Матрицы. Действия над ними

1. Матрицы. Действия над ними.

Опр1. Матрицей A размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из S строк и n столбцов.

- элемент матрицы,

i – номер строки,

j – номер столбца.

Типы матриц:

1. квадратная матрица;

2. нульматрица;

3. ; A – диагональная матрица элементы главной диагонали.

4. единичная матрица.

5.

верхняя треугольная матрица.

6.

нижняя треугольная матрица

Определение2 Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность, тогда

Пусть для , тогда говорят, что матрицы А и В равны: А=В.

 

Определение3 Пусть матрицы А и В имеют одинаковую размерность, тогда суммой матриц А и В называется матрица

С=А+В;

 

Определение4 Пусть , а вещественное число, тогда произведением матрицы А на число называется матрица

 

Свойства линейных операций над матрицами

Перестановочность:

1. А+В=В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С);

Распределительный закон умножения

3.

4.

5.

 

Определение5 Пусть существуют матрицы

С – разность А и В, если можно записать А=В+С; обозначается С=А-В.

Определение6 Пусть матрицы

Матрица называется произведением матриц А и В (обозначается С=АВ), если

 

Определение7 Транспонированная матрица. Транспонировать матрицу Азначит записать столбцы матрицы А строками с теми же номерами.

2. Перестановки, подстановки. Понятие инверсии и четности.

Опр1. Перестановкой n-го порядка называется упорядоченная последовательность элемент перестановки элементов множества М.

Запишем все перестановки n=3 M={1,2,3}

6 – различных перестановок 3-го порядка

 

Утверждение существует n! различных перестановок n-го порядка.

 

Опр2 Говорят что элементы и образуют беспорядок(инверсию) в перестановке, если но при этом .

Пример всего 5 инверсий N(4312)=5.

Опр3. Транспонизацией элементови называется перемена их местами при этом все остальные элементы фиксированы.

 

Утверждение Любая транспонизация элементов меняет четность перестановки.

 

Опр4. Подстановкой n-го порядка называется однозначное отображение множества M

Это отображение записывается в виде ;

Если N(p) – чётное(нечётное) число, то подстановка p называется чётной(нечётной).

5. Линейная зависимость системы столбцов. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы и ее следствие (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Базисный минор.

 

Пусть матрица A=||a_ij|| (mxn)

Обозначим B₁,B₂,..,B_k – столбцы матрицы A

Определение: Столбцы B₁,..,B_k называются линейно зависимыми, если существуют числа , такие, что

Определение: Столбцы B₁,…,B_k называются линейно независмыми, если равенство выполняется тогда и только тогда, когда α₁=α₂=α_k=0.

Утверждение: Столбцы B₁,…,B_k линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией других столбцов. Т.е. например, B₁=α₂B₂+…+α_kB_k.

Определение: Ранг матрицы A – максимальный порядок неравного нулю минора.

Обозначается: RangA, r(A).

Замечание:

1) RangA=0,

2) Очевидно, что если в матрице все миноры k-го порядка равны 0, то равны нулю все миноры большего порядка. Поэтому, для вычисления ранга матрицы, необходимо вычислять миноры, повышая порядок.

Пример:

; det(1)=1≠0

;;;

RangA=2.

Определение: Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным. Строки и столбцы, формирующий базисный минор, называются базисными строками и столбцами.

Теорема (о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Остальные строки (столбцы) являются линейными комбинациями базисных строк (столбцов).

Доказательство: Для столбца B

Пусть для определенности базисный минор (минор порядка r(≠0)) расположен в верхнем левом углу. Этот минор равен D≠0; все миноры порядка выше r равны нулю.

Предположим, что базисные столбцы линейно зависимы. Тогда бы базисный минор состоял из столбцов, один из которых является линейной комбинацией остальных столбцов в D (см. утверждение). Тогда в силу свойств определителя D=0 – пришли к противоречию => базисные столбцы линейно независимы. Докажем, что другие столбцы есть линейная комбинация базисных столбцов. Докажем это для l-того столбца . Рассмотрим вспомогательные определители порядка (r+1) вида:

для т.к. две одинаковые строки

для т.к. в этом случае есть минор (r+1) порядка у матрицы A rangk<n

Выпишем разложение определителей по i-той строке:

Алгебраические дополнения A₁,…,A_r не зависят от индекса:

m равно B

=> l-тый (l>r) есть линейная комбинация базисных столбцов B₁,…,B_r с коэффициентами

Теорема (о ранге матрицы): Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов).

Доказательство: Докажем для столбцов. Пусть RangA=r. Надо доказать, что r=k, где k – максимальное число независимых столбцов любого множеств, состоящего из больше, чем k столбцов.

Предположим, что k<r. Это невозможно, т.к. существует к линейно независимых базисных столбцов. Следовательно R≥r.

Предположим, что k>r. Докажем, что это невозможно.

Пусть столбцы C₁,…,C_k – линейно независимы. Обозначим B₁,…,B_k – базисные столбцы (может быть, некоторые из столбцов C совпадают с столбцами B). Каждый из столбцов C₁,…,C_k может быть записан в виде линейной комбинации базисных столбцов:

Составим некоторую линейную комбинацию из столбцов. Тогда достаточно будет выражения равенства:

матричное равенство. m уравнений в правой части – 0, относительно k неизвестных β₁,…,β_k, k>m

При рассмотрении метода Гаусса докажем, что ненулевое решение такой системы. Т.е.

не все равны нулю: . Но это противоречит предположению о линейной независимости столбцов C₁,…,C_k

Вывод: k<r – невозможно, k>r – невозможно, следовательно, k=r.

Следствия:

1. Определение: Ранг матрицы можно определить как максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

2. Необходимым и достаточным условием равенства нулю определителя:

Пусть A: nxn, если detA=0 ó RangA<n

Доказательство:

Достаточно: RangA<n => n столбцов линейно зависимы => detA=0

Необходимо: Пусть detA=0 => базисный минор не может иметь порядок n => RangA<n.

Замечание: В доказательстве теоремы о базисном миноре мы рассматривали только минор, содержащий в себе базисный минор. Этого оказалось достаточным, чтобы гарантировать, что RangA=r.

 

6.Обратная матрица, Необходимое и достаточное существование обратной матрицы

Вырожденная матрица.

Пусть А-квадратная матрица nxn Матрица B(C) называется левая(правая) обратная матрица к А, если выполнено равенство B*A=E (A*C=E)

Пусть существуют левая и правая обратные матрицы В и С, тогда В=С

В=В*Е=В*(А*С)=(В*А)*С=Е*С=С

Существуют правая и левая обратные матрицы, тогда в силу того что В=С=А^(-1)

A^-1*A=A*A^-1=E

Пусть det A не равен 0 тогда если обратная матрица существует то det A^-1=1/det A

Det(A*A^-1)=det E=1

Det A*det A^-1=1

detA^-1=1/det A

квадратная матрица А называется невырожденной если определитель не равен 0

вырожденная если определитель равен 0.

Обратная матрица существует тогда и только тогда когда матрица А невыродженная

Необходимость.

Пусть существует А^(-1) тогда А невыродженная.

Если есть А^(-1) то det(A*A^(-1))=det A*det A^(-1)=1

Det A не равен 0

Достаточность.

Пусть det A не равен 0 то есть A^(-1)

Рассмотрим В=1/det A[A11 A21…An1] 1/det A[A11……A1n](T)

[A12 A22…An2]= [A21……A2n]

[A1n A21n..Ann] [An1……Ann]

докажем что В является левой обратной к А.

вычислим А*В

1/det A[A11 A21….An1] [a11 a1j a1n]

[A1i A2i…...Ani] [a21 a2j a2n]=C

[A1n A21n..Ann] [an1 anj ann]

Cij=1/detA(A1i*a1j+…+Ani*anj)=1/det A*det A*δij(1,i=g|0,i≠g) следовательно С=E

B есть левая обратная к А, аналогично что В является правой обратной к А.

A^(-1)=(1/det A)*(A(v))(T)

A(v)-союзная матрица из алгебраических дополнений.

7. Линейное векторное пространство. Определение, примеры.

Опр.

Множество L элементов любой природы называется линейное пространство, если

1). В это множестве введена операция сложения элементов, не выходящих за пределы L.

2).Введена операция умножения на вещественное число:

3). Операция плюс, умножение на вещественное число обладают 8 свойствами(аксиомами линейного пространства):

Замечание.

1 Если в определение множества пространства идет речь об умножении на вещественное число, то такое линейное пространство называется вещественным линейным пространством. Существуют комплексные множества пространства.

2 Элементы линейного пространства называют векторами. Нулевой вектор.

Утверждение 1. Нулевой элемент единственный.

Доказательство.

Пусть существуют два нулевых элемента тогда

Утверждение 2. Противоположный элемент единственен.

Доказательство от противного. Пусть противоположные к элементу X.

Определение. Пусть Элемент называется разностью X-Y, если Очевидно

Примеры линейных пространств.

1 Множество векторов- направленных отрезков, если ввести + по правилу треугольника, а умножение на число так, как это было сделано в школе- есть линейное пространство, т.е выполняется восемь аксиом линейного пространства.

2

так как это было сделано раньше.

8 аксиом выполняются

3.Множество многочленов степени не выше n. с вещественными коэффициентами.

-обычным образом. 8 аксиом.

-линейное пространство.

4 Множество непрерывных функций на .

- обычным образом. Аксиомы 1-8 выполнены.

Слинейное пространство.

5.L={0}-нуль пространства.

-как обычно. Аксиомы 1-8-выполнены.

Замечание.

В одном и том же множестве вводить можно разными способами лишь бы только выполнялись 8 аксиом. При этом будут получаться различные линейные пространства.

Контр примеры.

1. Пусть L-множество многочленов степени n. -как обычно.

-вообще говоря, неверно. Например (n=3).

2. L-множество векторов на плоскости, параллельных либо либо .

-как обычно.L-не является линейным пространством, т.к. нет замкнутости относительно не обязательно принадлежит L.

Замечание.

 

 

8. Линейная зависимость и независимость векторов в линейном пространстве. Базис в линейном пространстве. Координаты вектора в базисе.

 

Базис в линейном пространстве.

Опр1. Пусть .L-линейное пространство. Сумма вида называется линейной комбинацией векторов коэффициенты линейных комбинаций.

Опр2. Элементы линейного пространства L называются линейно зависимыми, если

в противном случае линейно независимы.

Опр3 Элементы линейного пространства L образуют базис, если 1) линейно зависимы;2) последнее равенство разложение элемента x по базису числа. -координаты вектора x в базисе .

Утверждение 1

Пусть -линейно зависимые вектора, тогда один из них выражается в виде линейной комбинации других.

Доказательство.

-линейно зависимые.

пусть

Утверждение 2

Пусть хотя бы один из элементов тогда система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть для определенности линейно зависимые вектора. Составим линейную комбинацию вида

можно сделать равной 0 подобрав линейно зависимые.

Теорема1

Координаты вектора в базисе определяется однозначно.

Доказательство

-базис в L Предположим, что сущ. два разложения элемента x по базису e:

 

но вектора -линейно независммы(т.к. e-базис)

Следствие.

Два элементы линейного пространства равны между собой (совпадают). Т. и т. т.к совпадают их соответственные координаты в одном и том же базисе.

Теорема 2

При сложении элементов линейного пространства их соответствующие координаты складываются. При умножение элемента на число его координаты умножаются на это число.

Теорема 3

Пусть -базис в линейном пространстве L, тогда любая система из большого, чем n, числа векторов- линейно зависимы.

Доказательство

Рассмотрим производную систему m>n числа векторов . Разложим каждый вектор f по базису e:

 

напишем некоторые линейную комбинацию докажем, что можно подобрать так, что такая линейная комбинация =.

линейно зависимые =необходимо

из n уравнений относительно m неизвестных m>n

Такая система уравнений имеет нетривиальное(т.е. не нулевое) решение

линейно зависимы

Теорема4

Все базисы в линейном пространстве L состоят из одного и того же числа векторов.

 

(базис) (базис)

не может быть

Опр4

Размерностью линейного пространства называется число векторов в базисе.

Опр5

Пространство называется бесконечномерным, если для любого n существует система из n линейно независимых векторов.

9.Размерность линейного пространства.

Определение:Размерностью линейного пространства называется число векторов в базисе dimL=n.

