Реферат Курсовая Конспект
Б. Последовательность и ее предел. - раздел Математика, А. Множества и операции над ними. Действительные числа 1. Последовательность, Предел Последовательности. ...
|
1. Последовательность, предел последовательности.
2. Свойства сходящейся последовательности.
|
3. Принцип Коши-Кантора для системы вложенных отрезков.
=
4. Принцип Гейне-Бореля для покрытия отрезка.
Пусть отрезок покрыт бесконечной системой Σ интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов из Σ не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок пополам на два равных отрезка: и . По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из Σ. Обозначим его и повторим для него процедуру деления пополам.
Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из Σ. Но если ξ — точка в которую стягиваются отрезки, то, поскольку ξ лежит на отрезке , она должна входить в некоторый интервал σ системы Σ. Тогда все отрезки последовательности , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом σ. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.
5. Предел подпоследовательности. Частичные пределы. Лемма Больцано-Вейерштрасса.
Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности
, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом.Нижним пределом последовательности (обозначается или ) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом ( или ) — наибольший элемент.
Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал . Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.
Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть — верхняя грань множества частичных пределов. Тогда заметим, что , а это означает, что в любой окрестности точки находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого , мы можем сказать, что в любой окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку ). Значит, по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.
Последовательность сходится к тогда и только тогда, когда , так как получается, что — единственная предельная точка множества элементов последовательности
6. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
7. Монотонные последовательности и их свойства.
Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.
Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.
— неубывающая
Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.
— невозрастающая
Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.
— возрастающая
Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.
— убывающая
Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.
Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.
Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Множества и действия над ними... Множеством именуется некоторая совокупность элементов объединенных по какому либо признаку Если есть такая совокупность разумеется как единое...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Б. Последовательность и ее предел.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов