Основные свойства скалярного произведения:
< , > = < , >;
< , + > = < , > + < , >;
< , l > = <l , > = l< , >;
если векторы и ненулевые, то < , > = 0 тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны.
Выражение скалярного произведения через координаты
Лемма 12. Для всевозможных скалярных произведений базисных векторов , и имеем
= = = 1 и = = .
теорема 13. Скалярное произведение двух векторов =(а1;а2;а3) и =(b1;b2;b3) может быть вычислено по формуле
< , > = а1 b1 + а2 b2 + а3 b3
Угол между двумя векторами
Теорема 16. Косинус w между векторами а = (аx;аy;аz) и b = (bx;by;bz) может быть вычислен по формуле
Замечание 4. Если ∙ = 0, то из предыдущей формулы видно, что cosw = 0. Поэтому равенство
= 0
называется условием ортогональности векторов.
13. n-мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависимость и независимость векторов.