Б. Последовательность и ее предел.
1. Последовательность, предел последовательности.
2. Свойства сходящейся последовательности.
|
3. Принцип Коши-Кантора для системы вложенных отрезков.
=
4. Принцип Гейне-Бореля для покрытия отрезка.
Пусть отрезок покрыт бесконечной системой Σ интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов из Σ не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок пополам на два равных отрезка: 
и 
. По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из Σ. Обозначим его и повторим для него процедуру деления пополам.
Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из Σ. Но если ξ — точка в которую стягиваются отрезки, то, поскольку ξ лежит на отрезке , она должна входить в некоторый интервал σ системы Σ. Тогда все отрезки последовательности , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом σ. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.
5. Предел подпоследовательности. Частичные пределы. Лемма Больцано-Вейерштрасса.
Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности
, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом.Нижним пределом последовательности (обозначается 
или 
) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом (
или 
) — наибольший элемент.
Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал 
. Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.
Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть 
— верхняя грань множества 
частичных пределов. Тогда заметим, что 
, а это означает, что в любой окрестности точки 
находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого 
, мы можем сказать, что в любой окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку ). Значит, по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.
Последовательность 
сходится к 
тогда и только тогда, когда 
, так как получается, что — единственная предельная точка множества элементов последовательности
6. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
7. Монотонные последовательности и их свойства.
Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.
Последовательность 
элементов множества 
называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.
— неубывающая 
Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.
— невозрастающая 
Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.
— возрастающая 
Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.
— убывающая 
Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.
Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.
Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.