Базисы на прямой, на плоскости, в пространстве.

Опр1. Вектор , называется базисом на прямой L, если вектор ,||L может быть записан в виде

Опр2.Два линейно независимых вектора , лежащие в плоскости P, называются базисом на плоскости Р, если вектор , лежащий на плоскости Р можно записать в виде .

Опр3.Три линейно независимых вектора называются базисом в пространстве, если вектор может быть записан в виде

Теорема

1. Любой ненулевой вектор ,образует базис на прямой L.

2. Любая пара неколлинеарных векторов , лежащих в плоскости Р образует базис на плоскости Р

3. Любая тройка некомпланарых векторов образует базис в пространстве.

Док-во: самостоятельно

(1) на прямой

(2) на плоскости

(3) в пространстве

Опр4 Правые части формул (1),(2),(3) называются разложением векторов по базисам ;;соответственно, числа соответственными координатами.

Теорема1:Разложение по базису единственно(самостоятельно!)

Теорема2:При сложении векторов их соответственные координаты складываются. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число

18. Проекция вектора на ось. Декартова система координат. Направляющие косинусы.

 

Опр1:Вектор называется векторной проекцией вектора на ось L.

Пусть

Опр2:Скалярной проекцией вектора на ось L величину :

=AB’=, (рис.1)

=-AB’=, (рис.2)

Зафиксируем т.О. Рассмотрим тройку i, j, k.(i^j)=(i^k)=(j^k)=;|i|=|j|=|k|=1;т.О – общая начальная точка. Вектор i определяет ось Ох, j – ось Oy, k- ось Oz.

Тем самым мы ввели Декартову систему координат в пространстве.Пусть т. М – произвольная точка. Достроим прямоугольный параллелепипед с диагональю ОМ.

Длины ребер |x|,|y|,|z|. Координаты т.М – вещественные числа x,y,z;

Утверждение:Декартовы координаты точек совпадают со скалярными проекциями вектора на соответственные оси:

х=; y=; z=

Док-во:

- прямоугольный; y=OA=||cos=||cos=

Аналогично для x и z.

Пусть ; ; ||=r

; ;

Опр: Величины , , называются направляющими косинусами вектора .

Утв: .

Док-во:

Разделим обе части уравнения на

19. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Определние: Величина (a,b)=|a|*|b|*cos(a^b) называется скалярным пр-ем векторов a и b. Очевидно, что можно записать (a,b)=|a|*(проекция b на а) и наоборот.

Свойства скалярного произведения:

1) (a,b)=(a,b);

2) (a,b+c)= (a,b)+(a,c);

3)(w*a,b)=w*(a,b)=(a,w*b),w=const;

4)(a,a)≥0, причем (a,a)=0, когда a=0.

Доказательство 2го:

(a,b+c)=|a|*(проекция (b+c) на a)= |a|*(проекция b на а)+|a|*(проекция c на а)= (a,b)+(a,c).Скалярное произведение равно 0 тогда и только тогда, когда a перпендикулярно b, или a=0, или b=0.

20. Векторное произведение векторов и его свойства. Необходимое и достаточное условия коллинеарности векторов.

Определние: Вектор c называется векторным произведением векторов a и b, обозначается c=[a,b], если |c|=|a|*|b|*sin(a^b), c перпендикулярен a и b, abc- правая тройка.

Cвойства векторного произведения:

1)[a,b]=-[b,a]

2)[w*a,b]=[a,w*b]=w*[a,b]

3)[a+b,c]=[a,c]+[b,c]

4)[a,a]=0

 

Леммаa=b ó для любого d (a,d)=(b,d)