Тейлор (1685-1731) – английский математик - раздел Математика, Математический анализ. Функции
Теорема Тейлора. 1) Пусть Функция ...
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.
2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.
Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:
- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.
(1)
Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.
Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:
(2)
Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:
(3)
Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:
…………………….
Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:
Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)
Теорема доказана.
Рассмотрим подробнее величину Rn+1(x).
y Как видно на рисунке, в
точке х = а значение мно-
f(x) Rn+1(x) гочлена в точности совпа-
дает со значением функции.
Pn(x) Однако, при удалении от точ-
ки х = а расхождение значе- ний увеличивается.
0 a x x
Иногда используется другая запись для Rn+1(x). Т.к. точка eÎ(a, x), то найдется такое число q из интервала 0 < q < 1, что e = a + q(x – a).
Тогда можно записать:
Тогда, если принять a = x0, x – a = Dx, x = x0 + Dx, формулу Тейлора можно записать в виде:
где 0 < q < 1
Если принять n =0, получим: f(x0 + Dx) – f(x0) = f¢(x0 + qDx)×Dx – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).
Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.
При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.
Формула Маклорена.
Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.
Формулой Маклоренаназывается формула Тейлора при а = 0:
Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.
Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.
Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.
Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.
Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при х®а, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т.е.
.
Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.
Представление некоторых элементарных функций
по формуле Тейлора.
Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.
Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.
Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Тейлор (1685-1731) – английский математик
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Ванин Ю.П.
Математический анализ в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Новороссийск, НФ МГЭИ, 2013. – 130 с.
Пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций
Общие свойства
В математическом анализе исходят из определения функции по Лобачевскому и Дирихле. Если каждому числу х из некоторого множества F чисел в силу какого-либо. закона приведено в соответствие число
Непрерывность функции
Непрерывные функции.Важный класс функций, изучаемых в М. а., образуют непрерывные функции. Одно из возможных определений этого понятия:
функция y=f(x) от одного
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Установленное приближенное равенство позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
Запишем приближенное равенство более подробно.
Так как , a d
Правило Лопиталя для нахождения предела функции.
1. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном с
Производные высших порядков
Производная второго порядка функции Производная второго порядка функции : Пример 1. а) Найти производную второго порядка функции У= Решение. Найдем сначала произво
Исследование функций
План полного исследования функции:
1. Элементарное исследование: - найти область определения и область значений; - выяснить общие свойства: четность (нечетность),
Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Фун
Астные производные.
Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение Тогда z получит приращен
Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.
Как уже отмечали, что производные называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на нек
Способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида подстановкой или
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
Пример:
Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
где P(x) – многочлен, n – натуральное число.
Причем интегралы II и III типов могут быть
Дифференциальные уравнения
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметра
Основные определения и понятия.
Пусть мы имеем числовую последовательность где
Приведем пример числовой последовательности: .
Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида
Суммой сходящегося числового ряда.
В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица1+2+4+….+ определяется выражением ,
Еще одним примером расходящегос
Сходимость числовых положительных рядов
Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. На практике в подавляющем большинстве примеров сумму ряда находить не требуется
Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.
При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно необходимо использовать вычисление пределов.
Во первых отметим, что для сходимости знакополо
Первый признак сравнения рядов.
Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство
для всех n = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расхо
Следствие.
Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.
Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда
Третий признак сравнения.
Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .
Радикальный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.
Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен,
Интегральный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента
y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на
Понятие функционального. Степенной ряда
Функциональный же ряд состоит из функций:
=
В общий член ряда j, обязательно входит переменная, которая может обозначаться привычной для математики « х-икс» или «z
Сходимость степенного ряда.
Одной из особенностей степенных рядов является то, что их сходимость зависит от значения х. Так, например, для ряда при значениях х=1 или х ряды являются расходящимся. В тоже время при х ряд предст
Исследование степенного ряда на cходимость
Задание часто формулируют примерно так : Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Алгоритм решения довольно прост.
Доказательство.
Пусть имеется функция f(x) . Необходимо представить функцию f(x) многочленом вида (1), которые удовлетворяют условию теоремы, т.е. имеют производные n- го порядка и их значения совпадают в т
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов