Аналогичным образом 10 «Б» можно разбить на две группы по 10 и 11 человек.

 

Σ_i=1 f_i = 1 + 9 + 10 = 0,95 > 1 .

21 2

Σ_i=3 f_i = 10 + 1 = 0,52 > 1 .

21 2

Однако число 4 тоже является медианой, так как:

 

Σ_i=1 f_i = 1 + 9 + 10 = 0,95 > 1 .

21 2

Σ_i=3 f_i = 10 + 1 = 0,52 = ½

 

Некоторые авторы считают невозможным наличие 2-х медиан и предлагают вычислять среднее арифметическое двух медиан.

Медиану рекомендуется применять в тех случаях, когда выборка содержит варианты, сильно отличающиеся от выборочного среднего. Кроме медианы можно использовать такую числовую характеристику, как мода.

Мода показывает какой вариант встречается в выборке наиболее часто. Для 10 «А» класса модой является оценка 4, потому что у неё самая большая частота в выборке.

По имеющимся данным можно найти средний балл за контрольную работу для обоих классов.

 

Способ N1: Обобщим имеющиеся данные в виде одного вариационного ряда.

 

Оценка (вариант)
Кол-во учащихся	2+1	7+9	10+10	3+1

 

x̅ = 2*3 + 3*16 + 4*20 + 5*4 = 3,58.

Воспользуемся формулой для выборочной средней. Ответ: 3,58.

Таким образом, средний балл в обоих классах оказался выше, чем в 10 «Б», но ниже, чем в 10 «А».

 

Способ N2: Если выборку можно разбить на несколько групп, например на школы, на классы, тогда выборочное среднее называется «групповое среднее».

 

Выборочное среднее может быть получено из групповых средних следующим образом:

 

x̅_B = Σ_i=1 x_i n_i

Σ_i=1 n_i

x̅_B = 3,64 * 22 + 3,52 *21 = 3,58

Средний балл для обеих групп нам известен.

 

Для 10 «А» = 3, 64. Для 10 «Б» = 3, 52.

Обоими способами мы получим одинаковый результат (3,58)

 

В 3-х школах провели ЕГЭ по математике, найдём средний результат для 3-х школ:

 

Средний балл
Кол-во учащихся

 

x̅_B = 72*50 + 85*44 + 69*61 = 74,5

50 + 44 + 61

 

x̅_B = 3,64 * 22 + 3,52 *21 = 3,58

 

x̅_B = 3600 + 3740 *4209 = 74,509

 

 

28.03.13

Семинар N 7

Менеджеры: N п/п Баллы N п/п Баллы …   Задача:

F-критерий Фишера

f-критерий Фишера - тоже параметричен, т.е. он подходит к тем параметрам, которые обладают нормальным распределением. Он позволяет выборочные дисперсии двух выборок.  

4.04.13

Семинар N 8

  Дисперсией называется главная характеристика расстояния(?) вариационного… Выборочная дисперсия рассчитывается по формуле:

K – число групп в общей выборке.

X̅ - выборочная средняя для i-й группы.

ni – объём выборки i-й группы.

X – выборочная средняя для всех групп.

  В 10 «А» учатся 22 ученика, а в 10 «Б» 21 ученик. Выборка разбивается на 2 группы: выборочная средняя для обеих групп: 3,58.

K – кол-во групп в общей выборке.

  Можем ли мы считать, что эмпирическое разделение в 1-ую неделю исследования… То есть структура удовлетворённости оценками сохраняется на протяжении данного времени.

11.04.13

Семинар N 9

  Разность средних > К * (сумма размахов) n

N = 50

Rn = 16 * (1 – 2,55) = 0,72

Rn(под корнем) = 0,72 = 0,85

 

Любой коэффициент надёжности можно интерпретировать в процентах дисперсии показателей, например коэффициент надёжности = 0,72 показывает, что 72% дисперсии результатов теста зависят от истинной дисперсии по измеряемому свойству. 28% от дисперсии ошибки.

Rn (под корнем) – квадратный корень из коэффициента надёжности – это индекс надёжности.

Rn (под корнем) ² (в квадрате) – квадрат индекса надёжности – понимается как процент истинной дисперсии.

Дисперсия ошибки включает неоднородность тестовых заданий, временные показатели, измерения состояния испытуемых, влияние тренировки и другие факторы.

Коэффициент надёжности позволяет вычислить истинный балл по данной методике. Если повторные результаты выполнения теста теми же самыми испытуемыми идентичны первому результату, значит методика точна и максимально надёжна.

При этом дисперсия нового распределения выше исходного. На величину дисперсии ошибки измерения.

 

Надёжность в этом случае выражается формулой:

 

Rn = σ_t²

σ_x²

 

где Rn – надёжность теста (надёжность – reliability)

σ_t² - истинная дисперсия.

σ_x² – эмпирическая дисперсия оценок теста.

 

Величина ошибки измерения обратно-пропорциональна точности измерения:

σ_o. = (далее под корнем) 1 – Rn

 

Если Rn = 0,8, тогда доля дисперсии ошибки <…>

 

В результате эмпирического значения отклонения тестового балла от среднего получается завышенное. И для его коррекции применяется формула:

 

Xt = Rt * Xi + X (1 - Rt)

 

Xt – истинное значение тестового балла.

Xi – эмпирический балл испытуемого.

Rt – коэффициент надёжности.

x̅– Среднее значение баллов по тесту.

 

Например по тесту Равена: испытуемый получил 6 стэнов. Среднее значение по шкале = 4. Коэффициент надёжности = 0,7. Посчитайте истинное значение испытуемого по тесту Раввена.

Xt = 3,4.

 

18.04.13

Семинар N 10

  Коэффициент корреляции φ устанавливает взаимосвязь между двумя… Дихотомия – противопоставление.