Реферат Курсовая Конспект
Таблица основных производных - раздел Математика, Вопросы К Коллоквиуму №1 1. Табли...
|
ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ №1
1. Таблица основных производных.
№ п/п | Функция у | Производная | № п/п | Функция | Производная | |
с | ||||||
х | ||||||
, | ||||||
2. Таблица основных интегралов.
1. . 11. .
2. . 12. .
3. . 13. .
4. . 14. .
5.. 15. .
6. . 16. .
7. . 17. .
8. . 18. .
9. . 19. .
10. . 20. .
3. Понятие криволинейной трапеции, интегральная сумма, определенный интеграл (все графики, формулы и их описание).
Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная графиком функции , осью Ох, прямыми и , называется криволинейной трапецией. Рассмотрим способ определения площади криволинейной трапеции, приводящей к понятию определенного интеграла.
Разобьем отрезок [a,b] точками на участки и обозначим каждый участок и его длину . Внутри каждого выберем точку и обозначим значение функции в этой точке . Составим произведения , которые будут равны площадям прямоугольников с высотой и основанием . Составим сумму этих произведений . Эта величина называется интегральной суммой для функции на [a;b], то есть сумма площадей прямоугольников, то есть приближенное значение площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями). Будем искать предел этой суммы при . Если этот предел существует независимо ни от способов разбиения отрезков на участки, ни от выбора точек , то он называется определенным интегралом и обозначается как , то есть . При этом число называется нижним пределом,число - верхним пределом;функция - подынтегральной функцией,выражение - подынтегральным выражением, а задача о нахождении -интегрированием функциина отрезке [a;b].
4. Необходимое и достаточные условия интегрируемости функции.
Теорема I (необходимое условие интегрируемости функции).
Если функция интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.
В следующих трех теоремах сформулированы достаточные условия интегрируемости.
Теорема IIЕсли функция непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема III Если функция монотонна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.
Теорема IV Если функция ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна во всех точках [a;b], кроме конечного числа точек, в которых она имеет разрыв 1 рода, то эта функция интегрируема на этом отрезке.
Достаточные условия интегрируемости (коротко по Чабану):
1) f(x) непрерывна на [a,b]
2) f(x) непрерывна на [a, b], кроме конечного числа точек разрыва I рода
3) функция монотонна и ограничена
5. Геометрический и экономический смысл определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла.
В случае, когда функция неотрицательна на отрезке [a;b], где a<b, численно равен площади S под кривой на [a;b](рис.1).
Экономический смысл определенного интеграла.
Пусть функция z=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем выпускаемой продукции u, за промежуток времени [0;T] будет равен , где f(t)-производительность труда в момент t.
6. Основные свойства определенного интеграла.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
7. Формула Ньютона – Лейбница.
Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, то есть . Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
При применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции , например, содержащую .
8. Замена переменной в определенном интеграле.
Замена переменных в определенном интеграле выполняется в основном аналогично замене переменных в неопределенном интеграле. Разница заключается в том, что при вычислении определенного интеграла возвращение к исходной переменной после нахождения первообразной не является обязательным. При этом возникает необходимость изменения пределов интегрирования.
Пусть выполняются следующие условия:
1) функция непрерывна на отрезке ;
2) функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке ;
3) 3), ;
4) функция определена и непрерывна на отрезке ,
тогда - формула замены переменной в определенном интеграле.
9. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Если функции и дифференцируемы на отрезке , то - формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
10. Несобственные интегралы первого рода.
Пусть функция определена и непрерывна при . Несобственным интегралом 1-го рода называется , то есть =. Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, иначе интеграл называется расходящимся.
Аналогично определяются интегралы и :
; .
Часто бывает достаточно только оценить сходимость или расходимость несобственного интеграла и оценить его значение.
11. Признак сравнения и следствие из него.
Признак сравнения. Пусть при . Тогда:
1)если интеграл сходится, то сходится и интеграл ;
2)если интеграл расходится, то расходится и интеграл .
Следствие. Пусть , , при любом и существует конечный или бесконечный предел , тогда:
1)если сходится и , то сходится и интеграл ;
2)если расходится и , то расходится и интеграл ;
3)при интегралы и сходятся и расходятся одновременно.
Замечание. При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией , , сходится при и расходится при .
12. Несобственные интегралы второго рода.
Пусть функция определена и непрерывна при и имеет разрыв при , тогда: - несобственный интеграл 2-го рода. Если при этом предел, стоящий справа, существует и конечен, то интеграл сходящийся, иначе расходящийся.
Аналогично определяются несобственные интегралы от функций, имеющей разрыв при : и от функции, разрывной в точке : , если существуют оба интеграла, стоящие в правой части.
Для несобственных интегралов 2-го рода справедливы те же утверждения, что и для несобственных интегралов 1-го рода.
13. Вычисление площадей (формулы и рисунки).
Алгоритм нахождения площади плоской фигуры:
1. Построить чертеж (схематично);
2. Найти пределы интегрирования (при необходимости);
3. Составить формулу для вычисления площади фигуры с помощью определенного интеграла;
4. Вычислить площадь фигуры.
14. Вычисление объемов тел вращения (формулы и рисунки).
Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, образованную прямыми , , осью и функцией .
Требуется найти объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси .
Объем данного тела вычисляется по формуле, содержащей определенный интеграл:
Если криволинейная трапеция прилежит к оси (прямые , , ось и функция ), тогда объем тела также определяется по формуле, содержащей интеграл:
– Конец работы –
Используемые теги: Таблица, основных, производных0.064
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Таблица основных производных
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов