Исследование функций - раздел Математика, Математический анализ. Функции План Полного Исследования Функции:
1. Элементарное ...
План полного исследования функции:
1. Элементарное исследование: - найти область определения и область значений; - выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность; - найти точки пересечения с осями координат; - определить участки знакопостоянства. 2. Асимптоты: - найти вертикальные асимптоты , если - найти наклонные асимптоты: y=kx+b, Если k=0, b - любое число, то y=b – горизонтальные асимптоты. 3. Исследование с помощью y’ - найти критические точки, те. точки в которых или не существует; - определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ; - определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума. 4. Исследование с помощью : - найти точки, в которых или не существует; - найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых и вогнутости – ; - найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак. 5. Построение графика функции. Рекомендации по применению плана исследования функции: 1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения. 2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках. 3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.). 4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.
, то естьпри дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.
Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.***************************
Примеры исследования функции:
20.
1)
2) Функция нечетная: . 3) Асимптоты. x-1, x+1 – вертикальные асимптоты, т.к.
Наклонная асимптота y=x
=
– точка перегиба.
Схематичный график данной функции:
21. 1) 2) Функция нечетная:
3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет. Наклонные:
наклонные асимптоты
4) < 0 – функция убывает на каждом из промежутков. Схематичный график данной функции:
2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой: 1. Найти производную функции . 2. Найти критические точки функции, в которых или не существует. 3. Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее и наименьшее . Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке. 25. на промежутке 1) 2) – критические точки 3) , – –
26. на промежутке .
Прозbводная не существует при , но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция убывает на промежутке , значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение . 7 8 9 ... 13
Задание для самостоятельной работы Исследовать функцию на экстремумы. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . Задача 16. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в данной замкнутой области. 1. Z= в прямоугольнике 2. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 3. в прямоугольнике
4. в области, ограниченной параболой и осью абсцисс. 5. в квадрате 6. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 7. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 8. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 9. в области, ограниченной параболой и осью абсцисс. 10. в области, ограниченной параболой и осью абсцисс.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Исследование функций
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Ванин Ю.П.
Математический анализ в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Новороссийск, НФ МГЭИ, 2013. – 130 с.
Пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций
Общие свойства
В математическом анализе исходят из определения функции по Лобачевскому и Дирихле. Если каждому числу х из некоторого множества F чисел в силу какого-либо. закона приведено в соответствие число
Непрерывность функции
Непрерывные функции.Важный класс функций, изучаемых в М. а., образуют непрерывные функции. Одно из возможных определений этого понятия:
функция y=f(x) от одного
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Установленное приближенное равенство позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
Запишем приближенное равенство более подробно.
Так как , a d
Правило Лопиталя для нахождения предела функции.
1. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном с
Производные высших порядков
Производная второго порядка функции Производная второго порядка функции : Пример 1. а) Найти производную второго порядка функции У= Решение. Найдем сначала произво
Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Фун
Астные производные.
Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение Тогда z получит приращен
Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.
Как уже отмечали, что производные называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на нек
Способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида подстановкой или
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
Пример:
Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
где P(x) – многочлен, n – натуральное число.
Причем интегралы II и III типов могут быть
Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до
Дифференциальные уравнения
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметра
Основные определения и понятия.
Пусть мы имеем числовую последовательность где
Приведем пример числовой последовательности: .
Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида
Суммой сходящегося числового ряда.
В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица1+2+4+….+ определяется выражением ,
Еще одним примером расходящегос
Сходимость числовых положительных рядов
Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. На практике в подавляющем большинстве примеров сумму ряда находить не требуется
Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.
При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно необходимо использовать вычисление пределов.
Во первых отметим, что для сходимости знакополо
Первый признак сравнения рядов.
Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство
для всех n = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расхо
Следствие.
Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.
Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда
Третий признак сравнения.
Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .
Радикальный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.
Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен,
Интегральный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента
y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на
Понятие функционального. Степенной ряда
Функциональный же ряд состоит из функций:
=
В общий член ряда j, обязательно входит переменная, которая может обозначаться привычной для математики « х-икс» или «z
Сходимость степенного ряда.
Одной из особенностей степенных рядов является то, что их сходимость зависит от значения х. Так, например, для ряда при значениях х=1 или х ряды являются расходящимся. В тоже время при х ряд предст
Исследование степенного ряда на cходимость
Задание часто формулируют примерно так : Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Алгоритм решения довольно прост.
Доказательство.
Пусть имеется функция f(x) . Необходимо представить функцию f(x) многочленом вида (1), которые удовлетворяют условию теоремы, т.е. имеют производные n- го порядка и их значения совпадают в т
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов