Реферат Курсовая Конспект
Теорема Кронекера-Капелли - раздел Математика, Матрицы. Действия над ними (1) Ax = B A (...
|
(1) AX = B A (); B (); X ();
Теорема: Система (1) совместна , — расширенная матрица
Доказательство:
Система (1) совместна () : AC = B; C =
() :
Последний столбец матрицы является линейной комбинацией первых n столбцов, поэтому
13.Структура общего решения однородной системы уравнений.
А11Х1 +……….+A1nXn = 0
(1) …………………
As1X1 +……….+AsnXn = 0
Система (1) (и/или (1’)) называется однородной системой уравнений
I) Однородная система (1) всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение (тривиальное)
Х1=……..=Хn=0
Теорема: Однородная система (1) нетривиально совместна ( Rang A<n
Док-во:
(1) нетривиально совместная ( ( С1,…….., Cn (не все = 0): A(C= EMBED PBrush (
(
не все С1…..Сn, равны 0 ó
ó столбцы матрицы А – линейно зависимы ó Rang A < n
Следствия:
1) S< n Þ n > S ³ Rang A Þ Однородная система нетривиальна совместна.
2) S=n В этом случае система(1) нетривиальна совместна ó det A =0
Определение: Множество решений СЛАУ AX = называется ядром матрицы А и обозначается Kern A.
Теорема:
Множество Kern A с операциями сложения и умножения на число, определёнными обычным способом, является линейным пространством.
Док-во:
Докажем замкнутость относительно операции сложения:
Пусть ХÎ Kern A, YÎ Kern A.
Докажем, что X+Y Î Kern A
A(X+Y)=AX+AY= + = Þ Kern A ³ X+Y
Докажем замкнутость относительно операции умножения на число.
Пусть ХÎ Kern A , a - произвольное вещественное число
А(aХ)=a*АХ=a = Þ aХÎ Kern A.
X’= -X.
Kern есть линейное пространство.
Определение: Фундаментальной системой решений (СЛАУ)(1) (ФСР) называется базис пространства Kern A.
Теорема: Пусть Rang A = r < n. (n - число неизвестных).
Тогда ACH состоит из (n - r) столбцов
Е1 , …….. ,En-r
Dim Kern A = n-r.
Док-во:
Пусть Rang A=r < n. Не уменьшая общности, считаем, что базисный минор порядка r лежит в верхнем левом углу матрицы А. Если это не так, то переставим уравнение или/и перенумеруем неизвестные.
Назовём переменные Х1,…..,Xr базисными переменными, Xr+1,…….,Xn - свободными.
Уравнения начиная с (r+1)-го можно отбросить т.к. строки матрицы А, начиная с (r+1)-й, есть линейная комбинация первых базисных строк.
Перепишем С(1):
Присвоим переменным: Xr+1…..Xn произвольные значения X’r+1, ….. X’n.
Подставим эти значения в правую часть системы(). Получим систему из r урпвнений относительно r неизвестных Х1 ….. Хn. Определитель этой системы есть базисный минор матрицы А (он¹0). Поэтому $ единственных решений С(1) с такими правыми частями, которые, например, можно найти с помощью формулы Крамера.
Составим таблицу:
Используя такой алгоритм, построим (n-r) столбцов: E1,………,En-r , следующим образом фиксируем некоторый определитель. D¹0
порядок n-r
Докажем, что E1……..En-r образуют базис в Kern A. Необходимо проверить, что:
1) E1……..En-r - линейно независимы.
2) " X Î Kern A может быть записан в виде: C1E1 +….+ Cn-rEn-r
(1) Верно. E1……..En-r линейно независимы как базисные столбцы матрицы с Rang котопой равен n-r.
(2) Пусть В- произвольное решение системы (1). Докажем, что $ числа C1…..Cn-r:
B= C1E1 +…….+Cn-rEn-r.
эти столбцы -элементы линейного пространства столбцов высоты (n-r).
Любая система из больше чем r элементов линейно зависима. Поэтому система столбцов является линейно зависимой.
рассмотрим:
Докажем, что выполняется: B=C1E1 +…..+ Cn-rEn-r
Рассмотрим:
В силу выше сказанного:
Kr+1 =……..= Kn = 0
Но тогда K1 …. Kr тоже равны 0 как решение системы (), в которой все правые части = 0, а определитель системы () не равен 0. Þ K= Þ B=C1E1 +……+ Cn-rEn-r.
Следствие:
Общее решение однообразной СЛАУ может быть записано в виде:
X00 = C1E1 +…+ Cn-rEn-r (общее однородное)
Здесь E1…..En-r -ФСР, C1…..Cn-r - вещественные числа пробегающие действительную ось независимо друг от друга. Т.е. 1) "C1 …… Cn-r. правая часть решения системы(1)
2) " решением систеы (1) может быть записано в виде C1E1 +…+Cn-rEn-r для некоторых C1…Cn-r.
Алгоритм поиска Х00
AX= (1) Rang A = r, n-r, где n -число неизвестных
dim Kern A = n-r
(2) Фиксируем произвольный определитель порядка n-r,¹0. Удобно:
решения системы(), где Xr=1, Xr+1=0=Xn.
Аналогично Е2…….En-r.
(3) Xoo=C1E1 +….+ Cn-rEn-r.
