Доказательство: (метод деления пополам).

I). Проведем построение системы отрезков.

ограниченная

.

Рассмотрим точку - середину отрезка .

1) В отрезкесодержится бесконечное

2) число элементов .

Тогда , .

3) В противном случае , ,

4) -содержит бесконечное число

5) элементов .

Рассмотрим точку - середину и так далее.

1.

2. в содержится бесконечное число элементов .

3. .

 

II). Выбор подпоследовательности

 

По лемме о вложенных отрезках:

1) произвольный элемент из

2) элемент из :

………………………………………………….

k) элемент из :

 

Докажем, что .

0 ().

.

БИЛЕТ 13. Критерий Коши сходимости

последовательности.

Теорема (критерий Коши): Числовая

 

последовательность сходится тогда и только

тогда, когда она фундаментальна.

Замечание:Условие необходимости (=>),

условие достаточности (<=), критерий- условие

необходимости и достаточности (<=>).

 

1) Необходимость: (=>).Пусть .

Возьмем произвольный Тогда

.

. Обозначим,

тогда

.

фундаментальна.

2) Достаточность: (<=).

1. фундаментальна => ограниченная

.

Возьмем , , тогда

.

Обозначим .

.

ограничена.

 

2. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

ограниченная => - сходящаяся.

Обозначим

3. Докажем, что

Возьмем произвольный . фундаментальная

=> .

 

Обозначим и выберем

1) k>K

2)

Тогда .

.

То есть

 

 

БИЛЕТ 14. Два определения предела

функции. Эквивалентность определений.

Пусть определена в некоторой выколотой окрестности т.

Определение 1 (Гейне):, если,

,

Замечание:

Определение 2 (Коши):, если

.

.

Замечание: , то есть.

Теорема:Определение 1 <=> Определение 2.

Имеем .

.

Возьмем произвольную ==>

.

Обозначим . Тогда

0<.