рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Учебно-методическое пособие по курсу «Математика»

Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» - раздел Математика, Министерство Образования И Науки Рф Федеральное Государственное Авто...

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Уральский федеральный университет

имени первого Президента России Б.Н.Ельцина»

Нижнетагильский технологический институт (филиал)

 

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» для студентов технических специальностей всех форм обучения

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Феофанова Вера Александровна Мартышенко Юлия Геннадьевна  

Нижнетагильский технологический институт (филиал)

622031, г. Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 59

 

Отпечатано в РИО НТИ (филиал) УРФУ

Ó Феофанова В. А., Мартышенко Ю. Г., составление, 2013


 


Содержание

Введение................................................................................................. 4

1. Элементы линейной алгебры......................................................... 5

1.1. Матрицы. Основные понятия и действия над ними................... 5

1.2. Определители............................................................................ 10

1.3. Понятие обратной матрицы...................................................... 14

1.4. Ранг матрицы............................................................................. 17

1.5. Исследование систем линейных уравнений.............................. 19

2. Векторная алгебра........................................................................ 31

2.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их основные свойства.................................................................................................................... 31

2.2. Скалярное произведение векторов........................................... 42

2.3. Векторное произведение векторов........................................... 45

2.4. Смешанное произведение векторов.......................................... 48

3. Аналитическая геометрия на плоскости...................................... 52

3.1. Полярные координаты.............................................................. 52

3.2. Преобразование декартовых координат.................................. 53

3.3. Уравнения прямой на плоскости.............................................. 55

3.4. Прямая линия на плоскости. Основные задачи....................... 59

3.6. Линии второго порядка............................................................ 62

3.6.1. Окружность......................................................................... 62

3.6.2. Эллипс.................................................................................. 63

3.6.3. Гипербола............................................................................ 65

3.6.4. Парабола............................................................................. 67

3.7. Общее уравнений линий второго порядка............................... 68

4. Аналитическая геометрия в пространстве................................... 70

4.1. Уравнение плоскости................................................................. 72

4.2. Уравнение прямой в пространстве........................................... 77

4.3. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве 81

4.4. Поверхности второго порядка................................................. 84

5. Комплексные числа....................................................................... 94

6. Линейные пространства и линейные преобразования................... 99

6.1 Определение линейного пространства. Изоморфизм............ 99

Список литературы........................................................................... 127


Введение

 

В пособии представлены разделы: линейная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, комплексные числа. В линейной алгебре изучаются объекты трех родов: матрицы, пространства и алгебраические формы. Теории этих объектов тесно связаны друг с другом и с аналитической геометрией. С другой стороны, в геометрии и механике большинство задач линейной алгебры воз­никает в виде задач об исследовании алгебраических форм. Тем не менее, наиболее отчетливое понимание внут­ренних связей между различными задачами линейной алгебры достигаются лишь при рассмотрении соответствующих линейных пространств и преобразований. Элементы тео­рии многомерных евклидовых пространств и связанная с ней теория линейных неравенств стали обязательной частью современного математического образования инженеров и экономистов. B пособии рассмотрены действительные евклидовые пространства и их линейные преобразования.

Теория систем линейных уравнений тесно связана с задачами аналитической геометрии и с задачами преобразования квадратичных форм. Матрич­ная форма записи систем линейных уравнений, квадратичных форм и линейных преобразований облегчает их исследование и вычисления.

Теоретический материал в пособии широко иллюстрируется примерами и задачами. Приведены задания для самостоятельной работы студентов.

 

 


Элементы линейной алгебры

Матрицы. Основные понятия и действия над ними

Матрицей называется упорядоченная таблица чисел (или массив чисел), содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде

 

где индекс i обозначает номер строки, индекс j - номер столбца матрицы.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Матрица, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m´n.

Матрицы принято классифицировать по количеству их строк и столбцов.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, m = n, то матрица называется квадратной порядка n.

Матрица размера m´1 называется m-мерным (или m-компонентным) столбцом, матрица размера n называется n-мерной (или n-компонен­тной) строкой (так называемые матрица-столбец и матрица-строка соответственно).

Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у кото­рых все элементы с неравными индексами (i ¹ j) равны нулю

.

Будем говорить, что элементы а11, а22, …, аnn расположены на главной диагонали.

Некоторые часто используемые матрицы с особыми значениями элементов, имеют специальные названия и обозначения.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О

.

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль 0 и 1 в арифметике. Матрица размера 1´1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (3)1´1 есть 3.

Квадратные матрицы, где все элементы расположены по одну сторону от главной диагонали, соответственно называются нижней и верхней треугольными матрицами.

Действия над матрицами

Две матрицы А и В одного и того же размера называются равными, если все их соответствующие элементы равны, т. е. aij = bij для всех i = и j = .

Суммой двух матриц Аm´n = (аij) и Вm´n = (bij) называется матрица Сm´n = (сij) такая, что сij = aij + bij, i = , j = . Операция вычисления матрицы С называется сложением матриц А и В.

Пример1. Найти сумму матриц А и В

, .

Решение.

.

Правило сложения двух матриц обобщается на случай любого конечного числа слагаемых матриц.

Произведением матрицы Аm´n = (аij) на число k называется матрица Вm´n = (bij) такая, что bij = ij, i = , j = .

Пример2. Найти произведение матрицы А на число k

, k = 5, .

Отметим, что умножать на число можно матрицу любого размера.

Замечание. В качестве всех или некоторых элементов матрицы возможно использование других математических объектов, для которых подходящим образом определены операции сравнения, сложения и умножения на число, например, векторы, функции или те же матрицы.

Определенные выше линейные операции обладают следующими свойствами:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

где А, В и С - матрицы, a и b - числа.

Разность двух матриц А и В одинаковых размеров определяется равенством: А - В = А + (-1)В.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ.

Пример3. Транспонировать матрицы

, ;

, .

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Умножить матрицу А = (аij) размера m´n на матрицу В = (bjk) размера n´q означает найти третью матрицу С = (сik) размера m´q, такую, что , i = 1,2, …, m, k = 1,2, …, q.

Матрица С называется произведением матрицы А на матрицу В

С = АВ.

В общем случае, как следует из определения, элемент сik есть сумма произведений элементов i-ой строки на элементы k-го столбца.

Пример4. Перемножить матрицы

1)

 

2) .

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, оно не коммутативно

.

Пример5. Перемножить матрицы

;

.

В частном случае равенство АВ = ВА возможно. Матрицы А и В, для которых выполняется равенство АВ = ВА, называются перестановочными или коммутативными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера

А×Е = Е×А = А.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство

A×O = O×A = O,

где О – нулевая матрица.

Пример6. Матрицы

,

перестановочные, так как легко проверить, что для них АВ = ВА.

Если матрицы А и В квадратные одного и того же порядка, то произведения АВ и ВА всегда существуют.

Произведение матриц обладает следующими свойствами:

1. 2. 3. 4.

Для операции транспонирования верны свойства:

1.

2.

Определение. Элементарными преобразованиями матриц назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк;

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

Следует отметить, что равные и эквивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

 

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. Найти сумму матриц

, ;

2. Найти разность матриц

, ;

3. Доказать равенство

;

4. Перемножить следующие матрицы

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

5. Найти A(B + C), если

, , ;

6. Найти А3, ;

7. Найти значение матричного многочлена 2А2 + 4А + 3Е, если

.

 

Определители

Для квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая определителем (или детерминантом) и обозначается как det A (|A| или… 1. Определитель квадратной матрицы 1-го порядка А = (а1), det A = a1;

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. Вычислите определители второго порядка

а) , б) ;

2. Пользуясь определением, вычислить определитель третьего порядка

;

3. Вычислите определитель матрицы А

;

4. Упростить и вычислить определитель

;

5. Найти х из уравнения (a = const)

;

6. Используя только свойства определителей, показать, что следующие определители равны нулю

а) ; б) .

 

Понятие обратной матрицы

Основные понятия Пусть А - квадратная матрица n-го порядка .

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. Найти обратную матрицу А-1, если , . Выполнить проверку;

2. Найти обратную матрицу (BA)-1, если ,

Ранг матрицы

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, име­ющих одинаковый… Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается r, r(A) или rang A.

Исследование систем линейных уравнений

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m урав­нений и n неизвестных, называется система вида (1.3) где числа aij, , называются коэффициентами системы, числа bi - свободными членами, числа xn - неизвестные,…

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. По формулам Крамера решить систему AX = B, где

а) ; б)

 

2. Методом Гаусса решить систему AX = B, где

а) ; б) ;

в) ; г)

 

3. Матричным методом решить систему AX = B, где

а) ; б)

 

4. Исследовать систему AX = B на совместность, и в случае совместности решить систему.

а)

б)

в)

г)

 

5. Методом Гаусса решить однородную систему AX = 0,

а) б)

в) г)

 

Векторная алгебра

Основные понятия Определение. Вектором называется направленный прямолинейный отрезок… Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстоя­ние между началом и концом вектора

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла… . (2.11) Свойства скалярного произведения

Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов существует только в трехмерном пространстве, на плоскости оно не определено. … Определение. Векторным произведениемвекторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

Смешанное произведение векторов

  h   … Геометрический смысл смешанного произведения Теорема2.1. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу…

Задачи для самостоятельного решения

2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если 3. Вычислить а) если 4. Сила приложена в точке В(0, 2, 4). Найти мо­мент этой силы относительно точки А(0, -1, 0).

Аналитическая геометрия на плоскости

Прежде чем приступить к изучению конкретных геометрических объек­тов и их свойств, заметим, что аналитическая геометрия главным обра­зом… Итак, аналитическая геометрия изучает геометрические объекты и их свойства…

Полярные координаты

Наиболее важной после прямоугольной системы координат является полярная система координат. Она состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и… O … Полярными координатами точки М называют­ся числа r и j. При этом число r считается первой координатой и называется…

Преобразование декартовых координат

1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними; 2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один… O O¢ …

Прямая линия на плоскости. Основные задачи

O a1 a2 … Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами a1, a2,… , или

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. Даны координаты вершин треугольника А(2;2), В(0;4),С (−4;8). Найти уравнения сторон, медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из вершины С.

2. Даны стороны треугольника x + y – 6 = 0, 3x – 5y + 15 = 0, 5x – 3y– 14 = 0. Составить уравнения его высот.

Ответ: {x – y = 0; 5x + 3y – 26 = 0; 3x + 5y – 26 = 0}.

3. Составить уравнения прямых, проходящих через точку М(−3, −4) и параллельных осям координат.

Ответ: { x + 3 = 0; y + 4 = 0}.

 

 

Линии второго порядка

Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. (3.14) Коэффициенты уравнения - действительные числа, где хотя бы одно из чисел A, B или С отлично от нуля. Существует…

Окружность

Из условия М0М = R получаем уравнение , т. е. (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2. (3.15) O y x …

Эллипс

Рис. 28
y
M
b
a
x
r1
F1
F2
r2
с
O
А1
А2
В1
В2
Определение. Эллипсом называется множество всех точек М плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2а, большая, чем расстояние между фокусами (Рис. 28).

Выберем фокусы так, чтобы они лежа­ли на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2, тогда фокусы имеют координаты F1(-c, 0), F2(c, 0), значит расстояние между ними равно 2с. По определению 2а > 2c, т. е. a > c.

Пусть M(x, y) - произвольная точка эллипса. Тогда, по определению эллипса, MF1 + MF2 = 2a, т. е.

,

.

Возведем полученное уравнение в квадрат и приведем подобные

,

.

Т. к. a > c, то a2 - c2 > 0. Положим a2 - c2 = b2. Тогда последнее уравнение примет вид или

. (3.16)

Уравнение (3.16) называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(a,0), А2(-a,0), В1(0,b), В2(0,-b), которые называются вершинами эллипса. Отрезки А1А2 и В1В2, равные 2a и 2b, соответственно называются большой и малой осями эллипса, a и b большой и малой полуосями.

