Реферат Курсовая Конспект
БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теорема существования - раздел Математика, Билет 1. Точные Грани Числовых Множеств. Теорема Суще...
|
БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теорема существования.
Точной верхней гранью числового множества () называется число, такое что:
1) S- верхняя граница ().
2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что
>-. (>-)
Точной нижней гранью числового множества () называется число, такое что:
1) S- нижняя граница ().
2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что
+. (+)
Теорема существования: Пусть , , ограниченное сверху (снизу), тогда существует точная верхняя (нижняя) грань.
Замечание: (аксиома непрерывности множества действительных чисел).
Пусть , , и , , причем и : . Тогда
: и .
, , ограничено сверху.
, .
,и ,.
и
1)
2) >-
Предположим противное:
:.
-,
. Получили противоречие.
Аналогично для =.
БИЛЕТ 2. Точные грани числовых множеств. Теорема единственности.
Точной верхней гранью числового множества () называется число, такое что:
1) S- верхняя граница ().
2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что
>-. (>-)
Точной нижней гранью числового множества () называется число, такое что:
1) S- нижняя граница ().
2) Для любого положительного числа в множестве M можно найти число , такое что
+. (+)
Теорема единственности: Если числовое множество не пусто и ограничено сверху (снизу), то у него есть единственная ().
Введем следующие условия:
1) числовое множество ограничено сверху, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .
2) числовое множество ограничено снизу, если можно указать такое число , что для всех чисел из множества .
Доказательство:
Рассмотрим множество , состоящее из всех чисел , таких что для любого числа из множествабудет . Такие числа существуют, так как множество ограничено сверху. В силу непрерывности множества действительных чисел существует такое число , что для любых чисел (из) и (из).
Покажем, что =. По определению , для всех чисел из множествабудет , так что первое условие выполнено. Проверим, что выполнено и второе условие. Предположим, что оно не выполнено, т.е. есть такое положительное число (>0), что для всех чисел из множествабудет . Так как , то число не принадлежит множеству . Но это противоречит определению множества , которое было множеством всех чисел , таких что для любого числа из множествабудет , а мы нашли число , тоже обладающее таким же свойством и не принадлежащее множеству . Полученное противоречие показывает, что для числа выполнено и второе условие из определения верхней грани.
БИЛЕТ 3. Лемма о вложенных отрезках.
Пусть =, =1,2,…, причем …, то есть ,
. Тогда , то есть .
Т.обр.
., то есть
БИЛЕТ 15. Свойства пределов функций, связанные с неравенствами.
Теорема:Пусть и ,
тогда .
Теорема: (Локальн. Огр.): Пусть , тогда
, :
.
.
Возьмем Тогда .
Теорема: Пусть , и
. Тогда
Возьмем произвольный ,
, , причем
.
(по теореме о предельном переходе в
неравенство) .
Теорема: Пусть , и
. Тогда существует .
Возьмем произв. ,
, , причем
сущ. .
Теорема (об отделимости от нуля):Пусть
, : .
Доказательство:
.
Возьмем , тогда
, ,
.
БИЛЕТ 16. Теорема об арифметике пределов функций.
Теорема: Если существуют и , то:
1). .
2). =(- постоянная).
3).*.
4).,
если .
Доказательства:
Доопределив по непрерывности функции и
в точке , положив =и =
(это изменение функций не влияет на их пределы).
В точке будут непрерывны функции ,
, , (так как
=. Поэтому в силу равенства
=получим:
1).=.
2).==
3).=*.
4).=.
БИЛЕТ 17. Разные виды пределов функций.
Связь предела функции в точке и односторонних пределов.
Определение:бесконечно большая при
(), если
.
, если
.
(если же , то ).
Определение:пределы на бесконечности:
, если
.
Если (то (
Если то
Теорема (о связи предела функции в точке
– Конец работы –
Используемые теги: Билет, Точные, грани, числовых, множеств, Теорема, существования0.098
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теорема существования
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов