Математический анализ. Функции

Ванин Ю.П.

 

Новороссийск 2013

УДК 65.012(075.8)

ББК 65вбя73

 

Рецензент: Токмазов Г.В., кандидат педагогических наук, профессор;

кафедра высшей математике Новороссийского государственного морского университета.

 

 

Ванин Ю.П.

  Пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения… Пособие предназначено для студентов – экономистов и других специальностей и лиц, занимающихся самообразованием.

Введение

Математический анализ - часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что математический анализ изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых. Название "Математический анализ" - сокращенное видоизменение старого названия этой части математики - "Анализ бесконечно малых"; полнее раскрывает содержание, но оно - тоже сокращенное (название "Анализ посредством бесконечно малых" охарактеризовало бы предмет более точно). В классическом математическом анализе объектами изучения (анализа) являются прежде всего функции. "прежде всего" потому, что развитие математического анализа привело к возможности изучения его методами более сложных образований, чем функция, - функционалов, операторов и т. д.

В природе и технике всюду встречаются движения, процессы, которые описываются функциями; законы явлений природы также обычно описываются функциями. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций. Математический анализ в широком понимании этого термина охватывает весьма большую часть математики. В него входят числовые последовательности и пределы, теория функций действительной одной переменной и нескольких переменных, дифференциальное и интегральное исчисление, функций функции комплексного переменного, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория дифференциальных уравнений с частными производными, теория числовых и функциональных рядов, теория интегральных уравнений, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление, функциональный анализ и некоторые другие математические дисциплины. Современные теория чисел и теория вероятностей применяют и развивают методы математического анализа.

Все же термин математического анализа в современной программе для бакалавров употребляется для наименования только основ математического анализа, объединяющих в себе теорию действительного числа, теорию пределов числовой последовательности, общую теорию функций в том числе из элементарной математики тригонометрические логарифмические функции, теория неявных функций, функции, заданные параметрами, асимптоты функций и т.д..

Особое внимание в пособии уделено дифференциальному и интегральному исчислению. Прежде всего понятию производной и её геометрический и физический смысл. В программе средней школы имеется раздел, посвящённый производной функции, однако, как практика показывает, студенты первого курса не владеют техникой вычисления производной элементарных функций и особенно сложных функций. В связи с этим в пособие излагаются краткие основы теории функций, теоремы с доказательством и без доказательства, много примеров с решением и для самостоятельной работы, посвящённых технике дифференцирования одной переменной и нескольких переменных, дифференциалу функций и применение его в расчётах, исследованию функций с помощью производной первого порядка и высших порядков, экстремальные задачи для определения максимума и минимума функций и т.д..

Второй по значимости раздел в пособии посвящён интегральному исчислению, прежде всего понятию неопределённого и определённого интеграла, их свойствам, технике интегрирования (замена переменных, интегрирование по частям, интегрирование рациональных дробей, интегрирование некоторых тригонометрических функций) и использование интегралов для решения практических задач (вычисление площади плоских фигур, объёмов тел вращения, длины кривой, массы тела и др).

Можно сказать, что совсем новой темой для студентов является раздел, посвящённый дифференциальным уравнениям. В пособии кратко изложены основные понятия обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их решений (разделение переменных, однородные и неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и др.).

Из теории рядов изложены основы числовых рядов, их сходимость и разложение некоторых стандартных функций в степенной рядов Маклорена.

I. Числовая последовательность, предел последовательности

x1, х2, …, хn = {xn} Общий элементпоследовательности является функцией от n xn = f(n) Рассмотрим последовательность {xn} = .

II. Функции

Общие свойства

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у явля­ется… Аналогично определяется функция, зависящая от нескольких переменных y=f(x)=f( … где х= (х 1, ..., х п) - точка n-мерного пространства; рассматривают также функции от точек

Ограниченная функция. Если существует такое число M, что . Например, функции

y=sinx иy=cosx, т.к. ,

4. Четность (нечетность) функции
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала коор­динат и для любого х из области определения выпол­няется равенство f(-x) = f(x). График четной функ­ции симметричен относительно оси ординат.
Например, у = х² - четная функция.
Нечетная функция - функция, у которой об­ласть определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечет­ной функции симметричен относительно начала координат.
Например: у = х³ - нечетная функция.
Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х²+х).
Свойства некоторых функций и их графики

1.Линейной функциейГрафиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b) и параллельная прямой у = kx.
Прямая, не параллельная оси Оу, называется функция вида y=kx+b,где k и b – числа.
Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.
является графиком линейной функции.

 

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.
2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.
3. Множеством значений функции y = kx + b (k ≠ 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.
При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из од­ного числа b.

 

 

3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.
При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она явля­ется четной.
При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.
Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси ^ Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох.

 

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если . При k < 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если .

2. Функция y = x²

Область определения этой функции - множество R действитель­ных чисел.
Придавая переменной х несколько значений из области опреде­ления функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x² , изображаем график функции.

График функции y = x² называется параболой.

Свойства функции у = х².

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции у = х² является промежуток [0; + ∞).
4. Если значения аргумента отличают­ся только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х² - четная при смене знак у аргумента с плюса на минус чётная степень также даёт плюс)
* - нечетная функция, например, функция у= – нечетная, т.к. у= = ,т при смене у аргумента плюса на минус, минус выносится из под знака функции.
.
5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х² возрастает.
6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х² убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
3.Фунуция
Область определения этой функции - промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответст­вующие значения у по формуле у= ., изображаем график функции.

Свойства функции у= .
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями коорди­нат общую точку (0; 0) - начало координат.
2. Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме на­чала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции у= . является промежуток [0;+∞).
4. Функция у= . не является ни четной, ни нечетной.
5. Функция у= . возрастающая в области определения.
6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

Функция y = x3 Область определения этой функции - множество R действитель­ных чисел. Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х3, изображаем график функции.

График функции у= х³ называется кубической параболой.

Свойства функции y = x3.

Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат. 2. Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т.е. кубическая парабола лежит в пер­вом и третьем координатном углах. 3. Множеством значений функции у = х3 является вся числовая прямая. 4. Если значения аргумента отлича­ются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у = х3 - нечетная). 4. Функция у = х3 возрастающая в об­ласти определения.

5. Функция y = |x|
Область определения этой функции - множество R действитель­ных чисел.
Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х <0 получим у = - х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х < 0.

 

Свойства функции y =|x|
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.
2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).
5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.
6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

6. Функция
Область определения функции: .
Область значений функции: y ..
График — гипербола.
1. Нули функции. у ≠ 0, нулей нет.
2. Промежутки знакопостоянства,
Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.
Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.
3. Промежутки возрастания и убывания.
Если k > 0, то функция убывает при ..
Если k < 0, то функция возрастает при ..
4. Четность (нечетность) функции.
Функция нечетная.

Квадратный трехчлен

Уравнение вида ax²+bx+c = 0, где a, b и с — некоторые числа, причем а≠0, называется квадратным.
В квадратном уравнении ax²+bx+c = 0 ко­эффициент а называется первым коэффициентом, b — вторым коэффициентам, с — свободным чле­ном.
Формула корней квадратного уравнения име­ет вид:
.
Выражение называется дискриминан­том квадратного уравнения и обозначается через D.
Если D = 0, то существует только одно чи­сло, удовлетворяющее уравнению ax²+bx+c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае ква­дратное уравнение имеет два равных действитель­ных корня, а само число - называют двукрат­ным корнем.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c = 0. Так как а≠0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.
Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:
.
Уравнения вида
аx² +bx = 0, ax² + с =0, аx² = 0
называются неполными квадратными уравнениями.Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Элементарные функции.Фундаментальное значение в М. а. играют элементарные функции. На практике в основном оперируют элементарными функциями, ими приближают функции более сложной природы. Элементарные функции можно рассматривать не только для действительных, но и комплексных чисел. Тогда представления об этих функциях становятся в определенном смысле законченными. В связи с этим возникла важная ветвь математического анализа, называемая теорией функций комплексного переменного, или теорией аналитических функций.

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

Перечислим ниже все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

· область определения функции;

· поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);

· четность и нечетность;

· область значений функции;

· промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

· промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);

· наклонные и горизонтальные асимптоты;

· особые точки функций;

· особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

· Постоянная функция (константа), ее график и свойства. у=С

· Корень n-о степени, свойства и график. Y=

· Степенная функция, ее график и свойства. Y=

· Показательная функция, свойства, график. Y=

Логарифмическая функция, ее свойства, графическая иллюстрация. Y= Тригонометрические функции

 

 

 

 

 

 

Основные тригонометрические тождества

 

 

 

 

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента

Через sinx:    

Преобразование суммы тригонометрических функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

 

 

 

Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента

 

 

 

 

Тригонометрические функции половинного аргумента

(выбор знака зависит от того, в какой четверти находится угол )

 

 

Выражение тригонометрической функции через тангенс половинного аргумента

 

 

 

Преобразование степеней синуса и косинуса

      Знаки тригонометрических функций   Некоторые значения тригонометрических функций …

III.

·

· Свойства и графики тригонометрических функций. y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx

· Обратные тригонометрические функции (аркфункции), их свойства и графики.

Представление функции может имеет различные формы: в явном виде; в неявном виде; в параметрической форме; разными аналитическим формулами в области определения; графическое; в виде таблиц.

Пример 1. Найти область определения функций.

Действительное число.Понятие функции существенно базируется на понятии действительного (рационального и иррационального) числа. Оно окончательно сформировалось только в конце 19 в. В частности, установлена логически безупречная связь между числами и точками геометрич. прямой, к-рая привела к формальному обоснованию идей Р. Декарта (R. Descartes, сер. 17 в.), к-рый ввел в математику прямоугольные системы координат и представление в них функций графиками.

В математическом анализе методом изучения функций является предел. Различают предел последовательности и предел функции. Эти понятия окончательно сформировались только в 19 в., хотя представление о них имели еще древние греческие ученые.

Определение 1. Пределом функции f(x) при называется число b, если для любого ( годно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента х = начиная с которого выполняется неравенство . Обозначение:
Определение 2. Пределом функции f(x) при называется число b, если для любого ( сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

, обозначение: .

Определение 3. Функция называется бесконечно малой при или и, если

или

Свойства бесконечно малых величин.
1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (постоянную, другую бесконечно малую величину) есть величина бесконечно малая.
3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.
Определение 4. Функция называется бесконечно большой при , если .
Свойства бесконечно больших величин.

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.
2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.
3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Теорема. Связь между бесконечно малой величиной и бесконечно большой величиной. Если функция бесконечно малая при ( ), то функция f(x)= является бесконечно большой величиной при ( ). И, обратно, если функция бесконечно большая при ( ),, то функция f(x)= является бесконечно малой величиной при , ( ).

Теоремы о пределах.
1. Функция не может иметь более одного предела.
2. Предел алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:
.
3. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

4. Предел степени равен степени предела:
5. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя существует:
.
6. Первый замечательный предел.

.
Следствия:

7. Второй замечательный предел:

, n-натуральное число

Следствия:

Эквивалентные бесконечно малые величины при :

Техника вычисления пределов

При вычислении пределов используют основные теоремы о пределах, свойства непрерывных функций и правила, вытекающие из этих теорем и свойств.
Правило 1. Чтобы найти предел в точке функции, непрерывной в этой точке, надо в функцию, стоящую под знаком предела, вместо аргумента x подставить его предельное значение .
Пример 2. Найти
Правило 2. Если при отыскании предела дроби предел знаменателя равен нулю, а предел числителя отличен от нуля, то предел такой функции равен .
Пример 3. Найти
Правило 3. Если при отыскании предела дроби предел знаменателя равен , а предел числителя отличен от нуля, то предел такой функции равен нулю.
Пример 4. Найти
Часто подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенным выражениям вида
.
Нахождение предела функции в этих случаях называется раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразование данного выражения. Для раскрытия неопределенностей используют различные приемы.
Правило 4. Неопределенность вида раскрывается путем преобразования подпредельной функции т.о., чтобы в числителе и знаменателе выделить множитель, предел которого равен нулю, и, сократив на него дробь, найти предел частного. Для этого числитель и знаменатель либо раскладывают на множители, либо домножают на сопряженные числителю и знаменателю выражения.
Пример 5.

Пример 6

Правило 5. Если подпредельное выражение содержит тригонометрические функции, тогда, чтобы раскрыть неопределенность вида используют первый замечательный предел.
Пример 7.