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением половины расстояния между фокусами к большей оси и называется эксцентриситетом

e = с/a.

Т. к. 0 < с < a, то 0 < e < 1.

Чем больше эксцентриситет, тем более вытянутую форму вдоль оси Ox имеет кривая.

Теорема3.3. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения для фокальных радиусов r1 и r2 точки

r1 = a + ex, r2 = a - ex.

Доказательство. Из определения эллипса следует, что r1 + r2 = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать

 

 

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых

 

 

 

Аналогично доказывается, что r1 = a + ex. Теорема доказана.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения

x = a/e, x = -a/e.

r
F1
F2
y
x
d
x = -a/e
x = a/e
Рис. 29
Теорема 3.4. Если r - расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: (рис. 30).

 

Пример 13. Составить уравнение пря­мой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, задан­ного уравнением:

Решение.

1) Координаты нижней вершины В2: x = 0, y2 = 16, y = -4; В2(0;-4).

2) Координаты левого фокуса F1: c2 = a2b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F1(-3;0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

Пример 14. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

Решение. Расстояние между фокусами

2c = , таким образом, a2b2 = c2 = ½.

По условию 2а = 2, следовательно,

а = 1, b2 =

Значит искомое уравнение эллипса .

 

Гипербола

M(x, y) y x …   Выберем фокусы так, чтобы они лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2, тогда фокусы…

Парабола

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой (Рис. 31). F …  

Общее уравнений линий второго порядка

Важной задачей аналитической геометрии является исследование об­щего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (кано­ническим)… Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду Лемма 3.1. Пусть в прямоугольной системе координат Оху задано уравнение (3.14) и пусть АС - В2 ¹ 0. Тогда с…

Задачи и примеры для самостоятельного решения

 

1. Привести к каноническому виду, классифицировать кривые, заданные уравнениями:

 

 

 

 

 

Аналитическая геометрия в пространстве

Пусть в декартовой системе координат Oxyz задано уравнение F(x, y, z) = 0, которое является уравнением поверхности S в заданной системе координат, если ему удовлетворяют координаты любой точки…

Уравнение плоскости

Рассмотрим произвольную точку плоскости M(x, y, z). Точка M лежит на плоскости a тогда и только тогда, когда векторы иn взаимно перпендикулярны, т.… : (4.2)

Задачи и примеры для самостоятельного решения

 

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки M0(0, 2, 4), M1(2, 3, 6), M2(−2, 4,2).

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −2, 4), и параллельной плоскости

3. Найти расстояние от точки M(2, 3, 1) до плоскости, заданной уравнением

4. В декартовой системе координатOxyz построить поверхность

5. В декартовой системе координатOxyz построить поверхность

6. Даны координаты точек А(0,2,4);В(−2,0,4);С(6,−4,0);D(2,8,8). Найти уравнение грани АВС, угол между гранями АВС и АВD, длину высоты тетраэдра АВСD, опущенную из вершины D.

Уравнение прямой в пространстве

Пусть в декартовой системе координат уравнение плоскости : уравнение плоскости : Нормальные векторы плоскостей соответственноn1 = (A1; B1; C1)… (4.12) Уравнение (4.12) называется общим уравнением прямой.

Задачи и примеры для самостоятельного решения

 

1. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки M0(0, 2, 4), M1(2, 3, 6).

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M0(1, −2, 4), и параллельной вектору a = (2;4;6).

3. Найти расстояние от точки M(2, 3, 1) до прямой, заданной уравнением

4. Найти расстояние от точки M(2, 0, 1) до прямой, заданной уравнением

5. Найти угол между прямыми

 

6. Найтиуравнение плоскости, проходящей через прямую

 

и параллельной прямой

7. Лежат ли прямые

 

в одной плоскости?

