Реферат Курсовая Конспект
И одностороннего предела). - раздел Математика, БИЛЕТ 1. Точные грани числовых множеств. Теорема существования Следующие Утверждения Эквивалентны: 1) Существует ...
|
Следующие утверждения эквивалентны:
1) существует
2) существует и .
1)2). Пусть , то есть
.
Обозначим , если
, то либо.
.
.
2)1). Возьмем , тогда
.
БИЛЕТ 18. Первый замечательный предел.
Для доказательства возьмем вектор
окружности радиуса 1 с центральным углом,
равным (радиан), и проведем
. Тогда пл. < пл. сект.
< пл. или .
Разделив все части этого неравенства на
> 0, получим
или . Это
неравенство, доказанное для любых из
интервала (0;), верно для любого из
интервала (-;) в силу четности функций,
входящих в это неравенство.
Докажем, что
() при
А раз и , то .
Кроме того: =1
БИЛЕТ 19. Второй замечательный предел.
.
На первый взгляд кажется, что при
имеет пределом единицу (так как 1+
при имеет пределом единицу, а единица
в любой степени есть единица). Но в степень
возводится 1+, а не единица. И вот из-за
этой бесконечно малой добавки предел не равен
единице. Чтобы приблизительно представить себе
поведение функции при малых
приведем таблицу значений этой функции:
1/2 | 1/3 | 1/4 | 0.01 | 0.001 | |
2.25 | 2.37… | 2.44… | 2.7047… | 2.7169… |
Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция
увеличивается. Оказывается, что это имеет место для
всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.
Доказательство:
Рассмотрим этот предел, как предел функции
натурального аргумента на бесконечность. Тогда:
По определению Гейне:
=
=
Вычислим . Рассмотрим
==.
По определению Гейне рассмотрим .
*
То есть ===.
Также ===
=
1
БИЛЕТ 20. Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.
Определение:бесконечно малая функция при , если .
Определение:Пусть и- бесконечно малые функции при . Тогда:
1) иэквивалентны при (~,), если .
2),- бесконечно малые одного порядка малости при , если . 3)- бесконечно малая более высокого порядка малость, чем .
(=(),), если .
4).имеет -й порядок малости относительно при , если .
5). называется ограниченной относительно бесконечно малой функции при , если .
Примеры:
1).при .
2). (, -бесконечные малости одного порядка).
3).()
1 0
4). …
()- 2-й порядок малости относительно при .
5).
- произвольная.
БИЛЕТ 21. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности.
Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.
Теорема (критерий эквивалентности):
Пусть ,-бесконечно малые функции при .
-. Тогда ~при .
Доказательства:
(). Пусть ~, , то есть .
=0,
то есть .
()..,.
=1.
БИЛЕТ 22.Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене на эквивалентные.
Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.
Теорема (о замене на эквивалентные):
Пусть функция ~, ~при и существует , тогда существует и =. То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.
=**=.
1 1
БИЛЕТ 23. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций.
Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .
Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .
Определение 3: Функция непрерывна в точке , если
.
Свойства непрерывных функций:
Теорема 1 (локальная огр.):Пусть функция непрерывна в точке , тогда .
Теорема 2 (отделимость от 0):Пусть функция непрерывна в точке и , тогда
. .
Теорема 3 (арифметика непрерывных функций):Пусть , непрерывны в точке , тогда:
1). непрерывна в точке .
2). непрерывно в точке .
3). Если , то непрерывно в точке .
БИЛЕТ 24. Непрерывность сложной функции.
Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство:
Возьмем число >0. Так как функция непрерывна в точке то можно подобрать такое число , что
для любого , такого, что . (1)
А так как функция непрерывна в точке , то для положительного числаможно подобрать такое число , что
для любого , такого, что . (2)
Возьмем любое число такое, что . Тогда в силу (2)число удовлетворяет неравенству , и поэтому в силу (1). Так как все эти вычисления проведены для любого >0, то непрерывность функции в точке доказана.
БИЛЕТ 25. Классификация разрывов. Примеры.
Определение: -точка разрыва функции , если в точкефункцияне является непрерывной.
Определение: точка-точка устранимого разрыва функции , если существует , но неопределена в точке , либо .
Замечание: Если в точке устранимого разрыва доопределить (переопределить) функцию:
- непрерывна в точке .
Пример:.
, - точка устранимого разрыва .
Если не существует, то -точка неустранимого
разрыва .
Определение: Пусть точка-точка неустранимого разрыва функции , тогда:
1) если существует , то .
2) если, то -точка разрыва функции 1-го рода.
3) если, то -точка разрыва функции 2-го рода.
Примеры:
1). .
,
- точка разрыва 1-го рода.
2). .
,
- точка разрыва 2-го рода.
3).
,
- точка разрыва 2-го рода.
4).
не существует точка - точка разрыва 2-го рода.
, . Точка - точка разрыва 2-го рода.
БИЛЕТ 26. Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема Коши о промежуточном значении.
Определение:непрерывна на , если непрерывна в точке ,
непрерывна на , если непрерывна в точке , и
Существует , .
Теорема:Пусть определена на и , причем . Тогда
.
Пусть , . Используем метод деления отрезка пополам.
Обозначим: , .
Определим
1) =0.
2) < 0, .
3) > 0, и так далее.
.
.
По лемме о вложенных отрезках: , то есть .
непрерывна в точке
.
.
0 ()
.
.
0 ()
Следствие (т. о промежуточном значении непрерывной функции):
Пусть определена на и , , ,
Тогда : .
Пусть для ограничения .
Рассмотрим произвольн. :
непрерывна на .
Из этих двух утверждений следует:
, то есть .
БИЛЕТ 27. Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть . Тогда ограничена на.
Доказательство:
Докажем, что .
Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3…
Получим :
1)
2)
Из этих определений получаем .
=> -подпоследовательность последовательности :
.
-непрерывна в точке => .
-подпоследовательность последовательности : => . Противоречие.
Замечание:Замкнутость по существу. , , но
Не является ограниченной на .
БИЛЕТ 28. Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть . Тогда
Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу.
Доказательство:
По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть .
(<)- верхняя граница. , то есть .
Противоречие.
Следствие: если , то .
КОММЕНТАРИЙ:
Опечаток вроде бы не замечено. Но если встретится запись предела при , то следует понимать это как (не так-то просто (даже в здравом уме) попасть по клавише «X», вместо «Z»).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Точной верхней гранью числового множества называется число такое что... S верхняя граница Для любого положительного числа в множестве M можно найти число такое что...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: И одностороннего предела).
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов