Ax+By+Cz+D=0

A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0

⇕

(n,MoM)=0

n={A,B,C},M(x,y,z)-произвольная точка.

 

Замечание:

Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.

Уравнение вида A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0 называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору:

n={A,B,C}^P

Mo(xo,yo,zo)єP

A²+B²+C²¹ 0.

Уравнение плоскости по трем точкам.

M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).

Выпишем уравнение плоскости P M1єP ; M2єP; M3єP.

M M2 Пусть M(x,y,z)-произвольная точка.

M1 M3 Очевидно,что MєPÛвекторы M1M,M1M2,M1M3-

компланарны:

 

 

X - X1 Y -Y1 Z - Z1

(V) X2-X1 Y2-Y1 Z2-Z1 =0

X3-X1 Y3-Y1 Z3-Z1

Уравнение (V)-уравнение плоскости P по трем точкам M1,M2,M3.

 

 

 

Билет № 23. Уравнение плоскости «в отрезках».

 

Ax+By+Cz+D=0

A, B, C, D¹0

 

a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью P от осей: Ox, Oy, Oz.

 

Уравнение плоскости по трём отрезкам:

M₁ (x₁, y₁, z₁)

M₂ (x₂, y₂, z₂)

M₃ (x₃, y₃, z₃)

Выпишем уравнение плоскости P: М₁ Î Р, М₂ Î Р, М₃ Î Р.

Пусть М (x, y, z) - произвольная. Очевидно, что М Î Р. – компланарны.

(V)

Уравнение (V) - уравнение плоскости Р по отрезкам М₁, М₂, М₃.

 

Взаимное расположение двух плоскостей:

Р₁ : A₁x+B₁y+C₁z+D₁ = 0, {A₁, B₁, C₁}

P₂ : A₂x+B₂y+C₂z+D₂ = 0, {A₂, B₂, C₂}

Р₁P₂

Р₁P₂

 

 

Билет № 24. Нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть даны ={} – единственный нормальный вектор к плоскости Р.

Р³0 – расстояние от О (0, 0, 0) до плоскости Р.

Напишем уравнение плоскости Р:

LP

L

A=LP

Пусть М(x, y, z) – произвольная точка

Q=Пр_L M

MPOQ=p (т.е. Q=A)

OQ=Пр

ß

(*) – нормированное уравнение плоскости Р

Выведено уравнение для случая, когда М и О находятся по разные стороны от плоскости Р.

Аналогично получим уравнение вида (*) для случая, когда точка М и О лежат по одну сторону от плоскости Р.

Пусть - расстояние от точки М до плоскости Р.

Определение: отклонением от точки М до плоскости Р называется

Утверждение: пусть нормированное уравнение плоскости Р имеет вид:

(*)

Пусть М(x, y, z) – произвольная точка. Тогда =

 

Доказательство:

Пусть, для определённости, точки М и О – по разные стороны от плоскости Р

A =PÇL

LP

OÎL

==AQ=OQ-OA= ПрОMp= =

Пусть точка М расположена по одну сторону от плоскости Р (доказать самостоятельно). В этом случае

==

Следствие: =

Для того, чтобы найти , необходимо привести уравнение к нормированной форме.

Как это сделать?

Пусть Р задана в общем виде:

Ax+By+Cz+D=0

- нормирующий множитель

 

 

– нормированное уравнение плоскости