8. Найти расстояние между прямыми

 

 

Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве

Пусть прямая задана в канонической форме   и задана некоторая плоскость

Задачи и примеры для самостоятельного решения

 

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M0(0, 2, 4), и перпендикулярной плоскости

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M0(1, −2, 4) и параллельной прямым

 

3. Пусть даны уравнения прямой и плоскости 2x + y + z −1 = 0. Найти угол φ между прямой и плоскостью.

4. Пусть даны уравнения прямой и плоскости 2x – y = 0. Найти угол φ между прямой и плоскостью.

5. Найтиугол между плоскостью 2x y −1 = 0. и прямой

.

6. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые

 

7. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые

 

8. Даны координаты точек А(0,2,4); В(−2,0,4); С(6,−4,0); D(2,6,8) в декартовой системе координат. Найти канонические уравнения медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из вершины С треугольника АВС. Найти уравнение высоты тетраэдра АВСD, опущенную из вершины С.

 

­­­­­­­­­­­­­­­­­­4.4. Поверхности второго порядка

 

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в декартовой системе координат определяются алгебраическими уравнениями второго порядка

(4.22)

Геометрическое исследование поверхностей второго порядка проведем по заданным уравнениям с помощью метода параллельных сечений.

1. Эллипсоид. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением

(4.23)

Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями z = h.

(4.24)

Если > c, то уравнение (4.24) определяет мнимый эллипс. Если = c, то уравнение (4.24) определяет две точки с координатами (0;0;с), (0;0;−с). Если < c, то уравнение (4.24) определяет эллипс

 

полуоси которого при уменьшении h возрастают и принимают наибольшие значения при h = 0. Аналогичная картина получается и при сечении дру­гими координатными плоскостями (рис. 39).

 

x
y
z
a
b
c

 

 


Рис. 39.

 

Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a = b = c эллипсоид является сферой.

2. Однополостный гиперболоид. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением

(4.25)

Установим геометрический вид однополостного гиперболоида. Для этого рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z = h.

(4.26)

Уравнение (4.26) определяет эллипс.

 

полуоси которого при увеличении h возрастают и принимают наименьшие значения при h = 0. При сечении координатными плоскостями x = 0 и y = 0 получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы (рис. 40).

 

 

z

 

 

x
b
a
y

 


Рис. 40.

 

3. Двуполостный гиперболоид. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением

(4.27)

Установим геометрический вид двуполостного гиперболоида. Для этого рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z = h.

(4.28)

Если < c, то уравнение (4.28) определяет мнимый эллипс. Если = c, то уравнение (4.24) определяет две точки с координатами (0;0;с), (0;0;−с). Если > c, то уравнение (4.24) определяет эллипс

 

полуоси которого при увеличении h возрастают. При сечении координатными плоскостями x = 0 и y = 0 получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы. Таким обра­зом, двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши (рис. 41).

x
y
z
c
- c

 

 


Рис. 41.

 

4. Эллиптический параболоид.Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением

(4.29)

где p > 0 и q > 0.

Установим геометрический вид эллиптического параболоида. Для этого рассмотрим сечения данного гиперболоида (4.29) плоскостями z = h.

(4.30)

Если < 0, то уравнение (4.28) определяет мнимый эллипс. Если = 0, то уравнение (4.30) определяет точку с координатами (0;0;0). Если > 0, то уравнение (4.30) определяет эллипс

полуоси которого при увеличении h возрастают. При сечении координатными плоскостями x = 0 и y = 0 получаем соответственно уравнения

z
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат. Таким образом, эллип­тический параболоид имеет вид бесконечной выпуклой чаши (рис. 42).

 

 

x
y

 


Рис. 42.

 

5. Гиперболический параболоид.Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением

(4.31)

где p > 0 и q > 0.

Установим геометрический вид гиперболического параболоида. Для этого рассмотрим сечения данного гиперболоида (4.31) плоскостями z = h.

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы с действительными осями, параллельными оси Ox при h > 0; и гиперболы с действительными осями, параллельными оси Oy при h < 0. При h = 0 гипербола вы­рождается в пару пересекающихся прямых. При сечении координатной плоскостью y = 0

получаем уравнение

(4.32)

из которого следует, что в сечении получается парабола, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат, которая направлена вверх. При сечении координатной плоскостью y = h получаются также направленные вверх параболы

При сечении координатной плоскостью x=h получаются направленные вниз параболы

z
Вершины этих парабол лежат на направленной вверх параболе (4.32), (рис. 43).

 

 


x
y
Рис. 43.

 

6. Конус второго порядка.Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется каноническим уравнением

(4.33)

Установим геометрический вид конуса второго порядка (рис. 44). Для этого рассмотрим сечения данного гиперболоида (4.33) плоскостями z = h.

(4.34)

Уравнение (4.34) определяет эллипс

 

полуоси которого при увеличении h возрастают. При h = 0 поверхность конуса вырождается в точку (0;0;0). При сечении координатными плоскостями x = 0 и y = 0 получаются соответственно уравнения пары прямых

Конус второго порядка обладает замечательным свойством. Если некоторая точка M, отличная от начала координат, лежит на этой поверхности, то и все точки прямой, которая проходит через начало координат и точку M, также лежат на поверхности.

Действительно, пусть M(x0, y0, z0), тогда параметрическое уравнение прямой OM

Произвольная точка этой прямой удовлетворяет уравнению конуса (4.33), действительно

Иначе говоря, поверхность конуса второго порядка состоит из прямых, проходящих через начало координат.

 

z

 

y
x

 


Рис. 44.

 

7. Поверхности вращения.Поверхность, образованная вращением линии вокруг оси, называется поверхностью вращения.

Пусть линия L лежит в плоскости Oxy, ее вращаем вокруг оси Ox. Уравнение линии

F(x, y) = 0 . (4.35)

При вращении (рис. 45) , т. е. y в уравнении (4.35) перехо­дит в

Чтобы получить уравнение поверхности вращения линии вокруг оси Ox, следует в уравнение линии (4.35) вместо y подставить

y
x
z
P
B
Рис. 45.
A
j
L
y

 

 

Пример 14. Гипербола, лежащая в плоскости Oxz,

вращается относительно оси Oz. Найти уравнение полученной поверх­ности.

Решение. В уравнение гиперболы вместо x подставляя получаем уравнение однополостного гиперболоида вращения

Замечание. Путем преобразования системы координат (поворотом осей, симметричным отображением относительно координатных плоскостей, параллельным переносом) общее уравнение второго порядка

приводится к каноническому виду:

При этом уравнение поверхности (4.22) приводится к каноническому уравнению

· эллипсоида (мнимого эллипсоида),

· однополостного, двуполостного гиперболоида,

· эллиптического, гиперболического параболоида,

· конуса второго порядка,

· эллиптического, гиперболического, параболического цилиндра,

· пары параллельных или пересекающихся плоскостей (пары мнимых плоскостей).

Если в уравнение (4.22) , то уравнение (4.22) параллель­ным переносом осей координат приводится к каноническому виду.

 

Пример 15. Классифицировать поверхность, заданную уравне­нием

Решение. Выделим в уравнении полные квадраты:

С помощью преобразования системы координат (параллельного переноса) по формулам

получаем каноническое уравнение однополостного гиперболоида

Пример 16. Классифицировать поверхность, заданную уравне­нием

Решение. Выделим в уравнении полные квадраты:

С помощью преобразования системы координат (параллельного переноса) по формулам

получаем каноническое уравнение эллиптического параболоида

Пример 17. Классифицировать поверхность, заданную уравне­нием

Решение. Выделим в уравнении полные квадраты:

С помощью преобразования системы координат (параллельного переноса) по формулам

получаем уравнение пары пересекающихся плоскостей, параллельных оси Oz

Задачи и примеры для самостоятельного решения

 

1. Привести к каноническому виду, классифицировать и изобразить поверхности, заданные уравнениями:

 

 

 

 

 

 

2. Парабола

вращается относительно оси Oz. Найти уравнение поверхности вращения.

3. Эллипс

вращается относительно оси Oy. Найти уравнение полученной поверхности.

 

 

Комплексные числа

Число i, такое, что i2 =−1, называется мнимой единицей, а числа вида bi - чисто мнимыми числами. В записи комплексного числа z= a + bi число a… Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, пред­ставленных в…  

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. Представить комплексные числа в тригонометрической форме.

1) 2) 3) 4) 5)

2. Вычислить значения 1) 2) 3) 4) 5) 6)

3. Вычислить значения 1) 2) 3)

4) 5) 6)

4. Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6)

 

Линейные пространства и линейные преобразования

Определение линейного пространства. Изоморфизм

Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов, выходящих из начала координат плоскости или пространства. Как известно,… Приведём аксиоматическое определение линейного (векторного или аффинного… Определение. Пусть дано множество V; его элементы будут обозначаться малыми латинскими буквами: a,b,c,…. Пусть, далее,…

Линейные преобразования

т.е. отображения, переводящего каждый вектор a пространства Vn в некоторый вектор этого же пространства. Определение. Преобразование L линейного пространства Vn называется линейным преобразованием этого пространства, если оно переводит сумму любых двух векторов aи bв сумму…

Характеристические корни и собственные значения

  будет многочленом степени n относительно . Определение. Многочлен n-й степени называется ха­рактеристическим многочленом матрицы A, а его корни называются…

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. Пусть V – пространство, векторами которого являются системы n действительных чисел. Показать, что система векторов

 

является линейно независимой.

2 Пусть V – пространство непрерывных функций. Показать, что функции

, …

образуют систему nлинейно независимых векторов и пространство Vбесконечномерное.

3. Пусть вектор a базисе eимеет разложение: Найти разложение вектора в базисе

 

4. Найти собственные значения и собственные вектора линейного преобразования трехмерного пространства с матрицей A:

 

 

Евклидовы пространства

Определение евклидова пространства.

Ортонормированные базы

В любом n-мерном линейном пространстве аксиоматически определим, при помощи некоторых свойств, скалярное произведение векторов. Определение. Будем говорить, что в n-мерном действитель­ном линейном… 1) (a, b) = (b, a),

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. Система векторов является базой пространства E3. Построить ортонормированную базу.

2. Будем считать векторами многочлены от x степени не выше третьей. Скалярное произведение векторов определим как определенный интеграл их произведения

 

Найти ортогональный базис.

 

Ортогональные преобразования.

Ортогональные матрицы

(7.3) Данное условие можно заменить условием сохранения длины вектора (7.4)

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. Система векторов e1, e2, e3 является ортонормированным базисом пространства E3. Найти матрицы ортогональных преобразований, переводящей векторы e2, e3 в векторы

 

2. Система векторов e1, e2, e3 является ортонормированным базисом пространства E3. Матрица ортогонального преобразования

 

переводит векторы e1, e2, e3 в векторы e1', e2', e3'. Найти матрицу ортогонального преобразования, переводящего векторы e1', e2', e3' в векторы e1, e2, e3.

Симметрические преобразования

(7.7) Примером симметрического преобразования является линейное преобразование, при…  

Задачи и примеры для самостоятельного решения

 

1. Симметрическое преобразование в некотором ортонормированном базисе задано матрицей

 

Найти матрицу перехода к ортонормированному базису, в котором симметрическое преобразование имеет матрицу диагонального вида.

Приведение квадратичной формы к главным осям.

Положительно определенные формы

(7.8) которую с помощью симметричной матрицы Aможно представить в матричной форме …  

Задачи и примеры для самостоятельного решения

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду и найти соответствующий базис

2. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогональных преобразований и найти соответствующий базис.

3. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогональных преобразований. Классифицировать кривую и построить её.

4. Привести к каноническому виду квадратичную форму

.

Классифицировать поверхность .

5. Является ли квадратичная форма

 

положительно определенной?

 

Заключение

 

Алгебра и аналитическая геометрия является основным курсом математики и используется во всех математических дисциплинах. Теоретические положения, выводы и понятия алгебры и аналитической геометрии особенно широко применяются в курсе исследовании операций, дифференциальных уравнений, дискретной математике, вычислительной математике, теории устойчивости и управления, функциональном анализе, статистике, теоретической механике и др.

 


Список литературы

 

1. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 7-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 1998. - 320 с.

2. Высшая математика для экономистов: практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н. Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н. Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 479 с.

3. Дюбюк, П. Е., Кручкович, Г. И., Глаголева, Н. Н. и др. Сборник задач по курсу высшей математики. / под ред. Дюбюка, П. Е., Кручковича, Г. И., - 2-е изд. - М. : Высш. шк., 1965. – 565 с.

4. Жевержеев, В. Ф., Кальницкий, Л. А., Сапогов, Н. А. Специальный курс высшей математики для втузов. - М. : Высш. шк., 1970. - 416 с.

5. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) : Учеб. пособие для втузов / Л. А. Кузнецов. - 2-е изд., доп. - М. : Высш. шк., 1994. - 206 с.

6. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры. - 9-е изд. - М. : Наука, 1968. - 431 с.

7. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. - 2-е изд., испр. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 288 с.: ил.

8. Руководство к решению задач по высшей математике: учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 2 / Е. И. Гурский, В. П. Домашов, В. К. Кравцов и др.; под общ. ред. Е. И. Гурского. - Мн. : Выш. шк., 1990. - 400 с.

9. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учеб. по­собие. В 3 ч. Ч. 1 / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец и др.; под общ. ред. А. П. Рябушко. - Мн. : Выш. шк., 1991. - 288 с.

10. Шипачев, В. С. Высшая математика. / В. С. Шипачев; под ред. акад. А. Н. Тихонова. – 2-е изд., стер. – М. : Высш. шк., 1990. – 479 с.

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: Учебно-методическое, пособие, курсу, математика0.071

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Учебно-методическое пособие по курсу «Математика»

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Краткий курс механики в качестве программы и методических указаний по изучению курса Физика Краткий курс механики: Программа и методические указания по изучению курса Физика / С
Федеральное агентство железнодорожного транспорта... Омский государственный университет путей сообщения...

Учебно-методическое пособие КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по физике Учебно-методическое пособие
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Ростовский государственный строительный университет...

Организационный этап выполнения курсовой работы 2.1 Примерная тематика курсовой работы . 3 Основной этап выполнения курсовой работы 3.1.1 Назначение и место ученого предмета дисциплины
стр Введение... Введение Реформирование национальной системы высшего образования связанное с введением нового перечня специальностей общегосударственного классификатора...

Михайлова М.Е. Учебно-методическое пособие по курсу История Отечества для студентов медицинских вузов. В 2-х частях
ББК... М... Михайлова М Е Учебно методическое пособие по курсу История Отечества для студентов медицинских вузов В х...

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ По курсу Химии
Кафедра общей и биоорганической химии... УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ... Для самостоятельной работы студентов...

Социология. Краткий курс Социология. Краткий курс. : ООО Питер Пресс ; Санкт-Петербург; 2007 Социология. Краткий курс Предмет и история социологии Борис Акимович Исаев
Социология Краткий курс... RU http www litru ru bd b Социология Краткий курс ООО Питер Пресс Санкт Петербург...

СОЦИАЛЬНАЯ РАБОТА: КУРСОВОЕ И ДИПЛОМНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... Казанский государственный технологический университет...

Курс Екологія Курс Екологія Курс Екологія Практична робота № 1
Факультет міжнародних економічних відносин та туристичного бізнесу... Курс Екологія Практична робота...

Курс лекций по предмету Физиологические основы физической культуры и спорта ; учебно-методическое пособие
Ровный Вадим Анатольевич Ровная Ольга Александровна... Курс лекций по предмету Физиологические основы физической культуры и спорта учебно методическое пособие ХГАФК Харьков...

Лекція 1. Вступ до курсу історії України 1. Курс історії України в системі гуманітарних наук. Предмет, мета та завдання курсу. 2. Періодизація історії України
Лекція Вступ до курсу історії України План...

0.038
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам