Метод Жордана—Гаусса

Применяется для решения как неоднородных, так и однородных систем с произвольным числом уравнений m и произвольным числом неизвестных n. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы системы (А½В) исходную систему (4) преобразуют в равносильную, которая позволяет решить вопрос о совместности системы, и, если она совместна, записать её решение. Преобразования проводятся по следующей схеме, которая называется схемой Жордановых исключений:

1) выбираем любой элемент матрицы А, отличный от нуля. Он называется разрешающим элементом. Пусть это a_rs, тогда r-я строка называется разрешающей строкой, а s-й столбец называется разрешающим столбцом;

2) элементы разрешающей строки (r-й) оставляем без изменения;

3) элементы разрешающего столбца (s-го), кроме разрешающего элемента a_rs, заменяем нулями;

 

4) остальные элементы матрицы (А/В) пересчитываем по формуле:

(7)

По этому же правилу преобразуются и элементы столбца В, кроме b_r. В результате матрица (А½В) преобразуется в эквивалентную матрицу А¢,
в которой снова выбираем разрешающий элемент. Это любой элемент матрицы А¢ и расположенный в строке и столбце, которые ещё не были разрешающими. Схему преобразований 1—4 повторяем до тех пор, пока все строки (или столбцы) матрицы А не будут использованы как разрешающие.

Если при преобразованиях появляется строка, полностью состоящая из нулей, то её можно отбросить.

Если при преобразованиях появляется строка, соответствующая противоречивому уравнению вида:

0·х₁+ 0·х₂ + … + 0·х_n = b_i, где

то процесс преобразований на этом прекращают, так как система уравнений несовместна.

Пример 2. Дана система уравнений А·Х = В, где

Решить систему тремя методами:

а) по формулам Крамера;

б) матричным методом;

в) методом Жордана—Гаусса.

Решение. Согласно условиям задания имеем:

Систему линейных алгебраических уравнений А·Х = В запишем в координатной форме: