Реферат Курсовая Конспект
Доказательство. - раздел Математика, БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теорема существования Рассмотрим ...
|
Рассмотрим , , ограничено сверху, так как любое является верхней границей множества в силу вложенности отрезков. .Тогда:
а) - верхняя граница , то есть .
б) - наименьшая из всех границ, то есть.
.
Замечание:Если в условиях леммы хотя бы один из концов исключить, то аналогичная лемма будет не верна.
.
( ] ] ] ]
0 1/3 1/2 1
БИЛЕТ 4. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
Определение:функцию называют числовой последовательностью.
- члены числовой последовательности.
- номер члена числовой последовательности.
или ,
=, -общий член.
Определение: Число называется пределом последовательности (пишут ), если для любого положительного числа (>0) можно указать такое число , зависящее от , что для всех .
Теорема: (о единственности предела): Если -сходящаяся, то предел единственный.
Доказательство:
Пусть , , .
Для определенности имеем:
.
< <
<. <.
Противоречие.
Теорема: (об ограниченности сходящейся последовательности): Если -сходится, то она ограничена.
- сходящаяся : .
Возьмем =1.
Обозначим , тогда
, тогда
Отсюда для обоих случаев
Замечание: обратное не верно.
БИЛЕТ 5. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.
Теорема: (о предельном переходе в неравенство):
Пусть , . . Тогда .
Замечание:
.
Доказательство (от противного):
Пусть .
Возьмем .
Обозначим
.
- противоречие.
Замечание: Если для элементов последовательности выполняется , то отсюда не следует, что . .
=, =, .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Точной верхней гранью числового множества называется число такое что... S верхняя граница Для любого положительного числа в множестве M можно найти число такое что...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доказательство.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов