рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Общие свойства

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Общие свойства

Общие свойства - раздел Математика, Математический анализ. Функции В Математическом Анализе Исходят Из Определения Функции По Лобачевскому И Дир...

В математическом анализе исходят из определения функции по Лобачевскому и Дирихле. Если каждому числу х из некоторого множества F чисел в силу какого-либо. закона приведено в соответствие число у, то этим определена функция от одного переменного х и в общем записывается y=f(x).».

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

Аналогично определяется функция, зависящая от нескольких переменных y=f(x)=f( ,

где х= (х ₁, ..., х _п) - точка n-мерного пространства; рассматривают также функции от точек

x=(x₁, х₂,...) некоторого бесконечномерного пространства, которые, впрочем, чаще называют функционалами.

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной х поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.
Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:
1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы);
2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы);
3. описательный способ (функция задается словесным описанием);
4. графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
1 Нули функции
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .
2. Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
3 Возрастание (убывание) функции.

Возрастающаяв некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функцияу = f (x)называется возрастающейна интервале (а; b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁< x₂ , справедливо неравенство f(x₁)<f(x₂).

Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Функция у =f (x)называется убывающейна интервале (а; b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁< x₂, справедливо неравенство f(x₁)>f(x₂).

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математический анализ. Функции

Новороссийск УДК ББК вбя...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Общие свойства

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Ванин Ю.П.
Математический анализ в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. Новороссийск, НФ МГЭИ, 2013. – 130 с. Пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций

I. Числовая последовательность, предел последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента
(выбор знака перед корнем зависит от того, в какой четверти находится угол ) Через sinx: Через cosx:

Преобразование степеней синуса и косинуса
Знаки тригонометрических функций Некоторые значения тригонометричес

Непрерывность функции
Непрерывные функции.Важный класс функций, изучаемых в М. а., образуют непрерывные функции. Одно из возможных определений этого понятия: функция y=f(x) от одного

Определение производной
Производная Здесь в логарифм вложена функция синус. Поэтом в начале

Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Установленное приближенное равенство позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции. Запишем приближенное равенство более подробно. Так как , a d

Правило Лопиталя для нахождения предела функции.
1. Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном с

Производные высших порядков
Производная второго порядка функции Производная второго порядка функции : Пример 1. а) Найти производную второго порядка функции У= Решение. Найдем сначала произво

Исследование функций
План полного исследования функции: 1. Элементарное исследование: - найти область определения и область значений; - выяснить общие свойства: четность (нечетность),

Точки экстремума.
Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Фун

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.
Пусть в точке х = х1 f¢(x1) = 0 и f¢¢(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

Астные производные.
Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение Тогда z получит приращен

Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных
Пусть уравнение z=f(x,y) –это уравнение поверхности. Проведем плоскость x=const. L- линия пересечения поверхности с плоскостью x=const. При дан

Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.
Как уже отмечали, что производные называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на нек

Дифференциал функции двух переменных
Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные x(х0,у

Способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost. Пример:

Способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов: где P(x) – многочлен, n – натуральное число. Причем интегралы II и III типов могут быть

Понятие определенного интеграла и его свойства
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). y M m

Тейлор (1685-1731) – английский математик
Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до

Дифференциальные уравнения
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметра

Основные определения и понятия.
Пусть мы имеем числовую последовательность где Приведем пример числовой последовательности: . Числовой ряд – это сумма членов числовой последовательности вида

Суммой сходящегося числового ряда.
В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица1+2+4+….+ определяется выражением , Еще одним примером расходящегос

Сходимость числовых положительных рядов
Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. На практике в подавляющем большинстве примеров сумму ряда находить не требуется

Достаточные признаки сходимости знакоположительного ряда.
При использовании достаточных признаков для исследования числовых рядов на сходимость постоянно необходимо использовать вычисление пределов. Во первых отметим, что для сходимости знакополо

Первый признак сравнения рядов.
Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех n = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расхо

Следствие.
Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость. Исследуем ряд на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда

Третий признак сравнения.
Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .

Радикальный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен,

Интегральный признак Коши.
Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на

Понятие функционального. Степенной ряда
Функциональный же ряд состоит из функций: = В общий член ряда j, обязательно входит переменная, которая может обозначаться привычной для математики « х-икс» или «z

Сходимость степенного ряда.
Одной из особенностей степенных рядов является то, что их сходимость зависит от значения х. Так, например, для ряда при значениях х=1 или х ряды являются расходящимся. В тоже время при х ряд предст

Исследование степенного ряда на cходимость
Задание часто формулируют примерно так : Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала. Алгоритм решения довольно прост.

Вычисление области и радиуса сходимости степенного ряда.
Для нахождения радиуса сходимости. как уже отмечалось, обычно используют признаки Коши или Даламбера). Пример 2. Решение. Будем исследовать ряд на абсолютную сходимо

Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена.
Теорема. Если функция f(x) n раз дифференцируема в некоторой точке , то её можно разложить в окрестности этой точки в степенной ряд (многочлен n- ой степени) вида:

Доказательство.
Пусть имеется функция f(x) . Необходимо представить функцию f(x) многочленом вида (1), которые удовлетворяют условию теоремы, т.е. имеют производные n- го порядка и их значения совпадают в т