Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим однородную систему уравнений:

Такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение

Однако, при определенных условиях она может иметь и ненулевое решение.

Теорема (критерий ненулевого решения однородной системы уравнений). Для того, чтобы однородная система уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Будем рассматривать ненулевые решения системы как столбцы, состоящие из n элементов; обозначим их

Линейно независимая система решений называется фундаментальной системой решений, если любое другое решение является линейной комбинацией решений

Теорема. Если ранг r матрицы системы однородных уравнений меньше числа неизвестных n, то эта система имеет фундаментальную систему решений, которая состоит из n–r линейно независимых решений исходной системы.

Общее решение однородной системы уравнений имеет вид:

(10)

где — произвольные числа.

Решение системы, полученное из общего при фиксированных значениях , называется частным.

Пример 4. 1) Считая матрицу С_4×5 матрицей однородной системы С·Х = 0, найти:

а) фундаментальную систему решений;

б) общее решение;

в) какое-нибудь частное решение.

Решение. Исходная система уравнений имеет вид:

Преобразования матрицы системы оформим в виде таблицы (табл.).

 

С	S	Примечания
		Умножим вторую строку на –1
		Разрешающий элемент а22=1. Разрешающую строку (вторую) оставляем без изменений. Все элементы разрешающего столбца (второго), кроме а22, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7)
		Умножим первую строку на –1, а четвёртую строку на 1/2
		Разрешающий элемент а13=1. Разрешающую строку (первую) оставляем без изменений. Все элементы разрешающего столбца (третьего), кроме а13, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7)

 

Окончание таблицы

Преобразование закончено. Получены две строки из нулей, все остальные строки преобразованы

а) Из табл. 4 следует, что ранг матрицы С равен r(C)=2, так как есть миноры второго порядка, отличные от нуля, например а любые миноры третьего и четвёртого порядков равны нулю.

Переменные системы х₂, х₃, соответствующие базисному минору матрицы А называются базисными переменными, остальные х₁, х₄, х₅ — свободными.

Система, равносильная исходной, имеет вид:

Оставляя слева базисные переменные х₂ и х₃, соответствующие линейно независимым столбцам матрицы А, и перенося в правую часть уравнений неизвестные х₁, х₄, х₅, получаем:

б) Полагая свободные переменные равными произвольным константам х₁= с₁, х₄= с₄, х₅ =с₅, получаем общее решение системы в виде:

Фундаментальную систему решений образуют три линейно независимых частных решения. Получим эти решения, задавая системе констант (с₁, с₄, с₅) линейно независимые значения, например, (1; 0; 0), (0; 1; 0),
(0; 0; 1). Вычисления занесем в таблицу (табл.).

 

х1	х2	х3	х4	х5
	–10	–8

Итак, фундаментальную систему составляют три линейно независимых решения:

Общее решение однородной системы, согласно (10), имеет вид:

где с₁, с₂, с₃ — произвольные константы.

в) Частное решение можно получить из общего решения, придавая определённые значения произвольным постоянным. Решения образующие фундаментальную систему решений, являются частными решениями этой однородной системы.

2) Считая матрицу С_4×5 расширенной матрицей неоднородной системы С^*Х = С^**, где С = (С^*½С^**), решить эту систему, предварительно исследовав её на совместность по теореме Кронекера—Капелли.

Решение. Неоднородная система С^*Х = С^** имеет вид:

Чтобы исследовать систему на совместность по теореме Кронекера—Капелли, нужно проверить равенство r(С^*)=r(С^*½С^**). Из табл. следует,
что r (С^*) = r (С^*½С^**)=2, значит система совместна.

Так как ранг матрицы меньше числа неизвестных n = 4, то система является неопределенной. Множество всех решений неоднородной системы получим, решив равносильную ей систему, полученную методом Жор-дана—Гаусса:

Базисные переменные х₂, х₃ выразим через свободные переменные х₁, х₄:

Полагая свободные переменные равными произвольным постоянным х₁= с₁, х₄= с₄, находим общее решение неоднородной системы в виде:

Элементы векторной алгебры в R₃

Трехмерное векторное пространство R₃ есть частный случай R_n при
n = 3. Декартов прямоугольный базис в R₃ образуют три единичных, взаимно перпендикулярных вектора

Совокупность начала координат (точки О) и декартова прямоугольного базиса называется декартовой прямоугольной системой координат Oxyz.

Согласно формуле (9) любой вектор в R₃ можно разложить единственным образом по т. е. представить в виде:

где а_х — координата вектора по оси ОХ;

а_у — координата вектора по оси ОY;

а_z — координата вектора по оси ОZ.

Наряду с аналитическим заданием вектора как упорядоченной тройки чисел в R₃ рассматривают вектор как направленный отрезок, имеющий начало и конец. Конец вектора отмечается стрелкой.

А — начало вектора,

В — конец вектора.

Длина отрезка АВ называется модулем вектора и обозначается или .

Если известны координаты вектора то модуль вектора вычисляется по формуле:

(10)

Радиусом-вектором точки в декартовой прямоугольной системе координат называется вектор, начало которого расположено в начале координат, а конец в данной точке А, т. е. вектор

Координатами точки А называются координаты её радиуса-вектора. Если то координаты точки А.

Пусть вектор причём заданы координаты точек А и В: и Тогда координаты вектора равны разности одноимённых координат конца и начала:

(11)

Из (10) и (11) следует формула для расстояния между двумя точками А и В:

(12)

Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), обозначаемое , равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

(13)

где j — угол между векторами и .

В декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

(14)

— координаты вектора ;

— координаты вектора .

Из (13) и (14) получается формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

(15)

Векторы и называются ортогональными (обозначаются если угол j между ними равен прямому, т. е. cosj = 0. Условие ортогональности векторов:

(16)

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если
из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора
ко второму виден происходящим против часовой стрелки и называется левой, если такой поворот происходит по часовой стрелке.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой что:

1) т. е. перпендикулярен плоскости векторов и

2) направлен так, что тройка — правая;

3) модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т. е.

(17)

Если то для векторного произведения справедлива формула:

(18)

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число (обозначаемое ()), равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий:

Смешанное произведение векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда , построенного на этих векторах как на сторонах, т. е.

(19)

Если то справедлива формула:

(20)

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. Условие коллинеарности векторов и :

1) в векторной форме где l — скаляр;

2) в координатной форме (21)

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях. Условие компланарности трёх векторов :

1) в векторной форме: где l, m — числа;

2) в координатной форме: (22)

Пример 5. Даны координаты вершин треугольной пирамиды:
А₁ (–1, 0, 1), А₂ (2, 3, 1), А₃ (0, –2, 2), А₄ (1, –1, 5).

Требуется найти:

а) длины рёбер А₁А₂ и А₁А₃;

б) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₃;

j

в) площадь грани А₁А₂А₃;

Рис. 1

г) объём пирамиды А₁А₂А₃ А₄.

 

 

а) Используем формулы (11) и (12).

Определим координаты векторов:

Ребро

б) Угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А₃ рассматриваем как угол между векторами и

По формуле (15) для косинуса угла между двумя векторами получим:

в) Грань А₁А₂А₃ есть треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмма А₁А₂А₆А₃, построенного на векторах
и . По формуле (17):

Вычислим векторное произведение векторов и по формуле (18):

г) Объём треугольной пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда , построенного на векторах , , как на сторонах. Из свойств смешанного произведения следует, что:

и следовательно,

Определим координаты вектора

По формуле (20) имеем

Элементы аналитической геометрии в R₃

Направляющим вектором прямой называется любой вектор , лежащий на этой прямой или ей параллельной и отличный от нуль-вектора, т. е. и

М (х, у, z)

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ с данным направляющим вектором , имеет вид:

(23)

где (x, y, z) — координаты текущей точки прямой; (x₀, y₀, z₀) — координаты данной точки на прямой; (m, n, p) — координаты направляющего вектора прямой.