Определение:пространство L называется бесконечно мерным,если система из n линейно независимых векторов

Примеры

1.Трехмерное пространство векторов - направленных отрезков. Любая тройка некомпланарных векторов образует базис. dimL=3

2.Пространство векторов-направленных отрезков на плоскости. Базис – любая пара неколлинеарных векторов на этой плоскости. dimL=2

3.L-пространство строк длины n.

Докажем,что это линейно независимая система:

1).-линейно независимы

2).Очевидно,что .

Из второго и первого следует, что -базис пространства: dimL=n

4.Пространство многочленов степени не выше n

Докажем,что это базис:

1)

В силу основной теоремы алгебры многочлен n-ой степени не может иметь больше чем n корней, следовательно уравнение выполняется только при -линейно независимы.

2)Очевидно, что любой многочлен степени <= n может быть записан в виде линейной комбинации

Из первого и второго следует,что -базис, dimL=n+1

5.C[a,b]- пространство функций, непрерывных на [a,b]. -(n+1) функция из этого пространства C[a,b], причем -линейно независимы по основной теореме.

 

10.Переход к новому базису.Матрица перехода.Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

L,dimL=n

-“старый” базис

-“новый” базис

Определение: Матрица называется матрицей перехода от e к e’.j-тый столбец в матрице перехода состоит из координат вектора в старом базисе

Формально:

Формально:

Аналогично:

Теорема:Матрица перехода невырождена.

Доказательство:

Т к базисы состоят из линейно независимых векторов, то обязательно

Рассмотрим

Формально x=eX=e’X’=eX’.В силу линейной независимости ,получаем,что X=X’.Домножим слева на и получим X’=X

11. Правило Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений.

 

Пусть А = (nn) ; X = ; B = ;

(1) AX = B

Теорема Крамера:

Система (1) имеет решение (и притом одно единственное) если detA0

 

Доказательство:

detA0 ; умножим систему (1) на (А)Х = В ЕХ = В

 

Х =В

Т.е., если detA0, то всегда решение Х = В

Докажем, что это решение единственное. Пусть Y — другое решение.

AX = AY; Умножим на , получим что X = Y.

Формула Крамера (вывод).

Х =В = = =

= detA

X =, где — формула Крамера (правило Крамера)

Замечания

1. detA0 не является условием совместимости системы

Пример: detA = 0

2. Для больших n применение правила Крамера нецелесообразно, т.к. необходимо вычислить n+1 определитель n-го порядка. Необходимо использовать другие методы (метод Гауса).

 

12. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Числа называются коэффициентами системы;

— неизвестные; — свободные члены;

(); ; ;

(1) AX = B — матричная запись

Опр1: Упорядоченная совокупность вещественных чисел называется решением системы (1), если при подстановке в уравнения получаются верные равенства.

Опр2: Система (1) называется совместной, если имеет хотя бы одно решение.

Опр3: Система (1) называется определенной, если она имеет ровно одно решение и называется неопределенной, если имеет более одного решения.

 

Решить систему (1) значит:

1) Установить совместность;

2) Если она определенная, найти её единственное решение;

3) Если неопределенная, то описать все множество решений.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема: Система (1) совместна , — расширенная матрица Доказательство:

Линейная зависимость векторов.

Опр2:Система в-в назыв. линейно зависимой, если () =. В противном случае система явл. линейно независимой. Утв1(док-во самостоят):Система векторов линейно зависимо один из векторов выражается в виде лин. комбинации других. …

Базисы на прямой, на плоскости, в пространстве.

Опр2.Два линейно независимых вектора , лежащие в плоскости P, называются базисом на плоскости Р, если вектор , лежащий на плоскости Р можно записать… Опр3.Три линейно независимых вектора называются базисом в пространстве, если… Теорема

Доказательство

Док-во 3го свойства: ([a+b,c],d)=(a+b,[c,d])=(a,[c,d])+(b,[c,d])=… 21.Смешанное произведение векторов и его свойства.Необходимое и достаточное условия компланарности векторов.

N _Axo+Byo+Czo+D=0

Ax+By+Cz+D=0

⇕ (n,MoM)=0 n={A,B,C},M(x,y,z)-произвольная точка.