=2 .
Пример 8.

Правило 6. Чтобы раскрыть неопределенность вида при , числитель и знаменатель подпредельной дроби необходимо разделить на высшую степень аргумента и находить далее предел частного.
Возможны результаты:
1) искомый предел равен отношению коэффициентов при старших степенях аргумента числителя и знаменателя, если эти степени одинаковы;
2) предел равен бесконечности, если степень аргумента числителя выше степени аргумента знаменателя;
3) предел равен нулю, если степень аргумента числителя ниже степени аргумента знаменателя.
Пример 9.

а) Степени равны, значит, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, т.е. .

 

б) Степень числителя , знаменателя – 1, значит, предел равен

в) здесь степень числителя 1, а знаменателя - , значит предел равен 0.

Правило 7. Чтобы раскрыть неопределенность вида , числитель и знаменатель под предельной дроби необходимо умножить на сопряженное выражение.

Пример 10.

Правило 8. Чтобы раскрыть неопределенность вида используют второй замечательный предел и его следствия.
Можно доказать, что

Пример 11.

Пример 12.

Пример 13.

Правило 9. При раскрытии неопределенностей, подпредельная функция которых содержит бесконечно малые величины, необходимо заменить пределы этих бесконечно малых на пределы бесконечно малые, эквивалентных им.

Пример 14.

Пример 15.

Некоторые замечательные пределы.

, где P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+a_n,

Q(x) = b₀x^m + b₁x_m-1 +…+b_m - многочлены.

 

 

Итого:

Первый замечательный предел.

Второй замечательный предел.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

 

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел.

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x² – 6x + 8 = 0; x² – 8x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;

x₁ = (6 + 2)/2 = 4; x₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x₂ = (6 – 2)/2 = 2 ; x₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

Пример. Найти предел.

умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, т.е. на выражение , получим:

= .

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел .

Если подставим в функцию вместо х значение (х=1), то получим неопределённость типа Разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого разделим числитель на величину

(х-1), получим квадратный трёх член x² – 5x + 6, который решим стандартным способом через дискриминант, получим множители (x – 2)(x – 3). Знаменатель также легко представим в виде множителей (x – 2)(x – 3). Тогда можно записать:

 

Пример. Найти предел.

 

- не определен, т.к. при стремлении х к 2 имеют место различные односторонние пределы -∞ и +∞.

Непрерывность функции

функция y=f(x) от одного переменного х, заданная на интервале ( а, b), называется непрерывной в точке х, если малому приращению аргумента…   Функция непрерывна на интервале ( а, b), если она непрерывна во всех его точках; тогда ее график представляет собой…

IV. Дифференциальное исчисление

Определение производной

     

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как , a dy=f или f( ,+ = , а формула (4) примет вид

Правило Лопиталя для нахождения предела функции.

= = Пример: Найти предел .  

Производные высших порядков

  Асимптоты. При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно…

Исследование функций

1. Элементарное исследование: - найти область определения и область значений; - выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность; -… , то естьпри дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не… Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.*************************** …

Точки экстремума.

  Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум…  

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.

Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.   Теорема. Если f¢(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f¢¢(x1)<0 и минимум,…

Параметрическое задание функции.

 

Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:

,

производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).

 

Находим производные:

 

Теперь можно найти производную . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных j¢(t) или y¢(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

Для каждого интервала (t₁, t₂), (t₂, t₃), … , (t_k-1, t_k) находим соответствующий интервал (x₁, x₂), (x₂, x₃), … , (x_k-1, x_k) и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.

В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

 

На практике исследование функций, параметрически заданных, осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

 

Функции нескольких переменных

Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y²,u=xy+z² и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Например, функция z= задана только при 1-y >0, т.е. внутри эллипса y²+4x²<1 с полуосями, а=0,5 и в=1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w=f(x,y,z…t).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z=4-x²-y² является параболоид.

Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

2.Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x₁,x₂,…x_n) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М₀(x₁⁰,x₂⁰,…x_n⁰) любым образом, если для всякого сколь угодно малого >0 существует такое число >0, что из условия , где - расстояние между точками М и М₀, следует .

Обозначается: А =

Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения и . Получим приращение функции

 

z=f(x,y). Если (1)

т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.

Распишем x₀+y_{0 +}) –f( и положим x₀₊x=x, y₀+ ,то выражение (1) можно записать в виде:

(2)

т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.

Астные производные.

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y,   Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к…

Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных

Пусть уравнение z=f(x,y) –это уравнение поверхности. Проведем плоскость x=const. L- линия пересечения поверхности с плоскостью x=const. При данном… Отношение равно тангенсу угла, образованного секущей RР с положительным… Итак, частная производная численно равна тангенсу угла

Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.

Так, частные производных второго обозначаются следующим образом: или ; или ; или ; или ;.

Дифференциал функции двух переменных

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначение: , где c -… После получения первообразной от переменной t необходимо вернуться к старой…  

Способ. Тригонометрическая подстановка.

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.    

Способ. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:   где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла и его свойства

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).    

Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)

 

Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.

 

Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.

 

Определение: Окрестностью точкиМ₀(х₀, у₀) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

 

Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М₀(х₀, у₀), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие

 

также верно и условие .

Записывают:

 

Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.

 

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрывафункции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М₀(х₀, у₀).

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен f( x₀, y₀).

 

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x₀, y₀, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x₀, y₀, …) ³ f(x, y, …)

а также точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₀₁, y₀₁, …) £ f(x, y, …)

тогда f(x₀, y₀, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x₀₁, y₀₁, …) = m – наименьшее значениефункции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

 

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î [m, M] существует точка

N₀(x₀, y₀, …) такая, что f(x₀, y₀, …) = m.

 

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

 

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

 

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х₁, y₁) и (х₂, у₂) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство

 

 

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

 

Формула Тейлора.

Тейлор (1685-1731) – английский математик

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все… 2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.

Функция f(x) = ex.

 

Находим: f(x) = e^x, f(0) = 1

f¢(x) = e^x, f¢(0) = 1

……………………

f⁽ⁿ⁾(x) = e^x, f⁽ⁿ⁾(0) = 1

 

Тогда:

 

 

Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.

 

 

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

 

 

 

На графике показаны значения числа е с точностью в зависимости от числа членов разложения в ряд Тейлора.

Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

 

 

Функция f(x) = sinx.

Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0

f¢(x) = cosx = sin( x + p/2); f¢(0) = 1;

f¢¢(x) = -sinx = sin(x + 2p/2); f¢¢(0) = 0;

f¢¢¢(x) = -cosx = sin(x + 3p/2); f¢¢¢(0)=-1;

…………………………………………

f⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + pn/2); f⁽ⁿ⁾(0) = sin(pn/2);

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = sin(x + (n + 1)p/2); f⁽ⁿ⁺¹⁾(e) = sin(e + (n + 1)p/2);

 

Итого:

 

Функция f(x) = cosx.

 

Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:

 

 

 

 

Функция f(x) = (1 + x)a.

(a - действительное число)

 

 

 

…………………………………………………..

 

 

Тогда:

 

 

 

Если в полученной формуле принять a = n, где n- натуральное число и f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0, то R_n+1 = 0, тогда

 

 

 

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

 

Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.

 

 

 

Рис. 1. Два члена разложения

 

 

 

 

Рис. 2. Четыре члена разложения

 

 

 

 

 

Рис. 3. Шесть членов разложения

 

 

 

 

Рис. 4. Десять членов разложения

Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.

 

Для примера вычислим значение sin20⁰.

Предварительно переведем угол 20⁰ в радианы: 20⁰ = p/9.

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

 

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

 

 

На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.

Выше говорилось, что при х®0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx @ x.

 

Пример: Вычислить sin28⁰13¢15¢¢.

 

Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

 

1⁰ = ; 28⁰ ;

1¢ ; ;

; ;

 

рад

 

Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим: sinx = .

Сравнивая полученный результат с более точным значением синуса этого угла,

 

sin = 0,472869017612759812,

видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

 

 

Функция f(x) = ln(1 + x).

Получаем: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f¢(x) = ;

 

 

………………………………………

 

 

Итого:

 

 

 

 

Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

 

ln1,5 = 0,405465108108164381

 

 

 

Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.

Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Дифференциал функции y = f(x) зависит от Dх и является главной частью приращения Dх.

Также можно воспользоваться формулой

 

 

Тогда абсолютная погрешность

 

Относительная погрешность

 

 

Более подробно применение дифференциала к приближенным вычислениям будет описано ниже.

 

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая производит разложение любой функции в ряды Тейлора и Маклорена, а также вычисляет значение функции в заданной точке, выводит погрешность вычислений.

 

Дифференциальные уравнения

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной,… Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок… Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале…

Задание для самостоятельной работы

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(1)=0. Выполнить проверку.

Числовые ряды

Основные определения и понятия.

Приведем пример числовой последовательности: . Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида В качестве примера числового ряда можно привести сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем…

Суммой сходящегося числового ряда.

Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида . В этом случае n–ая частичная сумма может быть вычислена как . Предел… Сумма вида называется гармоническим числовым рядом. Сумма вида где – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом.

Сходимость числовых положительных рядов

Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. Так, рассмотрим необходимое условие… Определение. Если числовой ряд сходится, то предел его n-ого члена равен… Почему признак называется необходимым? Потому-что, если общий член ряда стремится кнулю, то мы уже знаем на примере…

Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.

Во первых отметим, что для сходимости знакоположительного числового ряда ряд необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм… Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении…  

Первый признак сравнения рядов.

для всех n = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость . Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень… Пример.1

Второй признак сравнения.

Пусть и - два знакоположительных числовых. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если ,, то из расходимости числового ряда следует расходимость .

Следствие.

Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда возьмем сходящийся ряд . Найдем предел отношения n-ых… Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда следует сходимость исходного ряда.

Третий признак сравнения.

  Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение… ,=q, то: - ряд сходится в случае при q<1, - ряд расходится в случае q>1. В случаях, когда предел не существует…

Решение примеров

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Найдём предел отношение члена ряда к :

Так как значение предела больше единицы, то следует, что исходный ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера.

Решение.

Найдём предел отношение члена ряда к :

= = . Так как значение предела меньше единицы значит ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Составим предел отношение = после сокращения останется выражение = .

Имеем 0 Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Составим формулу признака сходимости Даламбера:q= =

n

= = = == т.е. q>1. Следовательно, исходный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда: .

Решение.

Запишем формулу Даламбера достаточное условие сходимости знакоположительного ряда:

q= после сокращения и перехода к предельному значению n , получим q=

Ответ: Исходный ряд сходится.

 

Задание для самостоятельной работы

Следовать сходимость ряда, используя общий член ряда и признак Даламбера сходимости рядов:

1. Ответ: q=5 , ряд расходится

2. Ответ: q= , ряд сходится

3. Ответ: q=3 , ряд расходится

4. Ответ: q= , ряд сходится

5. Ответ: q= , ряд расходится

6. Ответ: q=49 , ряд расходится

7. Ответ: q=0 , ряд сходится

Радикальный признак Коши.

Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или… Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным…

Интегральный признак Коши.

y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале [a; + , где ). Тогда в случае… При проверке убывания функции y = f(x) на интервале [a; + , может пригодится… Пример 1.

Понятие функционального. Степенной ряда

Функциональный же ряд состоит из функций: = В общий член ряда j, обязательно входит переменная, которая может обозначаться привычной для математики « х-икс»…

Сходимость степенного ряда.

Для любого степенного ряда возможны три случая: 1) Степенной ряд сходится абсолютно на некотором интервале . Иными словами,… Радиус сходимости, если совсем просто, это половина длины интервала сходимости: R= 2) Степенной ряд сходится…

Исследование степенного ряда на cходимость

Алгоритм решения довольно прост. На первом этапе находим интервал сходимости ряда. Почти всегда необходимо… Пример 1. Найти область сходимости ряда:

Вычисление области и радиуса сходимости степенного ряда.

Пример 2. Решение. Будем исследовать ряд на абсолютную сходимость, используя критерий… = Для сходимости потребуем: . Тогда распиcав модуль, получим: -3 . Значит область сходимости ряда: (-3; 5),…

Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.

= (1) при условии, что значения функции f(x) и многочлена и их производные всех… Тогда функцию f(x) можно представить как разложение по степеням (х- в виде ряда:

Доказательство.

Так, предположим, что х= . Получим f( Тогда из уравнения (1) следует, что Значит f( Теперь дифференцируем f(x) и . (4)