Если на прямой заданы две точки М₁(x₁, y₁, z₁) и М₂(x₂, y₂, z₂), то в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор :

Рассматривая в качестве данной точки точку М₁ и используя уравнение (23), получим уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

(24)

Пусть прямая l₁ имеет направляющий вектор и прямая l₂ — направляющий вектор .

Угол j между прямыми l₁ и l₂ определяется как угол между их направляющими векторами и , по формуле (15) получаем:

, если т. е. по условию коллинеарности (21)

Критерий перпендикулярности прямых <=> Тогда по условию ортогональности векторов (16)

Нормальным вектором плоскости (П) называется любой вектор , перпендикулярный к плоскости и отличный от нуль-вектора:
и

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₀ плоскости и имеющей данный нормальный вектор , имеет вид:

(25)

где А, В, С — координаты нормального вектора ;

x₀, y₀, z₀ — координаты данной точки плоскости;

x, y, z — координаты текущей точки плоскости.

Если в уравнении (25) раскрыть скобки, то его можно записать в виде

(26)

Уравнение (26) называется общим уравнением плоскости.

Три точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂) и М₃(x₃, y₃, z₃) (не лежащие на одной прямой) определяют плос­кость в R₃. Уравнение такой плоскости можно получить из условия компланарности (22) трёх векторов:

(27)

Здесь x, y, z — координаты текущей точки М;

x₁, y₁, z₁ — координаты данной точки М₁;

x₂, y₂, z₂ — координаты данной точки М₂;

x₃, y₃, z₃ — координаты данной точки М₃.

Пусть плоскость П задана общим уравнением

Расстояние от точки М₀(x₀, y₀, z₀)
до плоскости П вычисляется по формуле:

(28)

Угол между двумя плоскостями, нормальные векторы которых и , вычисляется по формуле:

(29)

Критерий параллельности плоскостей:

Критерий перпендикулярности плоскостей:

Пример 5. Даны координаты вершин треугольной пирамиды
А₁ (–1, 0, 1), А₂ (2, 3, 1), А₃ (0, –2, 2), А₄ (1, –1, 5). Продолжение задания 5 пункты д—з.

Требуется найти:

д) уравнения прямых А₁А₂ и А₁А₃;

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

ж) угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

з) высоту пирамиды.

Решение:

д) Для нахождения уравнений прямых А₁А₂ и А₁А₃ используем уравнение (24) прямой, проходящей через две точки А₁ (–1, 0, 1) и А₂ (2, 3, 1):

А₁А₂: или

Замечание. Отношение понимаем в том смысле, что и числитель этого отношения равен 0 и значит z = 1 для каждой точки прямой. Это означает, что прямая А₁А₂ параллельна плоскости ОХУ и удалена от этой плоскости на расстояние z = 1.

Уравнение прямой А₁А₂ можно записать в виде:

или как линию пересечения двух плоскостей.

А₁А₃: или

е) уравнения плоскостей А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄ получим, используя уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А₁ (–1, 0, 1),
А₂ (2, 3, 1), А₃ (0, –2, 2) формула (23):

или

Раскладывая определитель по элементам первой строки, получим:

Делим все члены уравнения на 3 и раскрываем скобки:

Окончательно уравнение плоскости А₁А₂А₃ имеет вид:

Аналогично составляем уравнение плоскости А₁А₂А₄.

А₁ (–1, 0, 1), А₂ (2, 3, 1), А₄ (1, –1, 5)

или

А₁А₂А₄:

ж) Чтобы определить угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄ нужно найти их нормальные векторы. Уравнение плоскости А₁А₂А₃ из предыдущей задачи имеет вид

Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты равные коэффициентам при х, у, z в уравнении плоскости,
т. е.

Из уравнения плоскости А₁А₂А₄: определим координаты нормального вектора этой плоскости

Используем формулу (29):

з) Высоту пирамиды (отрезок А₄А₅ (рис. 1)) можно определить как расстояние точки А₄ (1, –1, 5) до плоскости А₁А₂А₃.

А₁А₂А₃:

Точка А₄ (1, –1, 5).

В уравнение плоскости вместо х, у, z подставим координаты А₄ и поделим .