14. структура решения неоднородной СЛАУ
ó AX=B(1’)
рассмотрим параллельно систему однородную
ó AX= (2’)
Утверждение 1:
Пусть X,Y – решения системы(1’)
Тогда (X-Y) – решение системы (2’)
Док-во:
A(X-Y)=AX-AY=B-B=
Теорема: Общее решение системы(1) может быть записано в виде
(3) XoH =XrH +C1E1 +…+ Cn-rEn-r = XrH + Xoo
Здесь: XrH – частное решение неоднородной системы. Xoo – общее решение однородной системы(2).
C1…Cn – произвольные вещественные числа.
Док-во:
Необходимо доказать:
1) " C1…Cn-r правая часть (3) является решением системы(1).
2) " решения системы(1) может быть записано в виде (3) при некоторых C1…Cn-r.
Докажем 1): подставим: XrH + C1E1 +…+Cn-rEn-r в (1):
A (XrH + C1E1 +…+ Cn-rEn-r) =
Докажем 2): пусть F – некоторое решение системы(1). В силу утверждения1 F- XrH является решением однородной системы(2) Þ$ C1…Cn-r : F- XrH = C1E1 +…+Cn-rEn-r
ÞF= XrH + C1E1 +…+Cn-rEn-r , где С1…Cn-r – некоторые действительные числа.
15. Исследование систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных путем элементарных преобразований. - метод Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему (имеющей такие же решения) специального вида, которая легко исследуется и решается. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.
Применим данный метод для решения системы
Пусть в системе (1.7) а11¹0. Этого можно добиться несколькими способами в числе которых перестановка уравнений местами, элементарные преобразования над строками. Все преобразования в дальнейшем будем проводить с расширенной матрицей. Нужно исключить все коэффициенты при х1, т.е. обратить все элементы первого столбца, начиная со второй строки в 0. Разделим первую строку на а11, т.е. преобразуем систему в равносильную так, чтобы а11=1.
Единственное условие, которое должно быть выполнено при выборе, состоит в том, что коэффициент при избранном неизвестном должен быть не равен 0.
x1++...+ = (1.10)
Исключим теперь х1 из остальных уравнений системы. Будем умножать (1.8) последовательно на а21, а31,..., аn1 и вычитать соответственно из 2-го, 3-го и последнего уравнений системы. После этого система уравнений (1.7), заменится эквивалентной системой.
(1.11)
Эти уравнения также образуют систему n уравнений с неизвестными х1,...,хn. Порядок ее тот же, что и у исходной системы. К ней можно применить такое же преобразование. Выбрать второе уравнение, коэффициент при х2 привести к 1, исключить х2 из остальных уравнений и т.д. Такие преобразования проводятся до тех пор, пока они возможны, т.е. либо мы переберем все уравнения системы, либо когда в оставшихся уравнения не будет коэффициентов не равных 0.
В результате получаем систему ступенчатого вида:
(1.12)
Возможны 3 случая.
1. Получаем строку вида: 0+0+0+...+0=dr.
В этом случае решений нет.
2. annxn=bn
В этом случае единственное решение.
3. - бесчисленное множество решений.
¨Пример Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Запишем расширенную матрицу системы:
.
Нужно преобразовать данную матрицу таким образом, чтобы а11=1. Для этого можно разделить первую строку матрицы на 2. А можно переставить местами 1-ю и 2-ю строки, тогда получим а11=1.
.
Умножаем первую строку матрицы последовательно на (-2), (-4) и складываем соответственно со второй и третьей строками, получаем:
.
В полученной матрице 2-ю строку нужно разделить на 5, для того чтобы а22=1. В данном примере проще провести следующие эквивалентные преобразования: 3-ю строку разделить на 9, и переставить местами 2-ю и 3-ю строки. Получим:
.
Теперь умножаем 2-ю строку на (-5) и прибавляем к третьей строке:
.
Получили матрицу ступенчатого вида. Третьей строке соответствует уравнение:
-4z=-4. Откуда получаем z=1. Второй строке соответствует уравнение: y-z=-2. Получаем, что у= -1. И, наконец, первой строке соответствует уравнение: x-y+2z=5. Откуда х=2.
16. Векторы в трехмерном простарнстве. Линейные операции над векторами и их свойства.
Линейные операции над векторами
Опр1: Вектор - направленный отрезок.
A – начало, В – конец.Если А=В=
1)Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на || прямых;
2), ,- компланарные, если будучи приведены к одному началу лежат в одной плоскости;
3) =, если а)||=||;б)
Опр2:Суммой векторов ,назовем вектор , такой что:
Опр3:Произведением на вещественно число назовем :
1)||=
2) , >0
,<0
Утв:Множество векторов(направленных отрезков) с операциями , введенными в опр2 и опр3, есть линейное пространство.
Свойства линейных операций над векторами:
1) +=+
2) (+)+=+(+)
3) (+)=+
4)
5)
6) : +=
7)
8)
Опр4: если
17. Линейные зависимость и независимость векторов. Базисы на прямой, плоскости и в пространстве. Координаты вектора.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Опр Матрицей A размерности Sxn называется прямоугольная таблица из чисел состоящая из S строк и n столбцов... элемент матрицы...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема Кронекера-Капелли
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов