рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли - раздел Математика, Матрицы. Действия над ними (1) Ax = B A (...

(1) AX = B A (); B (); X ();

Теорема: Система (1) совместна , — расширенная матрица

Доказательство:

Система (1) совместна () : AC = B; C =

() :

Последний столбец матрицы является линейной комбинацией первых n столбцов, поэтому


13.Структура общего решения однородной системы уравнений.

 

А11Х1 +……….+A1nXn = 0

(1) …………………

As1X1 +……….+AsnXn = 0

 

Система (1) (и/или (1’)) называется однородной системой уравнений

 

I) Однородная система (1) всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение (тривиальное)

Х1=……..=Хn=0

Теорема: Однородная система (1) нетривиально совместна ( Rang A<n

 

Док-во:

(1) нетривиально совместная ( ( С1,…….., Cn (не все = 0): A(C= EMBED PBrush  (

(

не все С1…..Сn, равны 0 ó

 

ó столбцы матрицы А – линейно зависимы ó Rang A < n

 

Следствия:

1) S< n Þ n > S ³ Rang A Þ Однородная система нетривиальна совместна.

 

2) S=n В этом случае система(1) нетривиальна совместна ó det A =0

 

Определение: Множество решений СЛАУ AX = называется ядром матрицы А и обозначается Kern A.

 

Теорема:

Множество Kern A с операциями сложения и умножения на число, определёнными обычным способом, является линейным пространством.

 

Док-во:

Докажем замкнутость относительно операции сложения:

Пусть ХÎ Kern A, YÎ Kern A.

Докажем, что X+Y Î Kern A

A(X+Y)=AX+AY= + = Þ Kern A ³ X+Y

 

Докажем замкнутость относительно операции умножения на число.

Пусть ХÎ Kern A , a - произвольное вещественное число

А(aХ)=a*АХ=a = Þ aХÎ Kern A.

X’= -X.

Kern есть линейное пространство.

Определение: Фундаментальной системой решений (СЛАУ)(1) (ФСР) называется базис пространства Kern A.

Теорема: Пусть Rang A = r < n. (n - число неизвестных).

Тогда ACH состоит из (n - r) столбцов

Е1 , …….. ,En-r

Dim Kern A = n-r.

Док-во:

Пусть Rang A=r < n. Не уменьшая общности, считаем, что базисный минор порядка r лежит в верхнем левом углу матрицы А. Если это не так, то переставим уравнение или/и перенумеруем неизвестные.

 

 

Назовём переменные Х1,…..,Xr базисными переменными, Xr+1,…….,Xn - свободными.

Уравнения начиная с (r+1)-го можно отбросить т.к. строки матрицы А, начиная с (r+1)-й, есть линейная комбинация первых базисных строк.

Перепишем С(1):

 

Присвоим переменным: Xr+1…..Xn произвольные значения X’r+1, ….. X’n.

Подставим эти значения в правую часть системы(). Получим систему из r урпвнений относительно r неизвестных Х1 ….. Хn. Определитель этой системы есть базисный минор матрицы А (он¹0). Поэтому $ единственных решений С(1) с такими правыми частями, которые, например, можно найти с помощью формулы Крамера.

Составим таблицу:

 

 

Используя такой алгоритм, построим (n-r) столбцов: E1,………,En-r , следующим образом фиксируем некоторый определитель. D¹0

 

 

порядок n-r

 

Докажем, что E1……..En-r образуют базис в Kern A. Необходимо проверить, что:

1) E1……..En-r - линейно независимы.

2) " X Î Kern A может быть записан в виде: C1E1 +….+ Cn-rEn-r

 

(1) Верно. E1……..En-r линейно независимы как базисные столбцы матрицы с Rang котопой равен n-r.

(2) Пусть В- произвольное решение системы (1). Докажем, что $ числа C1…..Cn-r:

B= C1E1 +…….+Cn-rEn-r.

эти столбцы -элементы линейного пространства столбцов высоты (n-r).

Любая система из больше чем r элементов линейно зависима. Поэтому система столбцов является линейно зависимой.

 

рассмотрим:

Докажем, что выполняется: B=C1E1 +…..+ Cn-rEn-r

Рассмотрим:

В силу выше сказанного:

Kr+1 =……..= Kn = 0

Но тогда K1 …. Kr тоже равны 0 как решение системы (), в которой все правые части = 0, а определитель системы () не равен 0. Þ K= Þ B=C1E1 +……+ Cn-rEn-r.

 

Следствие:

Общее решение однообразной СЛАУ может быть записано в виде:

X00 = C1E1 +…+ Cn-rEn-r (общее однородное)

Здесь E1…..En-r -ФСР, C1…..Cn-r - вещественные числа пробегающие действительную ось независимо друг от друга. Т.е. 1) "C1 …… Cn-r. правая часть решения системы(1)

2) " решением систеы (1) может быть записано в виде C1E1 +…+Cn-rEn-r для некоторых C1…Cn-r.

 

Алгоритм поиска Х00

 

AX= (1) Rang A = r, n-r, где n -число неизвестных

dim Kern A = n-r

(2) Фиксируем произвольный определитель порядка n-r,¹0. Удобно:


решения системы(), где Xr=1, Xr+1=0=Xn.

Аналогично Е2…….En-r.

(3) Xoo=C1E1 +….+ Cn-rEn-r.


14. структура решения неоднородной СЛАУ

 

ó AX=B(1’)

рассмотрим параллельно систему однородную

ó AX= (2’)

Утверждение 1:

Пусть X,Y – решения системы(1’)

Тогда (X-Y) – решение системы (2’)

Док-во:

A(X-Y)=AX-AY=B-B=

Теорема: Общее решение системы(1) может быть записано в виде

(3) XoH =XrH +C1E1 +…+ Cn-rEn-r = XrH + Xoo

Здесь: XrH – частное решение неоднородной системы. Xoo – общее решение однородной системы(2).

C1…Cn – произвольные вещественные числа.

Док-во:

Необходимо доказать:

1) " C1…Cn-r правая часть (3) является решением системы(1).

2) " решения системы(1) может быть записано в виде (3) при некоторых C1…Cn-r.

Докажем 1): подставим: XrH + C1E1 +…+Cn-rEn-r в (1):

A (XrH + C1E1 +…+ Cn-rEn-r) =

 

Докажем 2): пусть F – некоторое решение системы(1). В силу утверждения1 F- XrH является решением однородной системы(2) Þ$ C1…Cn-r : F- XrH = C1E1 +…+Cn-rEn-r

ÞF= XrH + C1E1 +…+Cn-rEn-r , где С1…Cn-r – некоторые действительные числа.


15. Исследование систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

 

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных путем элементарных преобразований. - метод Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему (имеющей такие же решения) специального вида, которая легко исследуется и решается. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Применим данный метод для решения системы

Пусть в системе (1.7) а11¹0. Этого можно добиться несколькими способами в числе которых перестановка уравнений местами, элементарные преобразования над строками. Все преобразования в дальнейшем будем проводить с расширенной матрицей. Нужно исключить все коэффициенты при х1, т.е. обратить все элементы первого столбца, начиная со второй строки в 0. Разделим первую строку на а11, т.е. преобразуем систему в равносильную так, чтобы а11=1.

Единственное условие, которое должно быть выполнено при выборе, состоит в том, что коэффициент при избранном неизвестном должен быть не равен 0.

x1++...+ = (1.10)

Исключим теперь х1 из остальных уравнений системы. Будем умножать (1.8) последовательно на а21, а31,..., аn1 и вычитать соответственно из 2-го, 3-го и последнего уравнений системы. После этого система уравнений (1.7), заменится эквивалентной системой.

(1.11)

Эти уравнения также образуют систему n уравнений с неизвестными х1,...,хn. Порядок ее тот же, что и у исходной системы. К ней можно применить такое же преобразование. Выбрать второе уравнение, коэффициент при х2 привести к 1, исключить х2 из остальных уравнений и т.д. Такие преобразования проводятся до тех пор, пока они возможны, т.е. либо мы переберем все уравнения системы, либо когда в оставшихся уравнения не будет коэффициентов не равных 0.

В результате получаем систему ступенчатого вида:

(1.12)

Возможны 3 случая.

1. Получаем строку вида: 0+0+0+...+0=dr.

В этом случае решений нет.

2. annxn=bn

В этом случае единственное решение.

3. - бесчисленное множество решений.

¨Пример Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы:

.

Нужно преобразовать данную матрицу таким образом, чтобы а11=1. Для этого можно разделить первую строку матрицы на 2. А можно переставить местами 1-ю и 2-ю строки, тогда получим а11=1.

.

Умножаем первую строку матрицы последовательно на (-2), (-4) и складываем соответственно со второй и третьей строками, получаем:

.

В полученной матрице 2-ю строку нужно разделить на 5, для того чтобы а22=1. В данном примере проще провести следующие эквивалентные преобразования: 3-ю строку разделить на 9, и переставить местами 2-ю и 3-ю строки. Получим:

.

Теперь умножаем 2-ю строку на (-5) и прибавляем к третьей строке:

.

Получили матрицу ступенчатого вида. Третьей строке соответствует уравнение:

-4z=-4. Откуда получаем z=1. Второй строке соответствует уравнение: y-z=-2. Получаем, что у= -1. И, наконец, первой строке соответствует уравнение: x-y+2z=5. Откуда х=2.


16. Векторы в трехмерном простарнстве. Линейные операции над векторами и их свойства.

 

Линейные операции над векторами

Опр1: Вектор - направленный отрезок.

A – начало, В – конец.Если А=В=

1)Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на || прямых;

2), ,- компланарные, если будучи приведены к одному началу лежат в одной плоскости;

3) =, если а)||=||;б)

Опр2:Суммой векторов ,назовем вектор , такой что:

Опр3:Произведением на вещественно число назовем :

1)||=

2) , >0

,<0

Утв:Множество векторов(направленных отрезков) с операциями , введенными в опр2 и опр3, есть линейное пространство.

Свойства линейных операций над векторами:

1) +=+

2) (+)+=+(+)

3) (+)=+

4)

5)

6) : +=

7)

8)

Опр4: если


17. Линейные зависимость и независимость векторов. Базисы на прямой, плоскости и в пространстве. Координаты вектора.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Матрицы. Действия над ними

Опр Матрицей A размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел состоящая из S строк и n столбцов... элемент матрицы...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема Кронекера-Капелли

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейная зависимость векторов.
Опр1: - линейная комбинация в-в

Базисы на прямой, на плоскости, в пространстве.
Опр1. Вектор , назы

Доказательство
a=b => для любого d (a,d)=(b,d) –очевидно. Пусть для любого d (a,d)=(b,d) =>(a-b,d)=0 возьмем d=a-b=>(a-b,a-b)=0=>a-b=0=>a=b. Док-во 3го свойства:

Ax+By+Cz+D=0
A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги