Суммой сходящегося числового ряда. - раздел Математика, Математический анализ. Функции В Качестве Примера Расходящегося Ряда Можно Привести Сумму Геометрической Про...
В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица1+2+4+….+ определяется выражением ,
Еще одним примером расходящегося числового ряда является сумма вида . В этом случае n–ая частичная сумма может быть вычислена как . Предел частичных сумм бесконечен .
Сумма вида называется гармоническим числовым рядом.
Сумма вида где – некоторое действительное число, называется обобщенно гармоническим числовым рядом.
Приведенных определений достаточно для обоснования следующих очень часто используемых утверждений, рекомендуем их запомнить.
Докажем, что гармонический ряд расходится.
Запишем гармонический ряд в развернутом виде:
и наряду с ним рассмотрим ряд с меньшими членами, который получен из гармонического заменой на ; , , на ; , , …, на и т.д.
Ясно, что члены этого ряда уменьшились по сравнению с гармоническим рядом, а это дает нам возможность найти частичные суммы этого ряда либо доказать, что ряд расходится. Действитель-но, получен ряд вида:
1+ + + и.т.д., сложив в этом ряде выделенные группы, получим бесконечный ряд из сумм . Значит ряд расходится.
Обобщенный гармонический ряд сходится при > 1 и расходится при .
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Суммой сходящегося числового ряда.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Ванин Ю.П.
Математический анализ в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Новороссийск, НФ МГЭИ, 2013. – 130 с.
Пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций
Общие свойства
В математическом анализе исходят из определения функции по Лобачевскому и Дирихле. Если каждому числу х из некоторого множества F чисел в силу какого-либо. закона приведено в соответствие число
Непрерывность функции
Непрерывные функции.Важный класс функций, изучаемых в М. а., образуют непрерывные функции. Одно из возможных определений этого понятия:
функция y=f(x) от одного
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Установленное приближенное равенство позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
Запишем приближенное равенство более подробно.
Так как , a d
Правило Лопиталя для нахождения предела функции.
1. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном с
Производные высших порядков
Производная второго порядка функции Производная второго порядка функции : Пример 1. а) Найти производную второго порядка функции У= Решение. Найдем сначала произво
Исследование функций
План полного исследования функции:
1. Элементарное исследование: - найти область определения и область значений; - выяснить общие свойства: четность (нечетность),
Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Фун
Астные производные.
Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение Тогда z получит приращен
Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.
Как уже отмечали, что производные называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на нек
Способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида подстановкой или
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
Пример:
Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
где P(x) – многочлен, n – натуральное число.
Причем интегралы II и III типов могут быть
Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до
Дифференциальные уравнения
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметра
Основные определения и понятия.
Пусть мы имеем числовую последовательность где
Приведем пример числовой последовательности: .
Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида
Сходимость числовых положительных рядов
Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. На практике в подавляющем большинстве примеров сумму ряда находить не требуется
Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.
При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно необходимо использовать вычисление пределов.
Во первых отметим, что для сходимости знакополо
Первый признак сравнения рядов.
Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство
для всех n = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расхо
Следствие.
Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.
Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда
Третий признак сравнения.
Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .
Радикальный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится.
Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен,
Интегральный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента
y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на
Понятие функционального. Степенной ряда
Функциональный же ряд состоит из функций:
=
В общий член ряда j, обязательно входит переменная, которая может обозначаться привычной для математики « х-икс» или «z
Сходимость степенного ряда.
Одной из особенностей степенных рядов является то, что их сходимость зависит от значения х. Так, например, для ряда при значениях х=1 или х ряды являются расходящимся. В тоже время при х ряд предст
Исследование степенного ряда на cходимость
Задание часто формулируют примерно так : Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала.
Алгоритм решения довольно прост.
Доказательство.
Пусть имеется функция f(x) . Необходимо представить функцию f(x) многочленом вида (1), которые удовлетворяют условию теоремы, т.е. имеют производные n- го порядка и их значения совпадают в т
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов